Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[huynhbachkhoa23]

Bài 3: Cho a;b;c > 0 và abc = 1.
CMR: $\dfrac{1}{a^3(b + c)} + \dfrac{1}{b^3(a + c)} + \dfrac{1}{c^3(a + b)} \ge \dfrac{3}{2}$

Bài 4: Cho a;b;c > 0 và abc = 1. Tìm Min $P = \dfrac{a^3}{(1 + b)(1 + c)} + \dfrac{b^3}{(1 + a)(1 + c)} + \dfrac{c^3}{(1 + a)(1 + b)}$

Bài 5: Cho a;b;c;d > 0 tìm Min của $P = \dfrac{a}{b + 2c + 3d} + \dfrac{b}{c + 2d + 3a} + \dfrac{c}{d + 2a + 3b} + \dfrac{d}{a + 2b + 3c}$

Bài 3:

$VT =\sum \dfrac{a^2b^2c^2}{a^3(b+c)}=\sum \dfrac{(bc)^2}{ab+ca} \ge \dfrac{(\sum ab)^2}{2\sum ab} \ge \dfrac{3\sqrt[3]{(abc)^2}}{2}=\dfrac{3}{2}$

Bài 4:

Đặt $t=a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}=3$

$P=\sum \dfrac{a^4}{abc+ab+ca+a} \ge \dfrac{(\sum a^2)^2}{3abc+2\sum ab+\sum a} \ge \dfrac{(\sum a)^4}{9(\dfrac{(\sum a)^3}{9}+\dfrac{2(\sum a)^2}{3}+\sum a)}=\dfrac{t^3}{t^2+6t+9}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{t}+ \dfrac{6}{t^2}+\dfrac{9}{t^3}} \ge \dfrac{3}{4}$

Bài 5:

$P= \sum \dfrac{a^2}{ab+2ca+3da} \ge \dfrac{(\sum a)^2}{4(ab+bc+cd+da+ca+db)}$

Và chú ý đẳng thức: $(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2bc+2cd+2da+2ac+2db$

Hay $\dfrac{1}{2}M=(a+b+c+d)^2-a^2-b^2-c^2-d^2 \le \dfrac{3(a+b+c+d)^2}{4}$

$P \ge \dfrac{2}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d$

P/s: $M$ là mẫu )

 

[huynhbachkhoa23]

Dùng phép phân tích và biến đổi biểu thức $ P=\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{a+b}-\dfrac{a+b+c}{2}$ ta có:

$ P=\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{a+b}-\dfrac{a+b+c}{2} = \dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}{2(a+b+c)} \ge 0 \text{(vì $a \ge b \ge c$)} $
\Rightarrow $\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{a+b} \ge \dfrac{a+b+c}{2}$
\Rightarrow $A=\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{1}{2(a+b+c)}+\dfrac{a+b+c}{9} \ge \dfrac{a+b+c}{2} + \dfrac{a+b+c}{9}+\dfrac{1}{2(a+b+c)}=\dfrac{11}{18}(a+b+c)+\dfrac{1}{2(a+b+c)} \ge \dfrac{\sqrt{11}}{3}$
\Rightarrow $A_{min}= \dfrac{\sqrt{11}}{3} .....................$
Không biết có đúng ko ta bác khoa coi dùm cái

Cách làm đúng, nhưng không biết bác phân tích có đúng không, lười đọc =))

 

[huynhbachkhoa23]

Dùng phép phân tích và biến đổi biểu thức $ P=\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{a+b}-\dfrac{a+b+c}{2}$ ta có:

$ P=\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{a+b}-\dfrac{a+b+c}{2} = \dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}{2(a+b+c)} \ge 0 \text{(vì $a \ge b \ge c$)} $
\Rightarrow $\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{a+b} \ge \dfrac{a+b+c}{2}$
\Rightarrow $A=\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{1}{2(a+b+c)}+\dfrac{a+b+c}{9} \ge \dfrac{a+b+c}{2} + \dfrac{a+b+c}{9}+\dfrac{1}{2(a+b+c)}=\dfrac{11}{18}(a+b+c)+\dfrac{1}{2(a+b+c)} \ge \dfrac{\sqrt{11}}{3}$
\Rightarrow $A_{min}= \dfrac{\sqrt{11}}{3} .....................$
Không biết có đúng ko ta bác khoa coi dùm cái

Bạn sai chỗ màu đỏ $a \ge c$ nên $c-a \le 0$

$\to $ Bạn cũng phân tích $P$ sai, thế $a=3; b=2; c=1$ thử đi.

Dạng này phải phân tách về 2 tổng mới ra

 

[hoamattroi_3520725127]

.......................................................................................

 

[hoamattroi_3520725127]

Bài 5:

$P= \sum \dfrac{a^2}{ab+2ca+3da} \ge \dfrac{(\sum a)^2}{4(ab+bc+cd+da+ca+db)}$

Và chú ý đẳng thức: $(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2bc+2cd+2da+2ac+2db$

Hay $\dfrac{1}{2}M=(a+b+c+d)^2-a^2-b^2-c^2-d^2 \le \dfrac{3(a+b+c+d)^2}{4}$

$P \ge \dfrac{2}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d$

P/s: $M$ là mẫu )

Chỗ in đỏ ấy

$(a + b + c + d)^2 \le 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)$

$\rightarrow (a + b + c + d)^2 - a^2 - b^2 - c^2 - d^2 \le 3(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)$

Như vậy thì $\dfrac{1}{2}. M \le \dfrac{3(a + b + c + d)^2}{4} \leftrightarrow 3(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \le \dfrac{3(a + b + c + d)^2}{4}$

$\leftrightarrow 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \le (a + b + c + d)^2$ (!?)

Mình suy ra thế bị sai chỗ nào không nhỉ

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=389439

Rảnh thì giúp mình luôn thắc mắc ở link trên!

Có một cách giải khác dùng bđt BCS, cách này mình cũng không hiểu từ đâu mà nó làm ra được thế, bạn giải thích luôn giúp mình nhá!

Áp dụng BCS có:

$A = \sqrt{13}.\sqrt{13(x^2 - x^4)} + \sqrt{27}.\sqrt{3(x^2 + x^4)} \le \sqrt{(13 + 27)[13(x^2 - x^4) + 3(x^2 + x^4)]}$

$A \le \sqrt{80(8x^2 - 5x^4)} = \sqrt{80.[\dfrac{16}{5} - 5(x^2 - \dfrac{4}{5})^2]} \le 16$

$\text{Max A} = 16 \leftrightarrow x = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

P.s : Ai có tài liệu về bđt, dành cho người mới học, nói chung là dành cho mấy đứa ngu như em, có hướng dẫn phương pháp giải chi tiết thì share em với ạ!

 

[minhhieupy2000]

Dùng phép phân tích và biến đổi biểu thức $ P=\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{a+b}-\dfrac{a+b+c}{2}$ ta có:

$ P=\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{a+b}-\dfrac{a+b+c}{2} = \dfrac{(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)}{2(a+b+c)} \ge 0 \text{(vì $a \ge b \ge c$)} $
\Rightarrow $\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{a+b} \ge \dfrac{a+b+c}{2}$
\Rightarrow $A=\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{1}{2(a+b+c)}+\dfrac{a+b+c}{9} \ge \dfrac{a+b+c}{2} + \dfrac{a+b+c}{9}+\dfrac{1}{2(a+b+c)}=\dfrac{11}{18}(a+b+c)+\dfrac{1}{2(a+b+c)} \ge \dfrac{\sqrt{11}}{3}$
\Rightarrow $A_{min}= \dfrac{\sqrt{11}}{3} .....................$

Đã sửa nhé bác Khoa !!!!!! Phân tích nhầm!!
$P=\dfrac{(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)}{2(a+b+c)}$
$(a-c)$ chứ không phải $(c-a)$ Sr bác
Sửa thêm:
Dấu bằng xảy ra:
\Leftrightarrow[tex]\left\{ \begin{array}{l} a+b+c+=\frac{\sqrt{11}}{3} \\ b=c \end{array} \right.[/tex]

 

[huynhbachkhoa23]

Chỗ in đỏ ấy

$(a + b + c + d)^2 \le 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)$

$\rightarrow (a + b + c + d)^2 - a^2 - b^2 - c^2 - d^2 \le 3(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)$

Như vậy thì $\dfrac{1}{2}. M \le \dfrac{3(a + b + c + d)^2}{4} \leftrightarrow 3(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \le \dfrac{3(a + b + c + d)^2}{4}$

$\leftrightarrow 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \le (a + b + c + d)^2$ (!?)

Mình suy ra thế bị sai chỗ nào không nhỉ

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=389439

Rảnh thì giúp mình luôn thắc mắc ở link trên!

Có một cách giải khác dùng bđt BCS, cách này mình cũng không hiểu từ đâu mà nó làm ra được thế, bạn giải thích luôn giúp mình nhá!



P.s : Ai có tài liệu về bđt, dành cho người mới học, nói chung là dành cho mấy đứa ngu như em, có hướng dẫn phương pháp giải chi tiết thì share em với ạ!

Mình chuyển về $(a+b+c+d)^2$ đâu phải là $a^2+b^2+c^2+d^2$ đâu mà.

$(a+b+c+d)^2-(a^2+b^2+c^2+d^2) \le (a+b+c+d)^2-\dfrac{(a+b+c+d)^2}{4}=\dfrac{3(a+b+c+d)^2}{4}$

 

[huynhbachkhoa23]

Đã sửa nhé bác Khoa !!!!!! Phân tích nhầm!!
$P=\dfrac{(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)}{2(a+b+c)}$
$(a-c)$ chứ không phải $(c-a)$ Sr bác
Sửa thêm:
Dấu bằng xảy ra:
\Leftrightarrow[tex]\left\{ \begin{array}{l} a+b+c+=\frac{\sqrt{11}}{3} \\ b=c \end{array} \right.[/tex]

Sai luôn.

Thay $a=3; b=2; c=1$ đi.

$VT=0.1; VP=1$

Và cũng không cần thế số vào chi cho mệt. Mẫu 2 bên khác nhau là biết rồi |

 

[huynhbachkhoa23]

Chỗ in đỏ ấy

$(a + b + c + d)^2 \le 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)$

$\rightarrow (a + b + c + d)^2 - a^2 - b^2 - c^2 - d^2 \le 3(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)$

Như vậy thì $\dfrac{1}{2}. M \le \dfrac{3(a + b + c + d)^2}{4} \leftrightarrow 3(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \le \dfrac{3(a + b + c + d)^2}{4}$

$\leftrightarrow 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \le (a + b + c + d)^2$ (!?)

Mình suy ra thế bị sai chỗ nào không nhỉ

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=389439

Rảnh thì giúp mình luôn thắc mắc ở link trên!

Có một cách giải khác dùng bđt BCS, cách này mình cũng không hiểu từ đâu mà nó làm ra được thế, bạn giải thích luôn giúp mình nhá!



P.s : Ai có tài liệu về bđt, dành cho người mới học, nói chung là dành cho mấy đứa ngu như em, có hướng dẫn phương pháp giải chi tiết thì share em với ạ!

Cái điểm rơi có thể dự đoán bằng cách sử dụng đạo hàm để tìm hoặc dùng chức năng SOLVE của máy tính cầm tay.

Có $x=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ là điểm rơi thì:

$13\sqrt{x^2-x^4}=\dfrac{26}{5}$

$9\sqrt{x^2+x^4}=\dfrac{54}{5}$

Ta tìm 2 hệ số $a,b$ sao cho $\dfrac{5a}{26}=\dfrac{5b}{54}$ (Dấu bằng của Bunyakovsky)

hay $a=\dfrac{13}{27}b$

Chọn $a=13$ thì $b=27$ (Cái này bạn tuỳ ý chọn)

Thôi, giờ mình chọn $a=26; b=54$

$A=\sqrt{26}.\sqrt{\dfrac{13}{2}(x^2-x^4)}+\sqrt{54}.\sqrt{\dfrac{3}{2}(x^2+x^4)} \le \sqrt{80.(8x^2-5x^4)}=... \le 16$

$\text{max A}=16 \leftrightarrow x=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

Đến đây thì bạn hiểu cách dùng tham số phụ để cân bằng hệ số rồi chứ

 

[minhhieupy2000]

Dùng phép phân tích và biến đổi biểu thức $ P=\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{a+b}-\dfrac{a+b+c}{2}$ ta có:

$ P=\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{a+b}-\dfrac{a+b+c}{2} = \dfrac{(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge 0 \text{(vì $a \ge b \ge c$)} $
\Rightarrow $\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{a+b} \ge \dfrac{a+b+c}{2}$
\Rightarrow $A=\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{1}{2(a+b+c)}+\dfrac{a+b+c}{9} \ge \dfrac{a+b+c}{2} + \dfrac{a+b+c}{9}+\dfrac{1}{2(a+b+c)}=\dfrac{11}{18}(a+b+c)+\dfrac{1}{2(a+b+c)} \ge \dfrac{\sqrt{11}}{3}$
\Rightarrow $A_{min}= \dfrac{\sqrt{11}}{3}$
Dấu bằng xảy ra khi: [tex]\left\{ \begin{array}{l} a+b+c+=\frac{\sqrt{11}}{3} \\ b=c \end{array} \right.[/tex]
Cái này mình phân tích đúng nhá : http://www.wolframalpha.com/input/?i=factor+(ab/(b+c)+bc/(c+a)+ca/(a+b)-(a+b+c)/2
Tật cẩu thả chẳng bao h sửa được

 

[riverflowsinyou1]

( mấy bác siêu quá em bái phục.
Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$
C/m $\sum \frac{1}{x^3+y^3+1} \le 1$

 

[minhhieupy2000]

Ta cũng đóng góp
Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$ C/m: $\sum{\dfrac{1}{1+(x+1)^3}} \ge 1$

 

[thopeo_kool]

Em đóng góp nhiều bài =))

Bài 1: Với a;b;c thuộc [1;2] hãy chứng minh bất đẳng thức sau:

$(a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) \le 10$

Cái này không biết em chứng minh kiểu gì nó lại $\le \dfrac{81}{8} = 10,125$ =))

Bài 2: Cho a;b;c $\le 1$. CMR:

$\dfrac{1}{a(b + 1)} + \dfrac{1}{b(c + 1)} + \dfrac{1}{c(a + 1)} \ge \dfrac{3}{1 + abc}$

Hướng là em định chứng minh $\dfrac{1}{a(b + 1)} + \dfrac{1}{b(c + 1)} \ge ? \ge \dfrac{2}{1 + abc}$

Bài 3: Cho $a;b;c;d \in [0; 1]$. Chứng minh rằng:

$\dfrac{a}{bc + cd + db + 1} + \dfrac{b}{cd + da + ac + 1} + \dfrac{c}{da + ab + bd + 1} + \dfrac{d}{ab + bc + ca + 1} \le \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4abcd}$

Bài 4: Giả sử a;b > 0 và c = a + b. CMR : $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c}$ (đã làm) và $\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3} < \sqrt{c^3}$

Bài 5: Chứng minh rằng nếu $a; b > 0$ thì $\sqrt{a^2 + b^2} > \sqrt[3]{a^3 + b^3}$

Bài 6: Với $a;b;c \ge 0$ và không có hai số nào bằng nhau. CMR:

$\dfrac{a^3(b - c) + b^3(c - a) + c^3(a - b)}{a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b)} \ge 3.\sqrt[3]{abc}$

Làm bài tập trích dẫn lại cái đề bài đó giúp em !

 

[huynhbachkhoa23]

Ta cũng đóng góp
Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$ C/m: $\sum{\dfrac{1}{1+(x+1)^3}} \ge 1$

Ờ, cái đề hay nhỉ =))

Thế $x=y=z=1$ sẽ thấy ngay điều bất ngờ =))

 

[huynhbachkhoa23]

( mấy bác siêu quá em bái phục.
Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$
C/m $\sum \frac{1}{x^3+y^3+1} \le 1$

$\dfrac{1}{x^3+y^3+1}=\dfrac{1}{x^3+y^3+xyz} \le \dfrac{z}{x+y+z}$

Tương tự ta có $VT \ge \dfrac{x+y+z}{x+y+z}=5$ =))

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 6: Với $a;b;c \ge 0$ và không có hai số nào bằng nhau. CMR:

$\dfrac{a^3(b - c) + b^3(c - a) + c^3(a - b)}{a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b)} \ge 3.\sqrt[3]{abc}$

Làm bài tập trích dẫn lại cái đề bài đó giúp em !

Bác 0***********************thuy phải không )

Đã có lời giải tại đây

 

[thopeo_kool]

Ờ, để giống nick face =))

Ơ thế là lại phải rút gọn phân thức hả Ngại khoản này )

 

[huynhbachkhoa23]

Bài này cũng khá dễ, lấy từ bác 0******thuy

Chứng minh $a,b,c \ge 0$ thì $a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{(abc)^2} \ge 2(ab+bc+ca)$

 

[phuong_july]

Em đóng góp nhiều bài =))



Bài 2: Cho a;b;c $\le 1$. CMR:

$\dfrac{1}{a(b + 1)} + \dfrac{1}{b(c + 1)} + \dfrac{1}{c(a + 1)} \ge \dfrac{3}{1 + abc}$

BDT \Leftrightarrow $(1+abc)[\frac{1}{a(b + 1)} + \frac{1}{b(c + 1)} + \frac{1}{c(a + 1)}]+3$\geq $6$
\Leftrightarrow $\frac{1+abc}{a(b+1)}+1+\frac{1+abc}{b(c+1)}+1$ $+\frac{1+abc}{c(a+1)}+1$ \geq $6$
\Leftrightarrow $\frac{1+abc+ab+a}{a(b+1)}+\frac{1+abc+bc+b}{b(c+1)}+\frac{1+abc+ac+c}{c(a+1)}$ \geq $6$
\Leftrightarrow $\frac{a+1}{a(b+1)}+\frac{b(c+1)}{b+1}+\frac{b+1}{b(c+1)}+\frac{c(a+1)}{c+1}+\frac{c+1}{c(a+1)}+$ $\frac{a(b+1)}{(a+1)}$ \geq $6$
Áp dụng Côsi 6 số ta cm được BDT trên đúng.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

 

[huy14112]

Với a,b,c không âm . CM

$2(a^2+b^2+c^2)+2abc+1\ge 3(ab+bc+ac)$