H
huynhbachkhoa23
Lạm dụng kiến thức không tốt
$\frac{x^5+2}{x^3}=x^2+\frac{2}{x^3}$
Xét $x<0,x>0$ thôi.
@
Hình như $x>0$ toàn tập =))......................................................
Hình như $x>0$ toàn tập =))......................................................
H
huynhbachkhoa23
Bài 4:
$\dfrac{x^3+2000}{x}=x^2+\dfrac{2000}{x}=x^2+ \dfrac{ 1000}{x}+\dfrac{1000}{x} \ge 3\sqrt[3]{1000000}=300$
Rồi, dấu bằng ở bài trước =))
$\dfrac{x^3+2000}{x}=x^2+\dfrac{2000}{x}=x^2+ \dfrac{ 1000}{x}+\dfrac{1000}{x} \ge 3\sqrt[3]{1000000}=300$
Rồi, dấu bằng ở bài trước =))
H
huynhbachkhoa23
Bài 3:
$\dfrac{x^3+1}{x^2}=x+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{x^2} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}$
Dấu bằng ở bài trước.
$\dfrac{x^3+1}{x^2}=x+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{x^2} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}$
Dấu bằng ở bài trước.
R
riverflowsinyou1
$x$ đã dương đâu ?................................................................
H
huynhbachkhoa23
Bài 1:
$\dfrac{x^5+2}{x^3}=x^2+\dfrac{2}{x^3}=\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{x^3}\ge 5\sqrt[5]{\dfrac{1}{27}}$
Dấu bằng ở bài trước.
$\dfrac{x^5+2}{x^3}=x^2+\dfrac{2}{x^3}=\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{x^3}\ge 5\sqrt[5]{\dfrac{1}{27}}$
Dấu bằng ở bài trước.
H
huynhbachkhoa23
Giờ nếu $x$ không lớn hơn $0$ thì đề đâu có đúng, với trên bài của thịnh cũng nói là $x>0$ rồi.
T
thinhrost1
Quả thật quên nghĩ tới cauchy )
$Max \dfrac{x^2}{(x^2+2)^3}$ với mọi x nhá Cái này min bằng 0 quá dễ rồi nên khỏi nói
)$Max \dfrac{x^2}{(x^2+2)^3}$ với mọi x nhá Cái này min bằng 0 quá dễ rồi nên khỏi nói
H
huynhbachkhoa23
Bài 2:
Nghịch đảo phân thức:
$\dfrac{x^6+6x^4+12x^2+8}{x^2}=x^4+6x^2+12+\dfrac{8}{x^2}=u^2+6u+\dfrac{8}{u}+12$ với $u > 0$
Giờ phải Cauchy nhưng không biết Cauchy như thế nào đây nhỉ =))
$u^2+6u+\dfrac{8}{u}+12 \ge 27$
Dấu bằng khi $u=1 \leftrightarrow x=1$
Vậy $\text{max} \dfrac{x^2}{(x^2+2)^3}=\dfrac{1}{27} \leftrightarrow x=1$
Nghịch đảo phân thức:
$\dfrac{x^6+6x^4+12x^2+8}{x^2}=x^4+6x^2+12+\dfrac{8}{x^2}=u^2+6u+\dfrac{8}{u}+12$ với $u > 0$
Giờ phải Cauchy nhưng không biết Cauchy như thế nào đây nhỉ =))
$u^2+6u+\dfrac{8}{u}+12 \ge 27$
Dấu bằng khi $u=1 \leftrightarrow x=1$
Vậy $\text{max} \dfrac{x^2}{(x^2+2)^3}=\dfrac{1}{27} \leftrightarrow x=1$
T
thinhrost1
Nhanh vãi ) bài này khó nè( không khó không lấy tks =)) ) !
Cho $a^2+b^2+c^2=2$
Tìm max $|a^3+b^3+c^3-3abc|$ Vì nâng cấp độ khó nên mình đã sửa tí)
) bài này khó nè( không khó không lấy tks =)) ) ! Cho $a^2+b^2+c^2=2$
Tìm max $|a^3+b^3+c^3-3abc|$ Vì nâng cấp độ khó nên mình đã sửa tí
)
S
su10112000a
ta có:
$\sum \dfrac{1}{a^2+1} = 4 - (\sum \dfrac{a^2}{a^2+1})$
$\rightarrow \dfrac{1}{a^2+1} \ge 4 - \dfrac{a+b+c+d}{2}$ (AD Cauchy)
$\rightarrow \dfrac{1}{a^2+1} \ge 2$
Xong:|
S
su10112000a
gần giống dạng bài vừa nãy của bác Khoa nhưng có đôi chút khác=)):
Đề:
Cho $a, b, c, d > 0$ và $a+b+c+d=4$. Chứng minh:
$$\sum \dfrac{a+1}{b^2+1} \ge 4$$
Đề:
Cho $a, b, c, d > 0$ và $a+b+c+d=4$. Chứng minh:
$$\sum \dfrac{a+1}{b^2+1} \ge 4$$
H
huy14112
Áp dụng bài đã giải của bác Su luôn thì ta chỉ còn cần đi CM
$ \sum \dfrac{a}{b^2+1} \ge 2$
Áp dụng AM-GM có :
$ \dfrac{a}{b^2+1} = a-\dfrac{b^2a}{b^2+1} \ge a-\dfrac{b^2a}{2b} =a-\dfrac{ab}{2}$
$\rightarrow \sum \dfrac{a}{b^2+1} \ge (a+b+c+d)-\dfrac{\sum ab}{2} =4-\dfrac{(b+d)(a+c)}{2} \ge 4-\dfrac{\dfrac{(a+b+c+d)^2}{4} }{2}=4-2=2 $
Ok rồi =))
H
huynhbachkhoa23
Bài của em em có lời giải khác, bài đó trích trong Cauchy ngược dấu, giờ sử dụng UTC =))
Giờ BDT chứng minh tương đương với:
$$ \sum \dfrac{2}{a^2+1} \ge 4 $$ (Nhân 2 lên tăng độ đàn hồi =)) Nhân lên cho ra số $1$ chứ để số $\dfrac{1}{2}$ nhìn chướng mắt)
Giờ ta cần tìm hệ số $m$ sao cho:
$$ \dfrac{2}{x^2+1} \ge 1+m(x-1) $$
Dự đoán $m=-1$: $\dfrac{x^3-2x^2+x}{x^2+1}=\dfrac{x(x-1)^2}{x^2+1} \ge 0$
Thế vào: $\sum \dfrac{1}{x^2+1} \ge 4-\dfrac{\sum a}{2}=2 \;\;\; \mathfrak{(dpcm)}$
Giờ BDT chứng minh tương đương với:
$$ \sum \dfrac{2}{a^2+1} \ge 4 $$ (Nhân 2 lên tăng độ đàn hồi =)) Nhân lên cho ra số $1$ chứ để số $\dfrac{1}{2}$ nhìn chướng mắt)
Giờ ta cần tìm hệ số $m$ sao cho:
$$ \dfrac{2}{x^2+1} \ge 1+m(x-1) $$
Dự đoán $m=-1$: $\dfrac{x^3-2x^2+x}{x^2+1}=\dfrac{x(x-1)^2}{x^2+1} \ge 0$
Thế vào: $\sum \dfrac{1}{x^2+1} \ge 4-\dfrac{\sum a}{2}=2 \;\;\; \mathfrak{(dpcm)}$
Last edited by a moderator:
R
riverflowsinyou1
S
su10112000a
câu này khó giải dược chắc cũng cỡ thánh=)):
Cho các số thực dương $a_1; a_2;...; a_n$ sao cho chúng có tổng bằng $1$. Chứng minh:
$$\dfrac{a_1}{\sqrt{1-a_1}} + \dfrac{a_2}{\sqrt{1-a_2}}+...+ \dfrac{a_n}{\sqrt{1-a_n}} \ge \dfrac{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} +...+ \sqrt{a_n}}{\sqrt{n-1}}$$
Khó nhỉ)
Cho các số thực dương $a_1; a_2;...; a_n$ sao cho chúng có tổng bằng $1$. Chứng minh:
$$\dfrac{a_1}{\sqrt{1-a_1}} + \dfrac{a_2}{\sqrt{1-a_2}}+...+ \dfrac{a_n}{\sqrt{1-a_n}} \ge \dfrac{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} +...+ \sqrt{a_n}}{\sqrt{n-1}}$$
Khó nhỉ
)
H
huynhbachkhoa23
Khó quá bác su =)) Làm được là thánh rồi =))
Thôi, chém tạm bài dễ này =))
Bài 1: Cấm áp dụng BDT Cauchy 3 số =))
Chứng minh $a+b+c\ge 3 \sqrt[3]{abc}$ với $a,b,c>0$
Bài 2: Chứng minh với mọi $x,y,z>0$ và $x+y+z=3$ thì:
$$ \sum \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2\sum x^2}{3} \ge 5 $$
Bài 3: Chứng minh rằng với dãy số dương $a_1;a_2;...;a_n$ có $a_1+a_2+...+a_n=n$ thì: $$ \dfrac{1}{a_1^2-a_1+n}+\dfrac{1}{a_2^2-a_2+n}+...+\dfrac{1}{a_n^2-a_n+n} \le 1 $$
Bài 4: Cho dãy số dương $a_1;a_2;...a_n$ có $a_1+a_2+...+a_n=n$
Tìm GTLN của biểu thức sau theo $n$:
$\dfrac{a_1}{3a_1^2+5}+\dfrac{a_2}{3a_2^2+5}+...+ \dfrac{ a_n}{3a_n^2+5}$
Thôi, chém tạm bài dễ này =))
Bài 1: Cấm áp dụng BDT Cauchy 3 số =))
Chứng minh $a+b+c\ge 3 \sqrt[3]{abc}$ với $a,b,c>0$
Bài 2: Chứng minh với mọi $x,y,z>0$ và $x+y+z=3$ thì:
$$ \sum \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2\sum x^2}{3} \ge 5 $$
Bài 3: Chứng minh rằng với dãy số dương $a_1;a_2;...;a_n$ có $a_1+a_2+...+a_n=n$ thì: $$ \dfrac{1}{a_1^2-a_1+n}+\dfrac{1}{a_2^2-a_2+n}+...+\dfrac{1}{a_n^2-a_n+n} \le 1 $$
Bài 4: Cho dãy số dương $a_1;a_2;...a_n$ có $a_1+a_2+...+a_n=n$
Tìm GTLN của biểu thức sau theo $n$:
$\dfrac{a_1}{3a_1^2+5}+\dfrac{a_2}{3a_2^2+5}+...+ \dfrac{ a_n}{3a_n^2+5}$
Last edited by a moderator:
R
ronaldover7
1/Gọi $\sqrt[3]{a}=x,\sqrt[3]{b}=y,\sqrt[3]{c}=z$
Cần CM $x^3+y^3+z^3$ \geq $3xyz$
$x^3+y^3+z^3$-$3xyz$ =$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
________________________________________________________________
2/$ \sum \dfrac{1}{x^2}$ \geq 2($ \sum \dfrac{1}{x}$) -3 \geq 2($ \dfrac{9}{\sum x}$) -3 \geq 3
$\dfrac{2\sum x^2}{3} $\geq $\dfrac{2.3}{3}=2$ (do x+y+z=3)
\Rightarrow dpcm
Cần CM $x^3+y^3+z^3$ \geq $3xyz$
$x^3+y^3+z^3$-$3xyz$ =$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
________________________________________________________________
2/$ \sum \dfrac{1}{x^2}$ \geq 2($ \sum \dfrac{1}{x}$) -3 \geq 2($ \dfrac{9}{\sum x}$) -3 \geq 3
$\dfrac{2\sum x^2}{3} $\geq $\dfrac{2.3}{3}=2$ (do x+y+z=3)
\Rightarrow dpcm
(*) Bác nào rảnh tham gia lun: http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=366679
Last edited by a moderator:
H
huynhbachkhoa23
Bài 2 em có cách giải khác:
Ta tìm hệ số $k$:
$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{3}x^2 \ge \dfrac{5}{3}+k(x-1)$
Chọn $k=\dfrac{-2}{3}$ và chứng minh ngược lại thì BDT đúng. (với $x,y,z \in (0;3)$)
Thế vào ta có điều cần chứng minh.
Ta tìm hệ số $k$:
$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{3}x^2 \ge \dfrac{5}{3}+k(x-1)$
Chọn $k=\dfrac{-2}{3}$ và chứng minh ngược lại thì BDT đúng. (với $x,y,z \in (0;3)$)
Thế vào ta có điều cần chứng minh.
S
satthuphucthu
R