Mình đã trả lời ở trên rồi nhá :v
Đây không phải Cauchy mà là BCS dạng engel :v
Toán bất đẳng thức -cực trị
- Thread starter Viet Hung 99
- Ngày gửi
- Replies 213
- Views 18,329
-
- Tags
- bất đẳng thức cực trị hsg
Đây không phải Cauchy mà là BCS dạng engel :v
Bài 56:
Cho [tex]a_{1};a_{2};...;a_{n}> 0; 3\leq n\epsilon \mathbb{N}[/tex]
Chứng minh:
[tex]\frac{a_{1}^{2}+a_{2}a_{3}}{a_{1}(a_{2}+a_{3})}+\frac{a_{2}^{2}+a_{3}a_{1}}{a_{2}(a_{3}+a_{1})}+...+\frac{a_{n-1}^{2}+a_{n}a_{1}}{a_{n-1}(a_{n}+a_{1})}+\frac{a_{n}^{2}+a_{1}a_{2}}{a_{n}(a_{1}+a_{2})}\geq n[/tex]
Cho [tex]a_{1};a_{2};...;a_{n}> 0; 3\leq n\epsilon \mathbb{N}[/tex]
Chứng minh:
[tex]\frac{a_{1}^{2}+a_{2}a_{3}}{a_{1}(a_{2}+a_{3})}+\frac{a_{2}^{2}+a_{3}a_{1}}{a_{2}(a_{3}+a_{1})}+...+\frac{a_{n-1}^{2}+a_{n}a_{1}}{a_{n-1}(a_{n}+a_{1})}+\frac{a_{n}^{2}+a_{1}a_{2}}{a_{n}(a_{1}+a_{2})}\geq n[/tex]
Bài 56: Mình nghĩ đề bài sai ở phân thức thứ hai, cụ thể, ta cần sửa [tex]a_{1}[/tex] thành [tex]a_{4}[/tex]
Lời giải theo cách sửa đầu bài trên:
Ta nhận thấy:
[tex]\frac{a_1^2+a_2a_3}{a_1+(a_2+a_3)}=\frac{a_1^2+a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1}{a_1(a_2+a_3)}-1=\frac{(a_1+a_2)(a_3+a_1)}{a_1(a_2+a_3)}-1\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}-1\Rightarrow\frac{a_1^2+a_2a_3}{a_1+(a_2+a_3)}\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}-1[/tex]
CM tương tự rồi cộng các bất đẳng thức có dạng như trên ta được:
[tex]VT\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}+\frac{2(a_2+a_3)\sqrt{a_2a_4}}{a_2(a_3+a_4)}+...+\frac{2(a_{n-1}+a_n)\sqrt{a_{n-1}a_1}}{a_{n-1}(a_n+a_1)}+\frac{2(a_n+a_1)\sqrt{a_na_2}}{a_n(a_1+a_2)}-n\geq2\sqrt[n]{\frac{(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}.\frac{(a_2+a_3)\sqrt{a_2a_4}}{a_2(a_3+a_4)}...\frac{(a_{n-1}+a_n)\sqrt{a_{n-1}a_1}}{a_{n-1}(a_n+a_1)}.\frac{(a_n+a_1)\sqrt{a_na_2}}{a_n(a_1+a_2)}}-n=2n-n=n[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi vào chỉ khi: [tex]a_1=a_2=..=a_n[/tex]
Vậy ta có đpcm
Lời giải theo cách sửa đầu bài trên:
Ta nhận thấy:
[tex]\frac{a_1^2+a_2a_3}{a_1+(a_2+a_3)}=\frac{a_1^2+a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1}{a_1(a_2+a_3)}-1=\frac{(a_1+a_2)(a_3+a_1)}{a_1(a_2+a_3)}-1\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}-1\Rightarrow\frac{a_1^2+a_2a_3}{a_1+(a_2+a_3)}\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}-1[/tex]
CM tương tự rồi cộng các bất đẳng thức có dạng như trên ta được:
[tex]VT\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}+\frac{2(a_2+a_3)\sqrt{a_2a_4}}{a_2(a_3+a_4)}+...+\frac{2(a_{n-1}+a_n)\sqrt{a_{n-1}a_1}}{a_{n-1}(a_n+a_1)}+\frac{2(a_n+a_1)\sqrt{a_na_2}}{a_n(a_1+a_2)}-n\geq2\sqrt[n]{\frac{(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}.\frac{(a_2+a_3)\sqrt{a_2a_4}}{a_2(a_3+a_4)}...\frac{(a_{n-1}+a_n)\sqrt{a_{n-1}a_1}}{a_{n-1}(a_n+a_1)}.\frac{(a_n+a_1)\sqrt{a_na_2}}{a_n(a_1+a_2)}}-n=2n-n=n[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi vào chỉ khi: [tex]a_1=a_2=..=a_n[/tex]
Vậy ta có đpcm
Ở phần trả lời trên, trước cái căn bậc n mình thiếu một chữ "n" nữa, xin lỗi
[tex]\left | 36^m-5^n \right | \geq 0[/tex] Với mọi m,n nguyên.
=> MinP = 0 <=> [tex]36^m - 5^n=0[/tex]
=> [tex]36^m=5^n[/tex]
Mình nghĩ Chỉ xảy ra 1 trường hợp là đồng bằng 1. => m=n=0
Vậy MinP=0 <=> m=n=1.
Do x,y,z dương
[tex]P=\sqrt{xy+3xz}+\sqrt{\frac{y^{2}+yz}{2}}=\frac{1}{4}2\sqrt{4x}\sqrt{y+3z}+\frac{1}{2}2\sqrt{y}\sqrt{\frac{y+z}{2}}\leq \frac{1}{4}(4x+y+3z)+\frac{1}{2}(y+\frac{y+z}{2})=x+y+z=3[/tex]
Bài 59:
Chứng minh rằng:
[tex]a+\frac{4a^3}{(a-1)(a+1)^3}> 3[/tex]
với mọi [tex]a > 1[/tex]
Cảm ơn nhé <3
Chứng minh rằng:
[tex]a+\frac{4a^3}{(a-1)(a+1)^3}> 3[/tex]
với mọi [tex]a > 1[/tex]
Cảm ơn nhé <3
xin lỗi, để mk sửa đề =))
Xét
[tex]36^m[/tex] với m nguyên dương thì luôn có chữ số tận cùng là 6
[tex]5^n[/tex] với n nguyên dương thì luôn có chữ số tận cùng là 5
+ Nếu [tex]36^m[/tex] > [tex]5^n[/tex]
P có chữ số tận cùng là 1. MinP = 11
+ Nếu [tex]5^n[/tex] > [tex]36^m[/tex]
P có chữ số tận cùng là 9. MinP = 19
Từ 2 Trường hợp => MinP =11. <=> m=1; n=2
Bài 60:
Tìm giá trị nhỏ nhất của
[tex]S=\frac{(a^{2}+16\left | a \right |+48)(a^{2}+12\left | a \right |+27)}{a^{2}}[/tex]
Tìm giá trị nhỏ nhất của
[tex]S=\frac{(a^{2}+16\left | a \right |+48)(a^{2}+12\left | a \right |+27)}{a^{2}}[/tex]
- 23 Tháng bảy 2016
- 1,123
- 1,495
- 344
- 22
- Đắk Nông
$S-675=\dfrac{(a-6)^2(a^2+40a+46)}{a^2} \geq 0
\\\Rightarrow S \geq 675$
Dấu '=' khi $a=6$
- 23 Tháng bảy 2016
- 1,123
- 1,495
- 344
- 22
- Đắk Nông
Quy đồng dpcm:
$\dfrac{a^5-a^4-2a^3-2a^2+5a+3}{(a-1)(a+1)^3}>0$
Bạn chứng minh $f(x)=x^5-x^4-2x^3-2x^2+5x+3$ đồng biến trên khoảng $(1,+\propto )$. Mà $f(1)>0$.
Do đó có dpcm.
Không xài đạo hàm thì bạn tách hđt kết hợp $x>1$ cũng được :v