Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[huynhbachkhoa23]

Làm sao bác tìm dc k hay thế____________________________!​

Thôi, cuối cùng rồi các bác cũng biết.

Bác lấy máy tính bấm như thế này:

$\dfrac{\text{d}}{\text{dx}}(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{3}x^2)|_{x=1}=-0.666666666667=\dfrac{-6}{9}=\dfrac{-2}{3}$

Hay phân tích thế này cũng được:

$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{5}{3}=\dfrac{2x^4-5x^2+3}{3x^2}=\dfrac{(x-1)(2x^3+2x^2-3x-3)}{3x^2}=\dfrac{(x-1)(x+1)(2x^2-3)}{3x^2}$

Bỏ cái $x-1$ trên tử đi, thế $x=1$ vào được $\dfrac{-2}{3}$

 

[huy14112]

Thôi, cuối cùng rồi các bác cũng biết.

Bác lấy máy tính bấm như thế này:

$\dfrac{\text{d}}{\text{dx}}(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{3}x^2)|_{x=1}=-0.666666666667=\dfrac{-6}{9}=\dfrac{-2}{3}$

Cái này em biết rùi nè , thế nên hôm nọ mới tìm ra bđt phụ đó , được cái lúc đấy hơi ngu toàn tính tay không =))

 

[ronaldover7]

Thôi, cuối cùng rồi các bác cũng biết.

Bác lấy máy tính bấm như thế này:

$\dfrac{\text{d}}{\text{dx}}(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{3}x^2)|_{x=1}=-0.666666666667=\dfrac{-6}{9}=\dfrac{-2}{3}$

Hay phân tích thế này cũng được:

$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{5}{3}=\dfrac{2x^4-5x^2+3}{3x^2}=\dfrac{(x-1)(2x^3+2x^2-3x-3)}{3x^2}=\dfrac{(x-1)(x+1)(2x^2-3)}{3x^2}$

Bỏ cái $x-1$ trên tử đi, thế $x=1$ vào được $\dfrac{-2}{3}$

Em xài fx-570ES bấm dc ko bác_____ Mà tại sao - $\frac{5}{3}$ nhở!

 

[huynhbachkhoa23]

Em xài fx-570ES bấm dc ko bác_____ Mà tại sao - $\frac{5}{3}$ nhở!

Được bác, máy hiện phân số như SGK là được. Ấn SHIFT và nút dưới nút ALPHA đấy bác =))

BDT theo UTC thì là $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{3}x^2 \ge \dfrac{5}{3}+k(x-1)$

Chuyển $\dfrac{5}{3}$ qua rồi nhân tử để cho xuất hiện $x-1$ và xoá $x-1$ đi =))

Cái này nếu học lên 11 gọi là giới hạn =))

 

[huy14112]

đề nghị bác khoa cho vài bài kiểu này làm cho phê chân tay )

 

[ronaldover7]

đề nghị bác khoa cho vài bài kiểu này làm cho phê chân tay )

EM kết bác này______________________________________________!​

 

[huy14112]

Khó quá bác su =)) Làm được là thánh rồi =))

Thôi, chém tạm bài dễ này =))

Bài 1: Cấm áp dụng BDT Cauchy 3 số =))

Chứng minh $a+b+c\ge 3 \sqrt[3]{abc}$ với $a,b,c>0$

Bài 2: Chứng minh với mọi $x,y,z>0$ và $x+y+z=3$ thì:
$$ \sum \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2\sum x^2}{3} \ge 5 $$

Bài 3: Chứng minh rằng với dãy số dương $a_1;a_2;...;a_n$ có $a_1+a_2+...+a_n=n$ thì: $$ \dfrac{1}{a_1^2-a_1+n}+\dfrac{1}{a_2^2-a_2+n}+...+\dfrac{1}{a_n^2-a_n+n} \le 1 $$

Bài 4: Cho dãy số dương $a_1;a_2;...a_n$ có $a_1+a_2+...+a_n=n$
Tìm GTLN của biểu thức sau theo $n$:

$\dfrac{a_1}{3a_1^2+5}+\dfrac{a_2}{3a_2^2+5}+...+ \dfrac{ a_n}{3a_n^2+5}$

Ta có :

$\dfrac{1}{a_1^2-a_1+n} \le \dfrac{1}{n} +\dfrac{a_1}{n^2}-\dfrac{1}{n^2}$

(cái trên cộng nhân lại nhé , kiểm tra giúp mình , sợ sai )

Thành lập các bđt tương tự và cộng lại :

$\dfrac{1}{a_1^2-a_1+n}+\dfrac{1}{a_2^2-a_2+n}+...+\dfrac{1}{a_n^2-a_n+n} \le \dfrac{n}{n}+ \dfrac{\sum a_1}{n^2}- \dfrac{n}{n^2}=1$

 

[huynhbachkhoa23]

Đáp ứng nhu cầu của bác huy, cho bác này =))

Bài 1: Cho các số thực $a,b,c,d$ "không âm" thoả mãn $a^2+b^2+c^2+d^2=4$

Chứng minh $2(\sum a^3) \ge 2+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\sqrt{2+ab+ac+ad+bc+bd+dc}$

Bài 2: Chứng minh với mọi số thực dương $a,b,c$ và $a+b+c=3$ thì $2(\sum a^3) + 9 \ge 5(\sum a^2)$

 

[huynhbachkhoa23]

Ta có :

$\dfrac{1}{a_1^2-a_1+n} \le \dfrac{1}{n} +\dfrac{a_1}{n^2}-\dfrac{1}{n^2}$

(cái trên cộng nhân lại nhé , kiểm tra giúp mình , sợ sai )

Thành lập các bđt tương tự và cộng lại :

$\dfrac{1}{a_1^2-a_1+n}+\dfrac{1}{a_2^2-a_2+n}+...+\dfrac{1}{a_n^2-a_n+n} \le \dfrac{n}{n}+ \dfrac{\sum a_1}{n^2}- \dfrac{n}{n^2}=1$

Ok, sai.

Ta có $\dfrac{d(\dfrac{1}{x^2-x+n})}{dx}=\dfrac{-2x+1}{x^4-2x^3+(2n+1)x^2-2nx+n^2}$ và thế $x=1$ ta được $\dfrac{-1}{n^2}$

Vậy hệ số $k$ cần tìm là $\dfrac{-1}{n^2}$

 

[huy14112]

Ok, sai.

Ta có $\dfrac{d(\dfrac{1}{x^2-x+n})}{dx}=\dfrac{-2x+1}{x^4-2x^3+(2n+1)x^2-2nx+n^2}$ và thế $x=1$ ta được $\dfrac{-1}{n^2}$

Vậy hệ số $k$ cần tìm là $\dfrac{-1}{n^2}$

Đúng rồi ....=)) Lúc đầu tìm ra là $\dfrac{1}{n^2}$ bác nói sai lên em nhân lại mới biết trong quá trình bỏ sót dấu trừ (

 

[su10112000a]

Sau một hồi suy nghĩ bác su đã làm ra =))

Tiếp, bài khá dễ =))

Chứng minh với mọi $x_1; x_2; ...; x_n \le - 1 $ ta luôn có $\dfrac{1}{1+x_1}+\dfrac{1}{1+x_2}+...+\dfrac{1}{1+x_n} \le \dfrac{n}{1+\sqrt[n]{x_1x_2.....x_n}}$

Đã sửa. Thân (Bản quyền của rất nhiều mod =)))

đề bài này vẫn đúng khi $x_1; x_2;...; x_n \ge 1$
ta có bđt Jensen:
$f(x_1) + f(x_2) +...+ f(x_3) \ge nf(\sqrt[n]{x_1x_2...x_n})$
( Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi $n$)
áp dụng vào bài, ta chỉ cần chứng minh: $\dfrac{1}{1+x_1} + \dfrac{1}{1+x_2} \le \dfrac{2}{1+\sqrt{x_1x_2}}$ với mọi $x_1; x_2 \ge 1$
mà $\dfrac{1}{1+x_1} + \dfrac{1}{1+x_2} \le \dfrac{2}{1+\sqrt{x_1x_2}}$ tương đương với $(a-b)^2(1-ab) \le 0$ (hiển nhiên đúng với $x_1=a^2;x_2=b^2$)
từ đó ta có $\mathfrak{dpcm}$
P/s: bài này có trong IMO Shortlist (ko biết năm nào=)))

 

[huynhbachkhoa23]

đề bài này vẫn đúng khi $x_1; x_2;...; x_n \ge 1$
ta có bđt Jensen:
$f(x_1) + f(x_2) +...+ f(x_3) \ge nf(\sqrt[n]{x_1x_2...x_n})$
( Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi $n$)
áp dụng vào bài, ta chỉ cần chứng minh: $\dfrac{1}{1+x_1} + \dfrac{1}{1+x_2} \ge \dfrac{2}{1+\sqrt{x_1x_2}}$ với mọi $x_1; x_2 \ge 1$
mà $\dfrac{1}{1+x_1} + \dfrac{1}{1+x_2} \ge \dfrac{2}{1+\sqrt{x_1x_2}}$ tương đương với $(a-b)^2(1-ab) \le 0$ (hiển nhiên đúng với $x_1=a^2;x_2=b^2$)
từ đó ta có $\mathfrak{dpcm}$
P/s: bài này có trong IMO Shortlist (ko biết năm nào=)))

Hàm $f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ là 1 Hyperbol, lõm khi $x>-1$

BDT hàm lõm ngược dấu với BDT hàm lồi có $VT \ge VP$ nên $VT \not \le VP$

Giờ nếu vẫn nghi ngờ lời giải của em thì thế $x_1=2; x_2=3$

$VT=\dfrac{7}{12} \approx 0.583$
$VP\approx 0.57979$

 

[riverflowsinyou1]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1$ . Tìm Max
$P=\sum_{cyc} \frac{xy}{1+z}$
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. tìm Min
$H=\sum_{cyc} \frac{1}{\sqrt{a(8b-3a)+11b^2}}$

 

[su10112000a]

câu này khó giải dược chắc cũng cỡ thánh=)):
Cho các số thực dương $a_1; a_2;...; a_n$ sao cho chúng có tổng bằng $1$. Chứng minh:
$$\dfrac{a_1}{\sqrt{1-a_1}} + \dfrac{a_2}{\sqrt{1-a_2}}+...+ \dfrac{a_n}{\sqrt{1-a_n}} \ge \dfrac{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} +...+ \sqrt{a_n}}{\sqrt{n-1}}$$
Khó nhỉ)

Giải luôn vậy=)):
Không mất tính tổng quát giả sử $a_1 \ge a_2 \ge ... \ge a_n$. Khi đó:
$$\dfrac{1}{\sqrt{1-a_1}} \ge \dfrac{1}{\sqrt{1-a_2}} \ge ... \ge \dfrac{1}{\sqrt{1-a_n}}$$
Sử dụng bđt Chebyshev cho 2 bộ đơn điệu trên:
$$n.VT \ge (a_1 + a_2 +...+ a_n)(\dfrac{1}{\sqrt{1-a_1}} + \dfrac{1}{\sqrt{1-a_2}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{1-a_n}})$$
Theo bđt Cauchy-Schwars thì:
$n = n(a_1 + a_2 +...+ a_n) \ge (\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} +...+ \sqrt{a_n})^2$
$\Longrightarrow \sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} +...+ \sqrt{a_n} \le \sqrt{n}$
Lại có:
$\sqrt{1-a_1} + \sqrt{1-a_2} +...+ \sqrt{1-a_n} \le \sqrt{n(n - a_1 - a_2 -...- a_n)}$
$\Longrightarrow \sqrt{1-a_1} + \sqrt{1-a_2} +...+ \sqrt{1-a_n} \le \sqrt{n(n-1)}$
Do đó:
$$\dfrac{1}{\sqrt{1-a_1}} + \dfrac{1}{\sqrt{1-a_2}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{1-a_n}} \ge \dfrac{n^2}{\sqrt{1-a_1} + \sqrt{1-a_2} +...+ \sqrt{1-a_n}} \ge \dfrac{n^2}{\sqrt{n(n-1)}}$$
Suy ra:
$$VT \ge \dfrac{1}{n}.\dfrac{n^2}{\sqrt{n(n-1)}} \ge \dfrac{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} +...+ \sqrt{a_n}}{\sqrt{n-1}}$$
Xong@-)( bài này dễ với người ra đề))
@thinh: và dễ đối với thánh )

 

[su10112000a]

bác Thịnh nói phải), bài này dễ này:
Cho $x, y, z$ là các số dương, chứng minh:
$$x^2+y^2+z^2 \ge \sqrt{2}(xy+xz)$$
P/s: đã sửa lại đề

 

[huynhbachkhoa23]

Giải luôn vậy=)):
Không mất tính tổng quát giả sử $a_1 \ge a_2 \ge ... \ge a_n$. Khi đó:
$$\dfrac{1}{\sqrt{1-a_1}} \ge \dfrac{1}{\sqrt{1-a_2}} \ge ... \ge \dfrac{1}{\sqrt{1-a_n}}$$
Sử dụng bđt Chebyshev cho 2 bộ đơn điệu trên:
$$n.VT \ge (a_1 + a_2 +...+ a_n)(\dfrac{1}{\sqrt{1-a_1}} + \dfrac{1}{\sqrt{1-a_2}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{1-a_n}})$$
Theo bđt Cauchy-Schwars thì:
$n = n(a_1 + a_2 +...+ a_n) \ge (\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} +...+ \sqrt{a_n})^2$
$\Longrightarrow \sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} +...+ \sqrt{a_n} \le \sqrt{n}$
Lại có:
$\sqrt{1-a_1} + \sqrt{1-a_2} +...+ \sqrt{1-a_n} \le \sqrt{n(n - a_1 - a_2 -...- a_n)}$
$\Longrightarrow \sqrt{1-a_1} + \sqrt{1-a_2} +...+ \sqrt{1-a_n} \le \sqrt{n(n-1)}$
Do đó:
$$\dfrac{1}{\sqrt{1-a_1}} + \dfrac{1}{\sqrt{1-a_2}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{1-a_n}} \ge \dfrac{n^2}{\sqrt{1-a_1} + \sqrt{1-a_2} +...+ \sqrt{1-a_n}} \ge \dfrac{n^2}{\sqrt{n(n-1)}}$$
Suy ra:
$$VT \ge \dfrac{1}{n}.\dfrac{n^2}{\sqrt{n(n-1)}} \ge \dfrac{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} +...+ \sqrt{a_n}}{\sqrt{n-1}}$$
Xong@-)( bài này dễ với người ra đề))
@thinh: và dễ đối với thánh )

Em đề nghị đổi pic này thành Chuyên đề luyênj thi Đại học phần BDT =))
Cày như thế khác gì luyện thi đại học =))

Và hình như lời bác River nói ếu còn tác dụng với bọn này =))

 

[huynhbachkhoa23]

Đáp ứng nhu cầu của bác huy, cho bác này =))

Bài 1: Cho các số thực $a,b,c,d$ "không âm" thoả mãn $a^2+b^2+c^2+d^2=4$

Chứng minh $2(\sum a^3) \ge 2+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\sqrt{2+ab+ac+ad+bc+bd+dc}$

Bài 2: Chứng minh với mọi số thực dương $a,b,c$ và $a+b+c=3$ thì $2(\sum a^3) + 9 \ge 5(\sum a^2)$

Bài dễ không ai làm nhỉ

Bài 1: $(\sum a)^2=4 + 2(ab+ac+ad+bc+bd+dc)$

$\leftrightarrow \sum a= \sqrt{2(2+ab+ac+ad+bc+bd+dc)}$

BDT trở thành: $2\sum a^3 \ge 2+\dfrac{3}{2}(\sum a)$

Ta tìm một hệ số $k$ sao cho:
$ 2a^3 - \dfrac{3}{2}a \ge \dfrac{1}{2} + k(a-1)$ với $a\in [0;4]$

Ta phân tích ra: $\dfrac{4a^3-3a-1}{2} \ge k(a-1)$

$\leftrightarrow \dfrac{(2a+1)^2(a-1)}{2} \ge k(a-1)$

Chọn $k=\dfrac{9}{2}$

Bài 2 em bó =))

 

[riverflowsinyou1]

Mấy bác như thế này làm em cảm động quá ..................................................
Quá rồi đấy các bác làm em ...................................... kích thích v~~ )
C/m $\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n} \ge \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}$

 

[su10112000a]

Mấy bác như thế này làm em cảm động quá ..................................................
Quá rồi đấy các bác làm em ...................................... kích thích v~~ )
C/m $\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n} \ge \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}$

bài chị đăng ko ai làm giờ phải đăng bài dễ thế này để thu hút người khác làm sao=))
cái này ko cần chứng minh nó là bđt Cauchy-Schwars mà
chị đùa vui nhỉ)

 

[huynhbachkhoa23]

Mấy bác như thế này làm em cảm động quá ..................................................
Quá rồi đấy các bác làm em ...................................... kích thích v~~ )
C/m $\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n} \ge \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}$

Ta chứng minh như sau:

Cách 1: Kích thích BDT Cauchy-Schwarz cho ta "dccm" =))

Cách 2: Ta chứng minh như sau.

Có BDT sau: $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge \dfrac{(a+b)^2}{x+y}$

Áp dụng liên tiếp cho ta "dccm" =))