Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[riverflowsinyou1]

mấy bác có vẻ chăm học nhỉ chả bù với em treo diễn đàn chơi game suốt=))
mấy bài này dễ mấy bác chém thoải mái=)):
Bài 1: Tìm $\mathfrak{GTNN}$ của:
$$A= \dfrac{3a}{b+c} + \dfrac{4b}{c+a} + \dfrac{5c}{a+b}$$
Bài 2: Cho $x, y, z \ge 1$ và $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 2$. Chứng minh:
$$\sqrt{x+y+z} \ge \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1}$$
Bài 3: Chứng minh với mọi số thực dương $a, b, c$ ta có:
$$\sum \dfrac{1}{a^3+b^3+abc} \le \dfrac{1}{abc}$$
Sẵn tiện cho em hỏi bác river là les hay gay vậy)

Nhớ bài 2 có giải rồi bác tìm mấy trang sau thử xem.................................

 

[ronaldover7]

mấy bác có vẻ chăm học nhỉ chả bù với em treo diễn đàn chơi game suốt=))
mấy bài này dễ mấy bác chém thoải mái=)):
Bài 3: Chứng minh với mọi số thực dương $a, b, c$ ta có:
$$\sum \dfrac{1}{a^3+b^3+abc} \le \dfrac{1}{abc}$$
Sẵn tiện cho em hỏi bác river là les hay gay vậy)

Bài 3:ÁP dụng $a^3+b^3$ \geq $ab(a+b)$
$$\sum \dfrac{1}{a^3+b^3+abc} \le \sum \dfrac{1}{ab(a+b+c)}$$=$\sum \dfrac{c}{abc(a+b+c)}$=$\dfrac{1}{abc}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1: Cho $a,b,c>0$ có $a+b+c\ge 3$

Tìm GTLN: $\dfrac{1}{a^2+b+c}+\dfrac{1}{b^2+c+a}+\dfrac{1}{c^2+a+b}$

Bài này theo lý thuyết UTC thì chỉ cần chứng minh với $a+b+c=3$ nên bài của Huy thêm cái lý thuyết vào nữa là đúng.

Bài tập áp dụng:

Chứng minh với $a,b,c>0$ thì:
$\sum \dfrac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2} \le \dfrac{6}{5}$

Chưa ai giải em giải luôn.

Chuẩn hoá $a+b+c=3$

BDT trở thành: $\sum \dfrac{a(3-a)}{2a^2-6a+9}\le \dfrac{6}{5}$

Giờ ta tìm hệ số m: $\dfrac{-x^2+3x}{2x^2-6x+9} \le \dfrac{2}{5}+m(x-1)$

Chọn $m=\dfrac{9}{25}$

Áp dụng vào $VT \le \dfrac{6}{5}+\dfrac{9}{25}(a+b+c-3)=\dfrac{6}{5}\;\;\; \mathfrak{(dpcm)}$

 

[riverflowsinyou1]

Giải pt
$\sqrt[4]{1-x^2}+\sqrt[4]{1+x^2}+\sqrt[4]{x+1}=3$

 

[huy14112]

Giải pt
$\sqrt[4]{1-x^2}+\sqrt[4]{1+x^2}+\sqrt[4]{x+1}=3$

Áp dụng bđt AM-GM ta có

$\sqrt[4]{1-x^2}=\sqrt[4]{(1-x)(1+x)} \le \dfrac{ \sqrt[]{1-x}+ \sqrt[]{x+1}}{2} \le \dfrac{1-x+1+1+x+1}{4}=1$

$ \sqrt[4]{1-x} \le \dfrac{ \sqrt[]{1-x}+1}{2}\le \dfrac{1}{2} + \dfrac{1-x+1}{4}$

Tương tự $ \sqrt[4]{1+x} \le \dfrac{1}{2} + \dfrac{1+x+1}{4}$

$\sqrt[4]{1-x^2}+ \sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{1+x} \le 1+1 \dfrac{1-x+1+1+x+1}{4}=3$

Mà $\sqrt[4]{1-x^2}+ \sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{1+x} =3$

Nên dấu = bắt buộc phải xảy ra $\leftrightarrow x=0$

 

[huynhbachkhoa23]

Áp dụng bđt AM-GM ta có

$\sqrt[4]{1-x^2}=\sqrt[4]{(1-x)(1+x)} \le \dfrac{ \sqrt[]{1-x}+ \sqrt[]{x+1}}{2} \le \dfrac{1-x+1+1+x+1}{4}=1$

$ \sqrt[4]{1-x} \le \dfrac{ \sqrt[]{1-x}+1}{2}\le \dfrac{1}{2} + \dfrac{1-x+1}{4}$

Tương tự $ \sqrt[4]{1+x} \le \dfrac{1}{2} + \dfrac{1+x+1}{4}$

$\sqrt[4]{1-x^2}+ \sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{1+x} \le 1+1 \dfrac{1-x+1+1+x+1}{4}=3$

Mà $\sqrt[4]{1-x^2}+ \sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{1+x} =3$

Nên dấu = bắt buộc phải xảy ra $\leftrightarrow x=0$

Kết quả đúng nhưng chép đề sai rồi kìa ông cố =))

Chưa có tập xác định nữa kìa

 

[riverflowsinyou1]

Cho $a,b,c>0$ sao cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$
C/m $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b} \ge 4$

 

[ronaldover7]

Cho $a,b,c>0$ sao cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$
C/m $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b} \ge 4$

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=365938 _________________________​

 

[huynhbachkhoa23]

Lâu nay toàn đề dạng gì đâu không, bỏ mặc đi cái BDT cơ bản nhất có tên là BCS =))

Bài:

Chứng minh $\dfrac{x^2}{(x+y)(x+z)} \ge \dfrac{3}{4}$ với mọi số dương $x,y,z$

 

[tanngoclai]

Lâu nay toàn đề dạng gì đâu không, bỏ mặc đi cái BDT cơ bản nhất có tên là BCS =))

Bài:

Chứng minh $\dfrac{x^2}{(x+y)(x+z)} \ge \dfrac{3}{4}$ với mọi số dương $x,y,z$

Đề :| $ \sum\dfrac{x^2}{(x+y)(x+z)} \ge \dfrac{3}{4}$

 

[huy14112]

Lâu nay toàn đề dạng gì đâu không, bỏ mặc đi cái BDT cơ bản nhất có tên là BCS =))

Bài:

Chứng minh $\dfrac{x^2}{(x+y)(x+z)} \ge \dfrac{3}{4}$ với mọi số dương $x,y,z$

Chuẩn hóa $x+y+z=1$ và áp dụng Schawrz

$\sum \dfrac{x^2}{(x+y)(x+z)} \ge \dfrac{(\sum x)^2}{(1-z)(1-x)+(1-y)(1-z)+(1-y)(1-x)}=\dfrac{1}{1+\sum xy} \ge \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3}(\sum x )^2} = \dfrac{3}{4}$

 

[huynhbachkhoa23]

Chuẩn hóa $a+b+c=1$ và áp dụng Schawrz

$\sum \dfrac{x^2}{(x+y)(x+z)} \ge \dfrac{(\sum x)^2}{(1-z)(1-x)+(1-y)(1-z)+(1-y)(1-x)}=\dfrac{1}{1+\sum xy} \ge \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3}(\sum x )} = \dfrac{4}{3}$

Học lại lớp 4 đi bác =))

$\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{3}{4}$

Sửa lại chỗ áp chót kìa, $\sum xy \le \dfrac{(\sum x)^2}{3}$

$a,b,c$ là cái ếu gì thế =))

 

[huy14112]

Học lại lớp 4 đi bác =))

$\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{3}{4}$

Sửa lại chỗ áp chót kìa, $\sum xy \le \dfrac{(\sum x)^2}{3}$

$a,b,c$ là cái ếu gì thế =))

Thì để bài nó là $\dfrac{3}{4}$ , ta chỉ nhầm viết lộn lên thành $\dfrac{4}{3}$ thôi mà , kể ra mình cũng hơi ngu =))

 

[huynhbachkhoa23]

Tiếp nào =))

Chứng minh với mọi $a,b,c > 0$ thì $\sum \dfrac{a}{b^2c^2} \ge \dfrac{9}{a+b+c}$ với $\sum \dfrac{a}{bc} = 3$

 

[su10112000a]

Tiếp nào =))

Chứng minh với mọi $a,b,c > 0$ thì $\sum \dfrac{a}{b^2c^2} \ge \dfrac{9}{a+b+c}$ với $\sum \dfrac{a}{bc} = 3$

ta có:
$\sum \dfrac{a}{bc}=3 \rightarrow a^2+b^2+c^2=3abc$
lại có:
$\sum \dfrac{a}{b^2c^2} \ge \dfrac{9}{a+b+c} \rightarrow (a^3+b^3+c^3)(a+b+c) \ge 9a^2b^2c^2$
mà $(a^3+b^3+c^3)(a+b+c) \ge (a^2+b^2+c^2)^2 = (3abc)^2 =9a^2b^2c^2 (\mathfrak{dpcm})$
xong:|

 

[huynhbachkhoa23]

ta có:
$\sum \dfrac{a}{bc}=3 \rightarrow a^2+b^2+c^2=3abc$
lại có:
$\sum \dfrac{a}{b^2c^2} \ge \dfrac{9}{a+b+c} \rightarrow (a^3+b^3+c^3)(a+b+c) \ge 9a^2b^2c^2$
mà $(a^3+b^3+c^3)(a+b+c) \ge (a^2+b^2+c^2)^2 = (3abc)^2 =9a^2b^2c^2 (\mathfrak{dpcm})$
xong:|

Lời giải khác:

Có $\sum a^2=3abc$

Cauchy-Schwarz dạng phân số:

$\sum \dfrac{a}{b^2c^2}=\sum \dfrac{a^4}{a(abc)^2} \ge \dfrac{(\sum a^2)^2}{(abc)^2(a+b+c)}=\dfrac{9}{a+b+c}$

Ok.

Tiếp, khó hơn 1 chút.

Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c,d > 0$ và $a+b+c+d=4$ thì $\sum \dfrac{1}{a^2+1} \ge 2$

 

[thinhrost1]

Bài dễ dễ

$Min,max:\dfrac{x^5+2}{x^3},\dfrac{x^2}{(x^2+2)^3},\dfrac{x^3+1}{x^2},\dfrac{x^3+2000}{x}$

Không sử dụng đạo hàm nhé !

P/s: một số bài có đk $x>0$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài dễ dễ

$Min,max:\dfrac{x^5+2}{x^3},\dfrac{x^2}{(x^2+2)^3},\dfrac{x^3+1}{x^2},\dfrac{x^3+2000}{x}$

Không sử dụng đạo hàm nhé !

Hình như thiếu cái gì đó

Ví dụ bài 1: $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^5+2}{x^3}=-∞$
$\lim\limits_{x\to -∞}\dfrac{x^5+2}{x^3}=\lim\limits_{x\to -∞}x^2=∞$

Vậy tính sao được.

@$x>0$

 

[riverflowsinyou1]

Bài dễ dễ

$Min,max:\dfrac{x^5+2}{x^3},\dfrac{x^2}{(x^2+2)^3},\dfrac{x^3+1}{x^2},\dfrac{x^3+2000}{x}$

Không sử dụng đạo hàm nhé !

P/s: một số bài có đk $x>0$

Lạm dụng kiến thức không tốt
$\frac{x^5+2}{x^3}=x^2+\frac{2}{x^3}$
Xét $x<0,x>0$ thôi.

@

 

[huynhbachkhoa23]

Em ngu nhất là tách số (

Nên em chỉ nói đến dấu bằng b-(

Bài 1: Khi $x^5=3$

Bài 2: Khi $x=1$

Bài 3: Khi $x^3=2$

Bài 4: Khi $x=10$

Chuẩn chứ bác thịnh rốt =))

@

=))

Nói thật thì cũng k biết cách giải =)) Mấy kết quả kia đạo hàm cũng ra mừ