Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

  • Thread starter riverflowsinyou1
  • Ngày gửi
  • Replies 1,008
  • Views 70,017

H

huynhbachkhoa23

Bài 1:

Chứng minh $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{...+\sqrt{x}}}}<\dfrac{1+ \sqrt{4x+1}}{2}$ ($n$ dấu căn, $x \ge 0$)

Bài 2:
Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. Tìm GTNN của $\sum \dfrac{1}{x^3(y+z)}$

Bài 3:

Tìm GTLN của $P=ac+bd+cd$ với $a^2+b^2=1$ và $c+d=4$
 
Last edited by a moderator:
R

riverflowsinyou1

huynhbachkhoa23 said:
Bài 1:

Chứng minh $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{...+\sqrt{x}}}}<\dfrac{1+ \sqrt{4x+1}}{2}$ ($n$ dấu căn, $x \ge 0$)

Bài 2:
Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. Tìm GTNN của $\sum \dfrac{1}{x^3(y+z)}$

Bài 3:

Tìm GTLN của $P=ac+bd+cd$ với $a^2+b^2=1$ và $c+d=4$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

2)
$\sum \frac{(yz)^2}{x^3.y^2.z^2.(y+z)} \ge \frac{(\sum xy)^2}{2(\sum xy)} \ge \frac{3.\sqrt{(xyz)^2}}{2}=\frac{3}{2} $
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$
 
H

huynhbachkhoa23

Bài 1:

Dãy $u_{n}$ thoả $u_1=\sqrt{x}$ và $u_{n+1}=\sqrt{x+u_{n}}$

$VT=u_{n}< \lim u_{n}=L$ với $L>0$

$L^2=\lim u_{n-1}+x =L+x$

$\leftrightarrow L^2-L-x=0 \leftrightarrow L=\dfrac{1+\sqrt{4x+1}}{2}$

P/S: $\lim u_n = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+....}}}$ vô hạn
 
P

phamvananh9

[TEX][/TEX]
Mọi người giúp mk bài này với, mk đang cần gấp:

Cho a;b>0. Chứng minh BĐT

$ \sqrt[]{a^2 + b^2}>\sqrt[3]{a^3 + b^3}$
 
P

phamvananh9

[TEX][/TEX]
Mọi người giúp mk bài này với, mk đang cần gấp:

Cho a;b>0. Chứng minh BĐT

$ \sqrt[]{a^2 + b^2}>\sqrt[3]{a^3 + b^3}$
 
Z

zezo_flyer

riverflowsinyou1 said:
Bài của bạn baochauhanoi1999 rất khó .
Ta có $Q-\frac{5}{12}=\frac{a.b.2+a+b+a.b.c-c}{(1+a)(b+1)(c+1)}-\frac{5}{12}=\frac{a.b(c+1)+(a+1)(b+1)-c-1}{(a+1)(b+1)(c+1)}-\frac{5}{12}$
$Q-\frac{5}{12}=\frac{a.b}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{c+1}-\frac{1}{(a+1)(b+1)}-\frac{5}{12}$
=$\frac{a.b}{(a+1)(b+1)}-\frac{1}{3}+\frac{1}{c+1}-0,25$+$\frac{1}{6}-\frac{1}{(a+1)(b+1)}$=$\frac{2.a.b-a-b-1}{3(a+1)(b+1)}+\frac{3-c}{4(c+1)}+\frac{a.b+a+b-5}{6(a+1)(b+1)}$ \geq $\frac{2.a.b-a-b-1}{3(a+1)(b+1)}+$ $\frac{3-b-1}{4(c+1)}$ + $\frac{a.b+b+a-5}{6(a+1)(1+b)}+\frac{a.b+a+b-5}{(a+1)(b+1)6}$ \geq 0
\Rightarrow $Q$ \geq $\frac{5}{12}$
\Rightarrow Min$Q$=$\frac{5}{12}$
Khó thiệt @-)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

chỗ màu xanh ấy, c \geq b+1 thì 3-c \leq 3-b-1 chứ ?
 
Last edited by a moderator:
H

huynhbachkhoa23

huynhbachkhoa23 said:

Bài 3:

Tìm GTLN của $P=ac+bd+cd$ với $a^2+b^2=1$ và $c+d=4$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Theo Cauchy-Schwarz:

$P \le \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+cd=\sqrt{16-2cd}+cd$

Đặt $t=cd \le \dfrac{(c+d)^2}{4}=4$

$f(t)=\sqrt{16-2t}+t$

$f'(t)=\dfrac{-1}{\sqrt{16-2t}}+1>0$ với $t\le 4$

$P \le f(t) \le f(4)=2\sqrt{2}+4$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\dfrac{1}{\sqrt{2}}; c=d=2$
 
H

huynhbachkhoa23

Thấy pic vắng quá :(

Cho 3 số thực $a,b,c,d$ thỏa $a,b,c,d \in [0;1]$

Chứng minh $a+b+c+d-abcd \le 3$

Đơn giản thôi =))
 
H

huynhbachkhoa23

Tình hình tự đăng và tự giải rất nhiều :|

Cho 4 số thực $a,b,c,d$ thỏa $a,b,c,d\in [0;1]$

Chứng minh $a+b+c+d-abcd \le 3$

Dùng phương pháp Look at the end point

Viết lại $f(a)=(1-bcd)a+b+c+d$

Ta coi hàm số trên là một hàm số theo $a$

Theo tính chất của hàm số bậc nhất thì $f(a)\le \text{max{f(0);f(1)}}$

$f(0)=b+c+d \le 3$

$f(1)=b+c+d-bcd+1$

$g(b)=(1-cd)b+c+d$

$g(b)\le \text{max{f(0); f(1)}}$

$g(0) =c+d\le 2$

$g(1)=c+d-cd+1=-(1-c)(1-d)+2 \le 2$

Suy ra điều cần chứng minh =))
 
Last edited by a moderator:
V

vipboycodon

Giải giúp mình bài này:
Cho $a,b,c \ge 0$ thoả mãn $a+b+c = 1$. CmR: $ab+bc+ca-2abc \le \dfrac{1}{27}$
 
Last edited by a moderator:
V

vipboycodon

Nhầm đề thưa bác :p
Cho $a,b,c \ge 0$ thoả mãn $a+b+c = 1$. CmR: $ab+bc+ca-2abc \le \dfrac{7}{27}$
 
H

huynhbachkhoa23

$ab+bc+ca-2abc \le ab+bc+ca-\dfrac{2[4(ab+bc+ca)-1]}{9}=\dfrac{ab+bc+ca}{9}+\dfrac{2}{9} \le \dfrac{(a+b+c)^2}{27}+\dfrac{6}{27}=\dfrac{7}{27}$
 
R

riverflowsinyou1

TOPIC xin được phục hồi :D
1) Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng : $\sum \frac{a\sqrt{a^{2}+bc}}{b+c}\ge a+b+c$
 
R

riverflowsinyou1

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm. Nếu $0<r \le m$, với $m$ là nghiệm của phương trình $(1+m)^{1+m}=(3m)^{m}$, $m \approx 1,558$ Thì
$\frac{x^{r}y+y^{r}z+z^{r}x}{3} \le ( \frac{x+y+z}{3})^{r+1}$
Coi thường tôi quá :p
 
H

huynhbachkhoa23

Dễ thấy đề sai với $r=\dfrac{1}{2}$ =))

$a^n+b^n+c^n \ge \dfrac{(a+b+c)^{n}}{3^{n-1}}$ chỉ đúng với $n>1$
 
R

riverflowsinyou1

1) Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:
$a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1} \le 5$
2) Cho $x,y,z> 0$, tìm $GTNN$ của
$P=\frac{x^7z}{x^5y^2z+2y^6}+\frac{y^7z^6}{y^5z^4+2x}+\frac{1}{x^2z^2+2x^6yz^7}$
 
E

eye_smile

vipboycodon said:
Nhầm đề thưa bác :p
Cho $a,b,c \ge 0$ thoả mãn $a+b+c = 1$. CmR: $ab+bc+ca-2abc \le \dfrac{7}{27}$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Cách khác chắc dài hơn:)

BĐT \Leftrightarrow $a(b+c-2bc)+bc \le \dfrac{7}{27}$

Giả sử $a \ge b \ge c$

\Rightarrow $\dfrac{1}{3} \le a \le 1$

Xét hàm số $f(a)=a(b+c-2bc)+bc$

%%- b+c-2bc>0 --->Hàm ĐB

\Rightarrow $f(a) \le f(1)=-bc \le 0$

%%- b+c-2bc=0

\Rightarrow $f(a)=bc \le \dfrac{1}{3}$

%%- b+c-2bc<0 --->Hàm NB

\Rightarrow $f(a) \le f(\dfrac{1}{3}) \le \dfrac{7}{27}$

\Rightarrow ....
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom