Bài 56: Mình nghĩ đề bài sai ở phân thức thứ hai, cụ thể, ta cần sửa [tex]a_{1}[/tex] thành [tex]a_{4}[/tex]
Lời giải theo cách sửa đầu bài trên:
Ta nhận thấy:
[tex]\frac{a_1^2+a_2a_3}{a_1+(a_2+a_3)}=\frac{a_1^2+a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1}{a_1(a_2+a_3)}-1=\frac{(a_1+a_2)(a_3+a_1)}{a_1(a_2+a_3)}-1\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}-1\Rightarrow\frac{a_1^2+a_2a_3}{a_1+(a_2+a_3)}\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}-1[/tex]
CM tương tự rồi cộng các bất đẳng thức có dạng như trên ta được:
[tex]VT\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}+\frac{2(a_2+a_3)\sqrt{a_2a_4}}{a_2(a_3+a_4)}+...+\frac{2(a_{n-1}+a_n)\sqrt{a_{n-1}a_1}}{a_{n-1}(a_n+a_1)}+\frac{2(a_n+a_1)\sqrt{a_na_2}}{a_n(a_1+a_2)}-n\geq2\sqrt[n]{\frac{(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}.\frac{(a_2+a_3)\sqrt{a_2a_4}}{a_2(a_3+a_4)}...\frac{(a_{n-1}+a_n)\sqrt{a_{n-1}a_1}}{a_{n-1}(a_n+a_1)}.\frac{(a_n+a_1)\sqrt{a_na_2}}{a_n(a_1+a_2)}}-n=2n-n=n[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi vào chỉ khi: [tex]a_1=a_2=..=a_n[/tex]
Vậy ta có đpcm