Toán bất đẳng thức -cực trị

Quân Nguyễn 209

Học sinh chăm học
Thành viên
8 Tháng sáu 2017
356
335
86
TP Hồ Chí Minh
Blank
Còn tại sao
[tex]\frac{a^{3}}{b+c}+\frac{ab+ac}{4} \geq \frac{a^{2}}{2}[/tex]
[tex]\frac{b^{3}}{a+c}+\frac{ab+bc}{4} \geq \frac{b^{2}}{2}[/tex]
[tex]\frac{c^{3}}{a+b}+\frac{ac+bc}{4} \geq \frac{c^{2}}{2}[/tex]
vậy cậu?
Mình đã trả lời ở trên rồi nhá :v
Đây không phải Cauchy mà là BCS dạng engel :v
 

thuankieu.dongthap@gmail.com

Học sinh
Thành viên
15 Tháng một 2016
44
26
21
21
Đồng Tháp
Bài 56:
Cho [tex]a_{1};a_{2};...;a_{n}> 0; 3\leq n\epsilon \mathbb{N}[/tex]
Chứng minh:
[tex]\frac{a_{1}^{2}+a_{2}a_{3}}{a_{1}(a_{2}+a_{3})}+\frac{a_{2}^{2}+a_{3}a_{1}}{a_{2}(a_{3}+a_{1})}+...+\frac{a_{n-1}^{2}+a_{n}a_{1}}{a_{n-1}(a_{n}+a_{1})}+\frac{a_{n}^{2}+a_{1}a_{2}}{a_{n}(a_{1}+a_{2})}\geq n[/tex]
 

KwangDat

Học sinh
Thành viên
20 Tháng sáu 2017
46
54
41
22
Bài 56: Mình nghĩ đề bài sai ở phân thức thứ hai, cụ thể, ta cần sửa [tex]a_{1}[/tex] thành [tex]a_{4}[/tex]
Lời giải theo cách sửa đầu bài trên:
Ta nhận thấy:
[tex]\frac{a_1^2+a_2a_3}{a_1+(a_2+a_3)}=\frac{a_1^2+a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1}{a_1(a_2+a_3)}-1=\frac{(a_1+a_2)(a_3+a_1)}{a_1(a_2+a_3)}-1\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}-1\Rightarrow\frac{a_1^2+a_2a_3}{a_1+(a_2+a_3)}\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}-1[/tex]
CM tương tự rồi cộng các bất đẳng thức có dạng như trên ta được:
[tex]VT\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}+\frac{2(a_2+a_3)\sqrt{a_2a_4}}{a_2(a_3+a_4)}+...+\frac{2(a_{n-1}+a_n)\sqrt{a_{n-1}a_1}}{a_{n-1}(a_n+a_1)}+\frac{2(a_n+a_1)\sqrt{a_na_2}}{a_n(a_1+a_2)}-n\geq2\sqrt[n]{\frac{(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}.\frac{(a_2+a_3)\sqrt{a_2a_4}}{a_2(a_3+a_4)}...\frac{(a_{n-1}+a_n)\sqrt{a_{n-1}a_1}}{a_{n-1}(a_n+a_1)}.\frac{(a_n+a_1)\sqrt{a_na_2}}{a_n(a_1+a_2)}}-n=2n-n=n[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi vào chỉ khi: [tex]a_1=a_2=..=a_n[/tex]
Vậy ta có đpcm
 

KwangDat

Học sinh
Thành viên
20 Tháng sáu 2017
46
54
41
22
Bài 56: Mình nghĩ đề bài sai ở phân thức thứ hai, cụ thể, ta cần sửa [tex]a_{1}[/tex] thành [tex]a_{4}[/tex]
Lời giải theo cách sửa đầu bài trên:
Ta nhận thấy:
[tex]\frac{a_1^2+a_2a_3}{a_1+(a_2+a_3)}=\frac{a_1^2+a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1}{a_1(a_2+a_3)}-1=\frac{(a_1+a_2)(a_3+a_1)}{a_1(a_2+a_3)}-1\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}-1\Rightarrow\frac{a_1^2+a_2a_3}{a_1+(a_2+a_3)}\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}-1[/tex]
CM tương tự rồi cộng các bất đẳng thức có dạng như trên ta được:
[tex]VT\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}+\frac{2(a_2+a_3)\sqrt{a_2a_4}}{a_2(a_3+a_4)}+...+\frac{2(a_{n-1}+a_n)\sqrt{a_{n-1}a_1}}{a_{n-1}(a_n+a_1)}+\frac{2(a_n+a_1)\sqrt{a_na_2}}{a_n(a_1+a_2)}-n\geq2\sqrt[n]{\frac{(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}.\frac{(a_2+a_3)\sqrt{a_2a_4}}{a_2(a_3+a_4)}...\frac{(a_{n-1}+a_n)\sqrt{a_{n-1}a_1}}{a_{n-1}(a_n+a_1)}.\frac{(a_n+a_1)\sqrt{a_na_2}}{a_n(a_1+a_2)}}-n=2n-n=n[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi vào chỉ khi: [tex]a_1=a_2=..=a_n[/tex]
Vậy ta có đpcm
Ở phần trả lời trên, trước cái căn bậc n mình thiếu một chữ "n" nữa, xin lỗi
 

gaconkudo

Học sinh chăm học
Thành viên
14 Tháng tám 2014
876
24
121
Nghệ An
Làm bài.
Bài 57. Cho m,n nguyên. Tìm min P=[tex]\left | 36^{m}-5^{n} \right |[/tex]
 

thuankieu.dongthap@gmail.com

Học sinh
Thành viên
15 Tháng một 2016
44
26
21
21
Đồng Tháp
Làm bài.
Bài 57. Cho m,n nguyên. Tìm min P=[tex]\left | 36^{m}-5^{n} \right |[/tex]
[tex]\left | 36^m-5^n \right | \geq 0[/tex] Với mọi m,n nguyên.
=> MinP = 0 <=> [tex]36^m - 5^n=0[/tex]
=> [tex]36^m=5^n[/tex]
Mình nghĩ Chỉ xảy ra 1 trường hợp là đồng bằng 1. => m=n=0
Vậy MinP=0 <=> m=n=1.
 
  • Like
Reactions: gaconkudo

gaconkudo

Học sinh chăm học
Thành viên
14 Tháng tám 2014
876
24
121
Nghệ An
  • Like
Reactions: kingsman(lht 2k2)

gaconkudo

Học sinh chăm học
Thành viên
14 Tháng tám 2014
876
24
121
Nghệ An
Bài 57. Cho m,n nguyên dương. Tìm min P=[tex]\left | 36^{m}-5^{n} \right |[/tex]
 

thuankieu.dongthap@gmail.com

Học sinh
Thành viên
15 Tháng một 2016
44
26
21
21
Đồng Tháp
Bài 57. Cho m,n nguyên dương. Tìm min P=[tex]\left | 36^{m}-5^{n} \right |[/tex]
Xét
[tex]36^m[/tex] với m nguyên dương thì luôn có chữ số tận cùng là 6
[tex]5^n[/tex] với n nguyên dương thì luôn có chữ số tận cùng là 5
+ Nếu [tex]36^m[/tex] > [tex]5^n[/tex]
P có chữ số tận cùng là 1. MinP = 11
+ Nếu [tex]5^n[/tex] > [tex]36^m[/tex]
P có chữ số tận cùng là 9. MinP = 19

Từ 2 Trường hợp => MinP =11. <=> m=1; n=2
 
  • Like
Reactions: gaconkudo

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
Bài 59:
Chứng minh rằng:
[tex]a+\frac{4a^3}{(a-1)(a+1)^3}> 3[/tex]
với mọi [tex]a > 1[/tex]
Cảm ơn nhé <3
Quy đồng dpcm:
$\dfrac{a^5-a^4-2a^3-2a^2+5a+3}{(a-1)(a+1)^3}>0$
Bạn chứng minh $f(x)=x^5-x^4-2x^3-2x^2+5x+3$ đồng biến trên khoảng $(1,+\propto )$. Mà $f(1)>0$.
Do đó có dpcm.
Không xài đạo hàm thì bạn tách hđt kết hợp $x>1$ cũng được :v
 
Top Bottom