T
S
soicon_boy_9x
$(x+y)^2 \geq 0 \leftrightarrow xy+1=x^2+y^2 \geq -2xy$
$\leftrightarrow 3xy \geq 1 \leftrightarrow xy \geq \dfrac{-1}{3}$
Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x=-y= \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$(x-y)^2 \geq 0 \leftrightarrow xy+1=x^2+y^2 \geq 2xy$
$\rightarrow xy \leq 1$
Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x=y=1$
$\leftrightarrow 3xy \geq 1 \leftrightarrow xy \geq \dfrac{-1}{3}$
Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x=-y= \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$(x-y)^2 \geq 0 \leftrightarrow xy+1=x^2+y^2 \geq 2xy$
$\rightarrow xy \leq 1$
Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x=y=1$
R
riverflowsinyou1
1) C/m rằng $\sqrt{(a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$
2) Cho $a;b;c$ > $0$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2=4.\sqrt{a.b.c}$
C/m $a+b+c$ \geq $2.\sqrt{a.b.c}$
2) Cho $a;b;c$ > $0$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2=4.\sqrt{a.b.c}$
C/m $a+b+c$ \geq $2.\sqrt{a.b.c}$
D
duchieu300699
Dùng phép biến đổi tương đương
$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$
\Leftrightarrow $a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $(a+c)^2+(b+d)^2$
\Leftrightarrow $2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $2(ac+bd)$
\Leftrightarrow $\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $ac+bc$
\Leftrightarrow $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ \geq $(ac+bd)^2$ (BĐT Bunhia)
\Rightarrow đpcm :-j:-j
Last edited by a moderator:
R
riverflowsinyou1
Không có bác nào sửa bài 2 hết nhỉ
. Theo $AM-GM$:
$a^2+b^2+c^2=4.\sqrt{a.b.c}$ \geq $\sqrt[3]{(a.b.c)^2}.3$
\Rightarrow $4^6.(a.b.c)^3$ \geq $3^6.(a.b.c)^4$ \Leftrightarrow $a.b.c$ \leq $\frac{4^6}{3^6}$
\Rightarrow $a+b+c$ \geq $3.\sqrt[3]{a.b.c}$ \geq $2.\sqrt{a.b.c}$
R
riverflowsinyou1
S
soicon_boy_9x
Ta có: $\dfrac{4z-7y}{x+2y}+\dfrac{5x-5z}{y+3z}+\dfrac{3y-11x}{z+4x} \geq -3$
$\leftrightarrow \dfrac{4z-7y+4(x+2y)}{x+2y}+\dfrac{5x-5z+2(y+3z)}{y+3z}+\dfrac{3y-
11x+3(z+4x)}{z+4x} \geq 6$
$\leftrightarrow \dfrac{(y+3z)+(z+4x)}{x+2y}+\dfrac{(x+2y)+(z+4x)}
{y+3z}+\dfrac{(x+2y)+(y+3z)}{z+4x} \geq 6(1)$
Đặt $\left\{\begin{matrix} y+3z=a \\ 4x+z=b \\ x+2y=c \end{matrix}\right.$
$(1) \leftrightarrow \dfrac{b+c}{a}+\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{a+b}{c} \geq 3\sqrt[3]
{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{8abc}{abc}}=6$
Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x+2y=y+3z=z+4x$
$\leftrightarrow ...$
Đến đây các bạn tự tìm tỉ lệ $x:y:z$ nhé
Làm tiếp một bài nhé
Cho 4 số thực m,n,p,q có tổng bằng 2
Chứng minh
$1.m^2-m+1 \leq \dfrac{3}{4}(m^2+n^2+p^2+q^2)$
$2.\dfrac{a}{a^2-a+1}+\dfrac{b}{b^2-b+1}+\dfrac{c}{c^2-c+1} \leq \dfrac{8}{3}$
Các bạn nhớ là a,b,c,d không dương đâu nhé
$\leftrightarrow \dfrac{4z-7y+4(x+2y)}{x+2y}+\dfrac{5x-5z+2(y+3z)}{y+3z}+\dfrac{3y-
11x+3(z+4x)}{z+4x} \geq 6$
$\leftrightarrow \dfrac{(y+3z)+(z+4x)}{x+2y}+\dfrac{(x+2y)+(z+4x)}
{y+3z}+\dfrac{(x+2y)+(y+3z)}{z+4x} \geq 6(1)$
Đặt $\left\{\begin{matrix} y+3z=a \\ 4x+z=b \\ x+2y=c \end{matrix}\right.$
$(1) \leftrightarrow \dfrac{b+c}{a}+\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{a+b}{c} \geq 3\sqrt[3]
{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{8abc}{abc}}=6$
Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x+2y=y+3z=z+4x$
$\leftrightarrow ...$
Đến đây các bạn tự tìm tỉ lệ $x:y:z$ nhé
Làm tiếp một bài nhé
Cho 4 số thực m,n,p,q có tổng bằng 2
Chứng minh
$1.m^2-m+1 \leq \dfrac{3}{4}(m^2+n^2+p^2+q^2)$
$2.\dfrac{a}{a^2-a+1}+\dfrac{b}{b^2-b+1}+\dfrac{c}{c^2-c+1} \leq \dfrac{8}{3}$
Các bạn nhớ là a,b,c,d không dương đâu nhé
Last edited by a moderator:
L
lebalinhpa1
Mình cũng học bồi dưỡng nhưng nó đâu có nâng cao thế này? ........................Hic,khó thế nhỉ
B
buivanbao123
Chứng minh câu 2.
Ta có :$a^{2}-a+1$=$(a-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}$ \geq $\frac{3}{4}$
Do đó :$\frac{a}{a^{2}-a+1}$ \leq $\frac{4a}{3}$
Tương tự: $\frac{b}{b^{2}-b+1}$ \leq $\frac{4b}{3}$
$\frac{c}{c^{2}-c+1}$ \leq $\frac{4c}{3}$
Cộng
ta có BDT \leq $\frac{4}{3}.(a+b+c)$mà theo giả thiết a+b+c=2
\Rightarrow BDT \leq $\frac{8}{3}$
Last edited by a moderator:
S
soicon_boy_9x
Chứng minh câu 2.
Ta có :$a^{2}-a+1$=$(a-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}$ \geq $\frac{3}{4}$
Do đó :$\frac{a}{a^{2}-a+1}$ \leq $\frac{4a}{3}$
Tương tự: $\frac{b}{b^{2}-b+1}$ \leq $\frac{4b}{3}$
$\frac{c}{c^{2}-c+1}$ \leq $\frac{4c}{3}$
Cộng
mà theo giả thiết a+b+c=2
\Rightarrow BDT \leq $\frac{8}{3}$
Làm sai hoàn toàn
Mình đã nhác kĩ là a,b,c,d không dương cơ mà
Nếu mà a âm thì $\dfrac{1}{a^2-a+1} \leq \dfrac{4}{3}$
Nhân cả 2 vế với a âm thì $\dfrac{a}{a^2-a+1} \geq \dfrac{4}{3}$
Đấy là chỗ sai của bạn đấy
T
tensa_zangetsu
Bài 2 của soicon_boy_9x mình nghĩ có vấn đề.
Dùng phương pháp miền giá trị.
$A=\dfrac{a}{a^2-a+1}$
$Aa^2-(A+1)a+A=0$
$\Delta = (A-1)^2-4A^2=-3A^2-2A+1 \ge 0$
$\leftrightarrow -1 \le A \le \dfrac{1}{3}$
$BT \le 1$
$max BT = 1$ $\leftrightarrow a=b=c=\left[\begin{matrix} 2+\sqrt{3}\\ 2-\sqrt{3} \end{matrix}\right.$
Mà $a+b+c=2$ nên dấu bằng không xảy ra.
Dùng phương pháp miền giá trị.
$A=\dfrac{a}{a^2-a+1}$
$Aa^2-(A+1)a+A=0$
$\Delta = (A-1)^2-4A^2=-3A^2-2A+1 \ge 0$
$\leftrightarrow -1 \le A \le \dfrac{1}{3}$
$BT \le 1$
$max BT = 1$ $\leftrightarrow a=b=c=\left[\begin{matrix} 2+\sqrt{3}\\ 2-\sqrt{3} \end{matrix}\right.$
Mà $a+b+c=2$ nên dấu bằng không xảy ra.
0
0973573959thuy
Thôi không có ai làm hết hả qua bài khác vậy
Cho a \geq$2$
Tìm GTNN của
$A=a^2+\frac{1}{a^2}$
Chọn điểm rơi trong bđt AM - GM
Xét bảng biến thiên thấy a càng lớn thì A càng lớn nên A nhỏ nhất khi a = 2
Sơ đồ điểm rơi:
[TEX]a = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{a^2}{\alpha} = \frac{4}{\alpha} \\ \frac{1}{a^2} = \frac{1}{4} \end{array} \right.[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{4}{\alpha} = \frac{1}{4} \leftrightarrow \alpha = 16[/TEX]
[TEX]A = a^2 + \frac{1}{a^2} = \frac{a^2}{16} + \frac{1}{a^2} + \frac{15a^2}{16} \ge 2.\sqrt{\frac{a^2}{16}. \frac{1}{a^2}} + \frac{15.4}{16} = \frac{17}{4} [/TEX]
[TEX]Min A = \frac{17}{4} \leftrightarrow a = 2[/TEX]
0
0973573959thuy
Cho a,b,c > 0; $a + b + c \le 3/2$
Tìm Min $S = \sqrt{a^2 + \dfrac{1}{b^2}} + \sqrt{b^2 + \dfrac{1}{c^2}} + \sqrt{c^2 + \dfrac{1}{a^2}}$
Áp dụng AM - GM ạ!
Tìm Min $S = \sqrt{a^2 + \dfrac{1}{b^2}} + \sqrt{b^2 + \dfrac{1}{c^2}} + \sqrt{c^2 + \dfrac{1}{a^2}}$
Áp dụng AM - GM ạ!
R
riverflowsinyou1
T
tensa_zangetsu
Cho a,b,c > 0; $a + b + c \le 3/2$
Tìm Min $S = \sqrt{a^2 + \dfrac{1}{b^2}} + \sqrt{b^2 + \dfrac{1}{c^2}} + \sqrt{c^2 + \dfrac{1}{a^2}}$
Áp dụng AM - GM ạ!
Áp dụng BDT Minkovsky:
$S \ge \sqrt{(a+b+c)^2+(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^2}=\sqrt{16(a+b+c)^2+(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^2-15(a+b+c)^2}$
$\ge \sqrt{8(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c})-\dfrac{135}{4}}$
$\ge \sqrt{\dfrac{153}{4}}$ (Cauchy)
$\text{min}S=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}$
T
tensa_zangetsu
Áp dụng BDT Bunyakovsky:
$(1^2+2^2+3^2)(a^2+b^2+c^2)\ge (a+2b+3c)^2$
$\leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge 14$ (dpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{3}, a+2b+3c=14$
hay $a=1, b=2, c=3$
Last edited by a moderator:
R
riverflowsinyou1
Thêm 1 bài nữa.
Cho $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{c+1}$ \geq $2$
C/m $abc$ \leq $\frac{1}{8}$
Cho $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{c+1}$ \geq $2$
C/m $abc$ \leq $\frac{1}{8}$
T
tensa_zangetsu
$\sum \dfrac{1}{1+a} \ge 2$
$\leftrightarrow \dfrac{1}{1+a}\ge \dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c} \ge 2\sqrt{\dfrac{bc}{(1+b)(1+c)}}$
Tương tự:
$\dfrac{1}{1+b}\ge 2\sqrt{\dfrac{ca}{(1+c)(1+a)}}$
$\dfrac{1}{1+c}\ge 2\sqrt{\dfrac{ab}{(1+a)(1+b)}}$
Nhân các vế tương ứng:
$\dfrac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)}\ge 8\dfrac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}$
hay $abc \le \dfrac{1}{8}$ (dpcm)
$\leftrightarrow \dfrac{1}{1+a}\ge \dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c} \ge 2\sqrt{\dfrac{bc}{(1+b)(1+c)}}$
Tương tự:
$\dfrac{1}{1+b}\ge 2\sqrt{\dfrac{ca}{(1+c)(1+a)}}$
$\dfrac{1}{1+c}\ge 2\sqrt{\dfrac{ab}{(1+a)(1+b)}}$
Nhân các vế tương ứng:
$\dfrac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)}\ge 8\dfrac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}$
hay $abc \le \dfrac{1}{8}$ (dpcm)
T
tensa_zangetsu
Bài 1:
Chứng minh rằng với $n \in N^{*}$ và dãy số dương $u_n$ thì
$(\sum\limits_{k=1}^{n} u_k)^{-1} \le \dfrac{1}{n^2}(\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}{u_k})$
Áp dụng chứng minh $\sum \dfrac{1}{2a+b+c} \le \dfrac{1}{4}(\sum \dfrac{1}{a})$ (chả hiểu cái đề như thế nào))
Bài 2:
Chứng minh với mọi $m,n \in Z^{+}$ thì $\sqrt[m+n]{m^{2n}.n^{2m}} \le \dfrac{m^2+n^2}{2}$
Trong sách có hướng dẫn là Cauchy cho $n$ số $m^2$ và $m$ số $n^2$
Bài 3:
$x,y,z>0$ và $xyz=1, n\in Z^{+}$
Chứng minh $(\dfrac{1+x}{2})^n +(\dfrac{1+y}{2})^n +(\dfrac{1+z}{2})^n \ge 3$
Cho em hỏi luôn $Z^{+}$ là cái tập hợp gì vậy. có phải là tập hợp các số dương ở tập $Z$ không :|
Bài 4:
$x^2+y^2=u^2+v^2=1$
Chứng minh: $|u(x-y)+v(x+y)|\le 2$
Chiều thi xong up tiếp.
Chứng minh rằng với $n \in N^{*}$ và dãy số dương $u_n$ thì
$(\sum\limits_{k=1}^{n} u_k)^{-1} \le \dfrac{1}{n^2}(\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}{u_k})$
Áp dụng chứng minh $\sum \dfrac{1}{2a+b+c} \le \dfrac{1}{4}(\sum \dfrac{1}{a})$ (chả hiểu cái đề như thế nào
))Bài 2:
Chứng minh với mọi $m,n \in Z^{+}$ thì $\sqrt[m+n]{m^{2n}.n^{2m}} \le \dfrac{m^2+n^2}{2}$
Trong sách có hướng dẫn là Cauchy cho $n$ số $m^2$ và $m$ số $n^2$
Bài 3:
$x,y,z>0$ và $xyz=1, n\in Z^{+}$
Chứng minh $(\dfrac{1+x}{2})^n +(\dfrac{1+y}{2})^n +(\dfrac{1+z}{2})^n \ge 3$
Cho em hỏi luôn $Z^{+}$ là cái tập hợp gì vậy. có phải là tập hợp các số dương ở tập $Z$ không :|
Bài 4:
$x^2+y^2=u^2+v^2=1$
Chứng minh: $|u(x-y)+v(x+y)|\le 2$
Chiều thi xong up tiếp.
R
riverflowsinyou1
Bài 1:
Chứng minh rằng với $n \in N^{*}$ và dãy số dương $u_n$ thì
$(\sum\limits_{k=1}^{n} u_k)^{-1} \le \dfrac{1}{n^2}(\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}{u_k})$
Áp dụng chứng minh $\sum \dfrac{1}{2a+b+c} \le \dfrac{1}{4}(\sum \dfrac{1}{a})$ (chả hiểu cái đề như thế nào
Bài 2:
Chứng minh với mọi $m,n \in Z^{+}$ thì $\sqrt[m+n]{m^{2n}.n^{2m}} \le \dfrac{m^2+n^2}{2}$
Trong sách có hướng dẫn là Cauchy cho $n$ số $m^2$ và $m$ số $n^2$
Bài 3:
$x,y,z>0$ và $xyz=1, n\in Z^{+}$
Chứng minh $(\dfrac{1+x}{2})^n +(\dfrac{1+y}{2})^n +(\dfrac{1+z}{2})^n \ge 3$
Cho em hỏi luôn $Z^{+}$ là cái tập hợp gì vậy. có phải là tập hợp các số dương ở tập $Z$ không :|
Bài 4:
$x^2+y^2=u^2+v^2=1$
Chứng minh: $|u(x-y)+v(x+y)|\le 2$
Chiều thi xong up tiếp.
Không được rồi mấy bài đối với lớp 8 quá khó chưa học $\sum_{i=1}^k a_i^n$ đâu @-)