Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

  • Thread starter riverflowsinyou1
  • Ngày gửi
  • Replies 1,008
  • Views 73,596

H

huynhbachkhoa23

Bài 4:

x3+2000x=x2+2000x=x2+1000x+1000x310000003=300\dfrac{x^3+2000}{x}=x^2+\dfrac{2000}{x}=x^2+ \dfrac{ 1000}{x}+\dfrac{1000}{x} \ge 3\sqrt[3]{1000000}=300

Rồi, dấu bằng ở bài trước =))
 
H

huynhbachkhoa23

Bài 3:

x3+1x2=x+1x2=12x+12x+1x23143\dfrac{x^3+1}{x^2}=x+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{x^2} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}

Dấu bằng ở bài trước.
 
R

riverflowsinyou1

Bài 4:

x3+2000x=x2+2000x=x2+1000x+1000x310000003=300\dfrac{x^3+2000}{x}=x^2+\dfrac{2000}{x}=x^2+ \dfrac{ 1000}{x}+\dfrac{1000}{x} \ge 3\sqrt[3]{1000000}=300

Rồi, dấu bằng ở bài trước =))

xx đã dương đâu ?................................................................
 
H

huynhbachkhoa23

Bài 1:

x5+2x3=x2+2x3=13x2+13x2+13x2+1x3+1x351275\dfrac{x^5+2}{x^3}=x^2+\dfrac{2}{x^3}=\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{x^3}\ge 5\sqrt[5]{\dfrac{1}{27}}

Dấu bằng ở bài trước.
 
T

thinhrost1

Quả thật quên nghĩ tới cauchy :))

Maxx2(x2+2)3Max \dfrac{x^2}{(x^2+2)^3} với mọi x nhá Cái này min bằng 0 quá dễ rồi nên khỏi nói
 
H

huynhbachkhoa23

Bài 2:

Nghịch đảo phân thức:

x6+6x4+12x2+8x2=x4+6x2+12+8x2=u2+6u+8u+12\dfrac{x^6+6x^4+12x^2+8}{x^2}=x^4+6x^2+12+\dfrac{8}{x^2}=u^2+6u+\dfrac{8}{u}+12 với u>0u > 0

Giờ phải Cauchy nhưng không biết Cauchy như thế nào đây nhỉ =))

u2+6u+8u+1227u^2+6u+\dfrac{8}{u}+12 \ge 27

Dấu bằng khi u=1x=1u=1 \leftrightarrow x=1

Vậy maxx2(x2+2)3=127x=1\text{max} \dfrac{x^2}{(x^2+2)^3}=\dfrac{1}{27} \leftrightarrow x=1
 
T

thinhrost1

Nhanh vãi :)) bài này khó nè( không khó không lấy tks =)) ) !

Cho a2+b2+c2=2a^2+b^2+c^2=2

Tìm max a3+b3+c33abc|a^3+b^3+c^3-3abc| Vì nâng cấp độ khó nên mình đã sửa tí :))
 
S

su10112000a

ta có:
1a2+1=4(a2a2+1)\sum \dfrac{1}{a^2+1} = 4 - (\sum \dfrac{a^2}{a^2+1})
1a2+14a+b+c+d2\rightarrow \dfrac{1}{a^2+1} \ge 4 - \dfrac{a+b+c+d}{2} (AD Cauchy)
1a2+12\rightarrow \dfrac{1}{a^2+1} \ge 2
Xong:|
 
S

su10112000a

gần giống dạng bài vừa nãy của bác Khoa nhưng có đôi chút khác=)):
Đề:
Cho a,b,c,d>0a, b, c, d > 0a+b+c+d=4a+b+c+d=4. Chứng minh:
a+1b2+14\sum \dfrac{a+1}{b^2+1} \ge 4
 
H

huy14112

ta có:
1a2+1=4(a2a2+1)\sum \dfrac{1}{a^2+1} = 4 - (\sum \dfrac{a^2}{a^2+1})
1a2+14a+b+c+d2\rightarrow \dfrac{1}{a^2+1} \ge 4 - \dfrac{a+b+c+d}{2} (AD Cauchy)
1a2+12\rightarrow \dfrac{1}{a^2+1} \ge 2
Xong:|

gần giống dạng bài vừa nãy của bác Khoa nhưng có đôi chút khác=)):
Đề:
Cho a,b,c,d>0a, b, c, d > 0a+b+c+d=4a+b+c+d=4. Chứng minh:
a+1b2+14\sum \dfrac{a+1}{b^2+1} \ge 4

Áp dụng bài đã giải của bác Su luôn thì ta chỉ còn cần đi CM

ab2+12 \sum \dfrac{a}{b^2+1} \ge 2

Áp dụng AM-GM có :

ab2+1=ab2ab2+1ab2a2b=aab2 \dfrac{a}{b^2+1} = a-\dfrac{b^2a}{b^2+1} \ge a-\dfrac{b^2a}{2b} =a-\dfrac{ab}{2}

ab2+1(a+b+c+d)ab2=4(b+d)(a+c)24(a+b+c+d)242=42=2\rightarrow \sum \dfrac{a}{b^2+1} \ge (a+b+c+d)-\dfrac{\sum ab}{2} =4-\dfrac{(b+d)(a+c)}{2} \ge 4-\dfrac{\dfrac{(a+b+c+d)^2}{4} }{2}=4-2=2

Ok rồi =))
 
H

huynhbachkhoa23

Bài của em em có lời giải khác, bài đó trích trong Cauchy ngược dấu, giờ sử dụng UTC =))

Giờ BDT chứng minh tương đương với:
2a2+14 \sum \dfrac{2}{a^2+1} \ge 4 (Nhân 2 lên tăng độ đàn hồi =)) Nhân lên cho ra số 11 chứ để số 12\dfrac{1}{2} nhìn chướng mắt)

Giờ ta cần tìm hệ số mm sao cho:
2x2+11+m(x1) \dfrac{2}{x^2+1} \ge 1+m(x-1)

Dự đoán m=1m=-1: x32x2+xx2+1=x(x1)2x2+10\dfrac{x^3-2x^2+x}{x^2+1}=\dfrac{x(x-1)^2}{x^2+1} \ge 0

Thế vào: 1x2+14a2=2      (dpcm)\sum \dfrac{1}{x^2+1} \ge 4-\dfrac{\sum a}{2}=2 \;\;\; \mathfrak{(dpcm)}
 
Last edited by a moderator:
R

riverflowsinyou1

Cho a,b,c>0a,b,c>0 C/m
a2(2a+b)(2a+c)13\sum \frac{a^2}{(2a+b)(2a+c)} \le \frac{1}{3}
 
S

su10112000a

câu này khó giải dược chắc cũng cỡ thánh=)):
Cho các số thực dương a1;a2;...;ana_1; a_2;...; a_n sao cho chúng có tổng bằng 11. Chứng minh:
a11a1+a21a2+...+an1ana1+a2+...+ann1\dfrac{a_1}{\sqrt{1-a_1}} + \dfrac{a_2}{\sqrt{1-a_2}}+...+ \dfrac{a_n}{\sqrt{1-a_n}} \ge \dfrac{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} +...+ \sqrt{a_n}}{\sqrt{n-1}}
Khó nhỉ:))
 
H

huynhbachkhoa23

Khó quá bác su =)) Làm được là thánh rồi =))

Thôi, chém tạm bài dễ này =))

Bài 1: Cấm áp dụng BDT Cauchy 3 số =))

Chứng minh a+b+c3abc3a+b+c\ge 3 \sqrt[3]{abc} với a,b,c>0a,b,c>0

Bài 2: Chứng minh với mọi x,y,z>0x,y,z>0x+y+z=3x+y+z=3 thì:
1x2+2x235 \sum \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2\sum x^2}{3} \ge 5

Bài 3: Chứng minh rằng với dãy số dương a1;a2;...;ana_1;a_2;...;a_na1+a2+...+an=na_1+a_2+...+a_n=n thì: 1a12a1+n+1a22a2+n+...+1an2an+n1 \dfrac{1}{a_1^2-a_1+n}+\dfrac{1}{a_2^2-a_2+n}+...+\dfrac{1}{a_n^2-a_n+n} \le 1

Bài 4: Cho dãy số dương a1;a2;...ana_1;a_2;...a_na1+a2+...+an=na_1+a_2+...+a_n=n
Tìm GTLN của biểu thức sau theo nn:

a13a12+5+a23a22+5+...+an3an2+5\dfrac{a_1}{3a_1^2+5}+\dfrac{a_2}{3a_2^2+5}+...+ \dfrac{ a_n}{3a_n^2+5}
 
Last edited by a moderator:
R

ronaldover7

Khó quá bác su =)) Làm được là thánh rồi =))

Thôi, chém tạm bài dễ này =))

Bài 1: Cấm áp dụng BDT Cauchy 3 số =))

Chứng minh a+b+c3abc3a+b+c\ge 3 \sqrt[3]{abc} với a,b,c>0a,b,c>0

Bài 2: Chứng minh với mọi x,y,z>0x,y,z>0x+y+z=3x+y+z=3 thì:
1x2+2x235 \sum \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2\sum x^2}{3} \ge 5

1/Gọi a3=x,b3=y,c3=z\sqrt[3]{a}=x,\sqrt[3]{b}=y,\sqrt[3]{c}=z
Cần CM x3+y3+z3x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz3xyz
x3+y3+z3x^3+y^3+z^3-3xyz3xyz =(x+y+z)(x2+y2+z2xyyzzx)(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
________________________________________________________________
2/1x2 \sum \dfrac{1}{x^2} \geq 2(1x \sum \dfrac{1}{x}) -3 \geq 2(9x \dfrac{9}{\sum x}) -3 \geq 3
2x23\dfrac{2\sum x^2}{3} \geq 2.33=2\dfrac{2.3}{3}=2 (do x+y+z=3)
\Rightarrow dpcm

(*) Bác nào rảnh tham gia lun: http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=366679
 
Last edited by a moderator:
H

huynhbachkhoa23

Bài 2 em có cách giải khác:

Ta tìm hệ số kk:

1x2+23x253+k(x1)\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{3}x^2 \ge \dfrac{5}{3}+k(x-1)

Chọn k=23k=\dfrac{-2}{3} và chứng minh ngược lại thì BDT đúng. (với x,y,z(0;3)x,y,z \in (0;3))

Thế vào ta có điều cần chứng minh.
 
R

ronaldover7

Bài 2 em có cách giải khác:

Ta tìm hệ số kk:

1x2+23x253+k(x1)\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{3}x^2 \ge \dfrac{5}{3}+k(x-1)

Chọn k=23k=\dfrac{-2}{3} và chứng minh ngược lại thì BDT đúng. (với x,y,z(0;3)x,y,z \in (0;3))

Thế vào ta có điều cần chứng minh.

Làm sao bác tìm dc k hay thế____________________________!
 
Top Bottom