Toán bất đẳng thức -cực trị

[Tưi Tưi]

Bạn ơi làm sao bik 12a>0 vậy ? :v
Với lại chưa dùng vụ abc=1 nữa ...

[tex]a^{3}> 36[/tex] thì a dương =))
Lúc quy đồng mẫu thì có 36abc=36 còn gì

 

[Nguyễn Mạnh Trung]

Bài 43: (Tồn đọng)
Cho $1 \leq a,b,c \leq 3$ và $a+b+c=6$.
Chứng minh rằng: $a^3+b^3+c^3 \leq 36$

cái đề lỗi không á Hiếu:
[tex]a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{3}=\frac{6^{3}}{3}=72[/tex]
vậy 72=<36 ??

 

[kingsman(lht 2k2)]

44 các bác ơi

dành cho @Quân Nguyễn 209 @Kiều Đặng Minh Ngọc và @Tony Time
cân mấy bài này lên lớp 10 hk2 học sướng lắm ....

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

cái đề lỗi không á Hiếu:
[tex]a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{3}=\frac{6^{3}}{3}=72[/tex]
vậy 72=<36 ??

Tầm bậy nhé :v. Làm gì có bđt đấy :v

 

[tranvandong08]

44 các bác ơi
View attachment 15053
dành cho @Quân Nguyễn 209 @Kiều Đặng Minh Ngọc và @Tony Time
cân mấy bài này lên lớp 10 hk2 học sướng lắm ....

$44, $ Bóc tem
Áp dụng BĐT
\[\frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\]
ta có :
\[\frac{1}{2a+3b+3c}=\frac{1}{a+c+b+c+b+c+a+b}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a+c+b+c}+\frac{1}{b+c+a+b}) \\\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{4}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})+\frac{1}{4}(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}))\]

 

[Tony Time]

44 các bác ơi
View attachment 15053
dành cho @Quân Nguyễn 209 @Kiều Đặng Minh Ngọc và @Tony Time
cân mấy bài này lên lớp 10 hk2 học sướng lắm ....

Áp dụng BĐT:
[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}[/tex] (Dễ dàng cm đc)
Ta có:
[tex]\frac{9}{2a+3b+3c}=\frac{9}{a+c+a+b+2(b+c)}\leq \frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2(b+c)}[/TEX]
Tương tự, ta có: [TEX] \frac{9}{3a+2b+3c}\leq \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2(c+a)}[/TEX]
[TEX]\frac{9}{3a+3b+2c}\leq \frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2(a+b)}[/tex]

Cộng các vế, ta đc:
[tex]9P\leq ...... \Leftrightarrow P\leq ......[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi[TEX]a=b=c=......[/TEX]

P/S: Lâu lắm mới thấy bác @tranvandong08 onl lại, mà onl đúng lúc ghê :v

 

[Quân Nguyễn 209]

Bác @Nguyễn Xuân Hiếu ơi :v
Bác có tài liệu về phương pháp giải bđt không mẫu mực ko :v
Lâu nay toàn up bđt đối xứng nên giờ gặp mấy dạng này thấy khó khăn quá :hix
Có thì bác share vs, e yếu phần này lém :v
VD:
[TEX]\boxed{45}[/TEX]

[TEX]\boxed{46}[/TEX]
Cho x thuộc (0;1). Chứng minh [TEX] x+x.\sqrt{1-x^2} \leq \frac{3\sqrt{3}}{4}[/TEX]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bác @Nguyễn Xuân Hiếu ơi :v
Bác có tài liệu về phương pháp giải bđt không mẫu mực ko :v
Lâu nay toàn up bđt đối xứng nên giờ gặp mấy dạng này thấy khó khăn quá :hix
Có thì bác share vs, e yếu phần này lém :v
VD:
[TEX]\boxed{45}[/TEX]
View attachment 15356
[TEX]\boxed{46}[/TEX]
Cho x thuộc (0;1). Chứng minh [TEX] x+x.\sqrt{1-x^2} \leq \frac{3\sqrt{3}}{4}[/TEX]

:v. Thực ra dạng này mình cũng làm kiểu đối xứng thôi :v. Chủ yếu không xảy ra dấu '=' thôi :v.
$\dfrac{1}{x+y+1}-\dfrac{1}{(x+1)(y+1)}<\dfrac{1}{x+y+1}-\dfrac{4}{(x+y+2)^2}$
Đặt $x+y+1=a(a>1)$. Ta sẽ đi cm:
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{4}{(a+1)^2}<\dfrac{1}{11}
\\\Rightarrow \dfrac{-(a^3-9a^2+23a-11)}{11a(a+1)^2}<0$
Do đó cần cm:$a^3-9a^2+23a-11>0$.
Tới đây xét hàm số: $f(x)=x^3-9x^2+23x-11$.
Lập bảng biến thiên thì thấy $f(x)>0$ với $x>1$ do đó có dpcm.
bài 46: Tách theo điểm rơi thôi :v
$x+\sqrt{3}\sqrt{(\dfrac{1}{3}x^2)(1-x^2)}$
Tới đây AM-GM rồi tách hđt là ra.

 

[thuankieu.dongthap@gmail.com]

Mọi người giúp em giải bài này được không ạ? Em không biết nên hỏi ở đâu
Bài 47:
[tex]\frac{a}{b}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}} > \frac{5}{2}[/tex] với mọi a,b,c >0
Cảm ơn mọi người ạ

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

$\dfrac{a}{b}+\sqrt{\dfrac{b}{c}}+\sqrt[3]{\dfrac{c}{a}}
\\=\dfrac{a}{b}+\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{b}{c}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{b}{c}}+\dfrac{1}{3}\sqrt[3]{\dfrac{c}{a}}+\dfrac{1}{3}\sqrt[3]{\dfrac{c}{a}}+\dfrac{1}{3}\sqrt[3]{\dfrac{c}{a}}
\\\geq 6\sqrt[6]{\dfrac{a}{b}.\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{b}{c}}.\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{b}{c}}.\dfrac{1}{3}\sqrt[3]{\dfrac{c}{a}}.\dfrac{1}{3}\sqrt[3]{\dfrac{c}{a}}.\dfrac{1}{3}\sqrt[3]{\dfrac{c}{a}}}
\\=6\sqrt{\dfrac{1}{2^2.3^3}}
\\> \dfrac{5}{2}$
Lần sau đăng bài bạn nhớ đọc nôi quy của topic nhé :v. Phải ghi số tự tự bài nhé. Đây là lần đầu tiên nên mình chỉ nhắc nhở thôi:v. Mọi bài tập liên quan tới bđt-cực trị bạn cứ đăng vào đây nhé :v. Thân!! @thuankieu.dongthap@gmail.com

 

[thuankieu.dongthap@gmail.com]

Bài 48: Chứng minh:
[tex]8^{a}+8^{b}+8^{c}\geq 2^{a}+2^{b}+2^{c}[/tex] Với mọi [tex]a+b+c=0[/tex]
Có bài giải nhưng tớ không hiểu lắm, Xuân Hiếu giúp tớ giải nhé. Cảm ơn cậu.

 

[Dương Bii]

Bài 48: Chứng minh:
[tex]8^{a}+8^{b}+8^{c}\geq 2^{a}+2^{b}+2^{c}[/tex] Với mọi [tex]a+b+c=0[/tex]
Có bài giải nhưng tớ không hiểu lắm, Xuân Hiếu giúp tớ giải nhé. Cảm ơn cậu.

BĐT Holder
$((2^a)^{3}+(2^b)^{3}+(2^c)^{3})(1+1+1)(1+1+1)\geq (2^a+2^b+2^c)^3 \geq ((2^a+2^b+2^c)9(\sqrt[3]{2^a.2^b.2^c})^2= (2^a+2^b+2^c).9.(\sqrt[3]{2^{a+b+c}})^2\geq 9(2^a+2^b+2^c)$
$=>$ ĐPCM

Cái kia :$ ...\geq 9(2^a+2^b+2^c)$ nữa ...

 

[Quân Nguyễn 209]

Bài 48: Chứng minh:
[tex]8^{a}+8^{b}+8^{c}\geq 2^{a}+2^{b}+2^{c}[/tex] Với mọi [tex]a+b+c=0[/tex]
Có bài giải nhưng tớ không hiểu lắm, Xuân Hiếu giúp tớ giải nhé. Cảm ơn cậu.

Bài này có khá nhìu cách làm, cách mih làm là phương pháp đổi biến bạn tham khảo nhé :v
Đặt [TEX]x=2^a[/TEX] , [TEX]y=2^b [/TEX], [TEX]z=2^c[/TEX] ta sẽ có [TEX] xyz=2^{a+b+c} = 1[/TEX]
Lại có : [TEX]x^3 = (2a)^3 = 8^a[/TEX]
[TEX]y^3 = (2b)^3 = 8^b[/TEX] và [TEX]z^3=(2c)^3=8^c[/TEX]
Tới đây ta đã quy bđt cần CM về dạng rất cơ bản là : [TEX]x^3+y^3+z^3 \geq x+y+z[/TEX] với [TEX]xyz=1[/TEX]
Bđt đc CM ~~

 

[thuankieu.dongthap@gmail.com]

Bài 49:
[tex]a> b> c> 0; a\leq 3; ab\leq 6; abc\leq 6[/tex]
Chứng minh rằng:
[tex]a+b+c\leq 6[/tex]

--------
Các bạn giúp mình giải nha. Vì mình không hiểu bài giải trên tài liệu lắm. Thank you

 

[Tony Time]

Bài 49:
[tex]a> b> c> 0; a\leq 3; ab\leq 6; abc\leq 6[/tex]
Chứng minh rằng:
[tex]a+b+c\leq 6[/tex]

--------
Các bạn giúp mình giải nha. Vì mình không hiểu bài giải trên tài liệu lắm. Thank you

Ta có: ab<=6 mà a<=3 suy ra b<=2
Tương tự suy ra c<=1
Cộng theo vế ta có:
a+b+c<=3+2+1=6 (đpcm)

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Một số bài tồn đọng trên diễn đàn:
Bài 50.Cho a>b>c thỏa mãn a+b+c=1 và ab+bc+ac>0. Tìm GTNN :
A =[tex]\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{a-c}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}[/tex]
Bài 51. Cho a, b [tex]\geq 0[/tex], a+b=2 . Tìm GTLN của : Q = [tex](a^{2}+1)(b^{2}+1)[/tex]
Bài 52. Cho a,b,c>0 thỏa abc=1. Tìm GTLN của :
P = [tex]\frac{2}{(a+1)^{2}+b^{2}+1}+\frac{2}{(b+1)^{2}+c^{2}+1}+\frac{2}{(c+1)^{2}+a^{2}+1}[/tex]
Bài 53. Cho a,b,c thỏa a+b khác 0. Chứng minh rằng : [tex]a^{2}+b^{2}+(\frac{1+ab}{a+b})^{2}\geq 2[/tex]
Bài 54:
Cho 3 số dương $a, b, c$ thỏa mãn: [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{c}= \frac{2}{b}[/tex]
Chứng minh: [tex]\frac{a+b}{2a-b}+\frac{b+c}{2b-c}\geq 4[/tex]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 52:
$P=\sum \dfrac{2}{a^2+2a+b^2+2}
\\\geq \sum \dfrac{2}{2ab+2a+2}
\\=\sum \dfrac{1}{ab+a+1}$
Đặt: $a=\dfrac{1}{x},b=\dfrac{1}{y} \Rightarrow c=xy$.
Thay vào ta sẽ có bổ đề quen thuộc: $\sum \dfrac{1}{ab+a+1}=1$ với $abc=1$

 

[thuankieu.dongthap@gmail.com]

Bài 55:
Cho a,b,c >0 ; ab+bc+ca=1
Chứng minh rằng:
[tex]\frac{a^{3}}{b+c}+\frac{b^{3}}{c+a}+\frac{c^{3}}{a+b} \geq \frac{1}{2}[/tex]

Tài liệu giải có một số chỗ tớ không hiểu, các cậu ai biết giải thích giúp mình nha.
Giải:
Với a,b,c >0, ta có:
[tex]\frac{a^{3}}{b+c}+\frac{ab+ac}{4} \geq \frac{a^{2}}{2}[/tex]
[tex]\frac{b^{3}}{a+c}+\frac{ab+bc}{4} \geq \frac{b^{2}}{2}[/tex]
[tex]\frac{c^{3}}{a+b}+\frac{ac+bc}{4} \geq \frac{c^{2}}{2}[/tex]
=>
[tex]\frac{a^{3}}{b+c}+\frac{b^{3}}{c+a}+\frac{c^{3}}{a+b}+\frac{ab+bc+ca}{2} \geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}[/tex]
[tex]\frac{a^{3}}{b+c}+\frac{b^{3}}{c+a}+\frac{c^{3}}{a+b} \geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{1}{2}\geq \frac{1}{2}[/tex]
(Tại sao [tex]\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{1}{2}\geq \frac{1}{2}[/tex] ?)
Dùng bất đẳng thức nào để xác định VP? Nếu là BĐT Côsi thì phải như này chứ nhỉ?
[tex]\frac{a^{3}}{b+c}+\frac{ab+ac}{4} \geq a^{2}[/tex]
[tex]\frac{b^{3}}{a+c}+\frac{ab+bc}{4} \geq b^{2}[/tex]
[tex]\frac{c^{3}}{a+b}+\frac{ac+bc}{4} \geq c^{2}[/tex]

Rối quá đồng bọn ạ :'( =))

 

[Quân Nguyễn 209]

(Tại sao [tex]\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{1}{2}\geq \frac{1}{2}[/tex] ?)

Do [tex]\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{1}{2}\geq ab+bc+ac - 1/2 \geq 1/2[/TEX] :v
Còn cái chỗ " xác định vế phải " là dùng bđt BCS dạng engel :v

 

[thuankieu.dongthap@gmail.com]

Do [tex]\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{1}{2}\geq ab+bc+ac - 1/2 \geq 1/2[/TEX] :v

Còn tại sao
[tex]\frac{a^{3}}{b+c}+\frac{ab+ac}{4} \geq \frac{a^{2}}{2}[/tex]
[tex]\frac{b^{3}}{a+c}+\frac{ab+bc}{4} \geq \frac{b^{2}}{2}[/tex]
[tex]\frac{c^{3}}{a+b}+\frac{ac+bc}{4} \geq \frac{c^{2}}{2}[/tex]
vậy cậu?