Topic về PT,BPT mũ và logarit khó

[eternal_fire]

ko biết trong diễn đàn đã có bài này chưa nhưng mình tìm thì ko thấy. Các bạn giải thử xem. Thầy giáo tớ giải rồi nhưng tớ thấy cách giải ấy ko hợp lý. Mong nhận đc bài làm sớm từ các bạn.

Giải PT: [TEX]x^2 + x^x = 0[/TEX]

Với x là số thực hoặc số hữu tỉ thì x>0,suy ra pt vô nghiệm
Với x là số nguyên
pt đã cho tương đương
[TEX]x^2.(1+x^{2-x})=0 \Leftrightarrow 1+x^{2-x}=0[/TEX]
+)Nếu x=2,x=1 vô nghiệm,x=-1 đúng
+)Nếu [TEX]x\neq 1,-1,2 \to 2-x\neq 0[/TEX],lại có x là số nguyên suy ra [TEX]|x^{2-x}|\geq |x|>1[/TEX]
suy ra pt đã cho vô nghiệm
Vậy x=-1 là nghiệm duy nhất

 

[nguyenminh44]

Với x là số thực hoặc số hữu tỉ thì x>0,suy ra pt vô nghiệm
Với x là số nguyên
pt đã cho tương đương
[TEX]x^2.(1+x^{2-x})=0 \Leftrightarrow 1+x^{2-x}=0[/TEX]
+)Nếu x=2,x=1 vô nghiệm,x=-1 đúng
+)Nếu [TEX]x\neq 1,-1,2 \to 2-x\neq 0[/TEX],lại có x là số nguyên suy ra [TEX]|x^{2-x}|\geq |x|>1[/TEX]
suy ra pt đã cho vô nghiệm
Vậy x=-1 là nghiệm duy nhất

Thực ra tập xác định của hàm [TEX]y=x^x[/TEX] là một vấn đề khá nhạy cảm
Trong chương trình phổ thông, chỉ xét hàm này trên tập số thực dương.
Trên tập số hữu tỉ (nói chung), việc xét tập xác định khá rắc rối.
Lấy một ví dụ:

[TEX](\frac{-1}{3})^{\frac{-1}{3}}[/TEX] là biểu thức có nghĩa

Nhưng [TEX](\frac{-1}{2})^{\frac{-1}{2}} [/TEX] lại không có nghĩa

Theo anh, chúng ta cứ theo sách giáo khoa mà làm,( không biết sách mới của các em bây giờ cải cách ra sao) Ok?

@hoangtrungneo: Nếu có thể, em hãy post lời giải của thầy giáo lên để mọi người tham khảo nhé

 

[nguyenminh44]

Thấy trong sách của Trần Phương có 2 bài PT mũ khó quá, vẫn chưa giải được :

1. GPT [TEX]2^{\mid sinx \mid}+2^{\mid cosx \mid} =3[/TEX]

2. GPT [TEX]4^{\mid sinx \mid}+2^{\mid cosx \mid} =3[/TEX]

Xét phương trình thứ nhất trước (làm bàn đạp tấn công phương trình thứ 2 )

Nhận thấy vế trái là hàm tuần hoàn chu kì [TEX]\frac{\pi}{2}[/TEX] do đó chỉ cần xét phương trình trên đoạn [TEX][0; \frac{\pi}{2}][/TEX]

Khảo sát sơ sơ ta thu ngay được [TEX]VT \geq 3[/TEX] Dấu "=" xảy ra khi [TEX]x=0 ; \frac{\pi}{2}[/TEX]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm [TEX]x=k\frac{\pi}{2}[/TEX]

Còn phương trình thứ 2

Do [TEX]|sin x| \geq 0 \Rightarrow 4^{|sin x|} +2^{|cosx|}\geq 2^{|sin x|}+2^{|cosx|} \geq 3[/TEX]

Dấu "=" xảy ra khi [TEX]|sinx|=0[/TEX] và [TEX]2^{\mid sinx \mid}+2^{\mid cosx \mid} =3[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x=k \pi[/TEX]

 

[giangln.thanglong11a6]

Đọc bài của Trung mới nhớ ra quy ước của Bộ là không xét các PT có dạng [TEX]f(x)^{g(x)}[/TEX]. Lí do là để tránh 1 số TH rắc rối về nghiệm ngoại lai.

Thí dụ : GPT [TEX]x^{x^2+1}=1[/TEX].

Theo định nghĩa thông thường thì cần đặt ĐK x>0. Nhưng khi thay x=-1 vào PT ta lại thấy thoả mãn! Vậy có nên coi x=-1 là nghiệm hay không?

 

[letrongnhat123]

Đọc bài của Trung mới nhớ ra quy ước của Bộ là không xét các PT có dạng [TEX]f(x)^{g(x)}[/TEX]. Lí do là để tránh 1 số TH rắc rối về nghiệm ngoại lai.

Thí dụ : GPT [TEX]x^{x^2+1}=1[/TEX].

Theo định nghĩa thông thường thì cần đặt ĐK x>0. Nhưng khi thay x=-1 vào PT ta lại thấy thoả mãn! Vậy có nên coi x=-1 là nghiệm hay không?

Tóm lại là thế nào hả các bạn , quy ước x > 0 hay ko cần vậy , tớ cũng đang băn khoăn điều đó đây

 

[eternal_fire]

Quy ước x>0 là đối với luỹ thừa với số mũ thực và số mũ hữu tỉ (SGK lớp 12)

 

[kenpor]

em cũng có nghe về vấn đề này ! Cô giáo em nói là ko cần xét TH x<0 ! trong các bài toán bất pt nếu xét x<0 thì rất cồng kềnh !
Có lẽ ta khoan xét về vấn đề này ! ai có bài toán hay hay đưa lên mọi người cùng làm luôn đi ạ !
Thân !

 

[hoangtrungneo]

Bài tập thoả luận mới nha.....

Tớ lại đóng góp bài toán mới để mọi người thảo luận............

B1: Giải BPT sau:

[TEX]\frac{2}{3}x^9 - x^6 + 2x^3 - 3x^2 + 6x > 0[/TEX]

B2: Giải HPT:

[tex]\left\{ \begin{array}{l} (4 + \frac{1}{y+2x})\sqrt[]{x} = 2\sqrt[]{3} \\ (4 - \frac{1}{y+2x})\sqrt[]{y} = 4 \end{array} \right.[/tex]

 

[eternal_fire]

Tớ lại đóng góp bài toán mới để mọi người thảo luận............

B1: Giải BPT sau:

[TEX]\frac{2}{3}x^9 - x^6 + 2x^3 - 3x^2 + 6x > 0[/TEX]

bpt đã cho tương
[TEX]x.(\frac{2}{3}x^8-x^5+2x^2-3x+6)>0[/TEX]
Ta có [TEX]\frac{2}{3}x^8-x^5+2x^2-3x+6[/TEX]
[TEX]=(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.x^4)^2-2.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.x^4.\frac{x.\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{x^2}{2}-3x+6[/TEX]
[TEX]=(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.x^4-\frac{x.\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^2+\frac{x^2-6x+9+3}{2}>0 \forall x[/TEX]
Suy ra bpt đã cho tương đương [TEX]x>0[/TEX]

 

[letrongnhat123]

Tớ lại đóng góp bài toán mới để mọi người thảo luận............
B2: Giải HPT:

[tex]\left\{ \begin{array}{l} (4 + \frac{1}{y+2x})\sqrt[]{x} = 2\sqrt[]{3} \\ (4 - \frac{1}{y+2x})\sqrt[]{y} = 4 \end{array} \right.[/tex]

Điều kiện x,y>0. Từ hệ ta có :

[tex]1+\frac{1}{x+y}=\frac{2}{\sqrt{3x}}[/tex]

và [tex]1-\frac{1}{x+y}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7y}}[/tex]

SUy ra : [tex]\frac{2}{\sqrt{3x}}+\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7y}}=2[/tex](1)

và [tex]\frac{2}{\sqrt{3x}}-\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7y}}=\frac{2}{x+y}[/tex]

Nhân 2 vế của mỗi PT với nhau ta được : [TEX] \frac{1}{3x} - \frac{8}{7y}= \frac{1}{x+y}[/TEX]

Từ đây tìm mối quanhẹe đơn giản của x và y rồi thay vào tính

 

[kenpor]

Thực ra tập xác định của hàm [TEX]y=x^x[/TEX] là một vấn đề khá nhạy cảm
Trong chương trình phổ thông, chỉ xét hàm này trên tập số thực dương.
Trên tập số hữu tỉ (nói chung), việc xét tập xác định khá rắc rối.
Lấy một ví dụ:

[TEX](\frac{-1}{3})^{\frac{-1}{3}}[/TEX] là biểu thức có nghĩa

Nhưng [TEX](\frac{-1}{2})^{\frac{-1}{2}} [/TEX] lại không có nghĩa

Theo anh, chúng ta cứ theo sách giáo khoa mà làm,( không biết sách mới của các em bây giờ cải cách ra sao) Ok?

@hoangtrungneo: Nếu có thể, em hãy post lời giải của thầy giáo lên để mọi người tham khảo nhé

về việc [TEX](\frac{-1}{3})^{\frac{-1}{3}}[/TEX] có nghĩa ! còn [TEX](\frac{-1}{2})^{\frac{-1}{2}} [/TEX] ko có nghĩa ! em nghĩ là việc xét : [TEX](/frec{-1}{n}^{\frac{-1}{n}}[/TEX] có nghĩa khi n lẻ ! còn n chẵn thì ko có nghĩa ! em nghĩ thế ạ ! cũng đã thử lại mấy số rồi ạ !

 

[kenpor]

ko biết trong diễn đàn đã có bài này chưa nhưng mình tìm thì ko thấy. Các bạn giải thử xem. Thầy giáo tớ giải rồi nhưng tớ thấy cách giải ấy ko hợp lý. Mong nhận đc bài làm sớm từ các bạn.

Giải PT: [TEX]x^2 + x^x = 0[/TEX]

từ pt trên ta có ! [TEX]x^2[/TEX] = [TEX](-x)^x[/TEX]
x<0
<=> 2.ln(-x)=x.ln(-x)
<=> ln(-x)[x-2]=0
=>> ln(-x)=0 or x-2=0
=>> x=-1 or x=2 ( loại )
vậy pt có nghiệm x=-1
ko biết có đúng ko ạ ! ai có bài toán nào hay đưa lên anh em làm với ạ
Thân !
Nhân tiện mình muốn làm quen với ban Letrongnhat123 luôn có đc ko ạ ? ko biết g or b mà ảnh xinh thế
cho mình Y!M đc ko ?

 

[camdorac_likom]

Mọi người xem giúp em bài này: CM Pt sau có nghiệm dương duy nhất
(x+1)^x=x^(x+1)
Thx

 

[kenpor]

tiện thể giải hộ em bài này luôn , nhìn thì đơn giản mà em nghĩ mãi ko ra cách ( đặt rồi mà cũng ko suy ra nghiệm duy nhất đc ạ !
[TEX]log^2_{(2.sqrt{2+sqrt{3}})}(x^x-2x-2)=log_{(2+sqrt{3})}(x^x-2X-3)[/TEX]
mọi người cố gắng làm nhanh giúp em ạ !
Thân !
log cơ số [TEX]2.sqrt{2+sqrt{3}}[/TEX] và log cơ số [TEX]2+sqrt{3}[/TEX]


P/S : đề thế này đúng hok bạn :-/

 

[giangln.thanglong11a6]

GPT [TEX]2^x+5^x=3^x+4^x[/TEX].

Từ đó giải quyết bài toán tổng quát:
Cho a và b >0 (a khác b)
CM PT sau chỉ có 2 nghiệm x=0 và x=1:

[TEX](a+1)^x-a^x=(b+1)^x-b^x[/TEX]

Lần trước yenngocthu post cái bài khó quá, vẫn chưa giải được:

GPT [TEX]2.11^x+18^x=4^x(2^x+3^x+5^x)[/TEX]

 

[ctsp_a1k40sp]

GPT [TEX]2^x+5^x=3^x+4^x[/TEX].

cách giải bài tq cũng như bài cụ thể
[TEX]f(a)=(a+1)^x-a^x[/TEX]
thì [TEX]f(4)=f(2)[/TEX]
theo định lý lagrange tồn tại [TEX]c[/TEX] thuộc [TEX](2,4)[/TEX] để [TEX]f'(c)=0[/TEX]
hay [TEX]x.(c+1)^{x-1}-x.c^{x-1}=0 \Leftrightarrow x=0 or x=1[/TEX]

 

[potter.2008]

cách giải bài tq cũng như bài cụ thể
[TEX]f(a)=(a+1)^x-a^x[/TEX]
thì [TEX]f(4)=f(2)[/TEX]
theo định lý lagrange tồn tại [TEX]c[/TEX] thuộc [TEX](2,4)[/TEX] để [TEX]f'(c)=0[/TEX]
hay [TEX]x.(c+1)^{x-1}-x.c^{x-1}=0 \Leftrightarrow x=0 or x=1[/TEX]

Chương trình THPT ko được học về định lí lagrange nên chú ý hok dùng cái này càng tốt

 

[elfconan]

Mọi người xem giúp em bài này: CM Pt sau có nghiệm dương duy nhất
(x+1)^x=x^(x+1)
Thx

<=> x.ln(x+1) = (x+1)lnx

<=>[tex] \frac{ln(x+1)}{ln(x)}=\frac{x+1}{x}[/tex]

Đặt f(x) = [tex]\frac{ln(x+1)}{ln(x)}[/tex]

TXĐ : x>0

f'(x)= [tex]\frac{-2x-1}{x(x+1)(lnx)^2}[/tex]

=> x>0 thì f'(x)<0 =>f(x) nghịch biến (0; +\infty)

=>[tex]f(x) = \frac{x+1}{x}[/tex] có nghiệm dương duy nhất.

 

[camdorac_likom]

Chương trình THPT ko được học về định lí lagrange nên chú ý hok dùng cái này càng tốt

Thế với kiến thức của THPT có thể CM dc định lí La răng ko nhỉ?

 

[camdorac_likom]

<=> x.ln(x+1) = (x+1)lnx

<=>[tex] \frac{ln(x+1)}{ln(x)}=\frac{x+1}{x}[/tex]

Đặt f(x) = [tex]\frac{ln(x+1)}{ln(x)}[/tex]

TXĐ : x>0

f'(x)= [tex]\frac{-2x-1}{x(x+1)(lnx)^2}[/tex]

=> x>0 thì f'(x)<0 =>f(x) nghịch biến (0; +\infty)

=>[tex]f(x) = \frac{x+1}{x}[/tex] có nghiệm dương duy nhất.

Tại sao f(x) nghịch biến thì f(x) lại có nghiệm dương duy nhất. Mình còn chả biết nó có nghiệm hay ko?
Với cả mình ko hiểu ở chỗ đề bài yêu cầu CM về nghiệm của pt (x+1)^x=x^(x+1)tức là nghiệm của hàm cứ cho là g(x)=(x+1)^2-x^(x+1) nhưng kết luận lại là nghiệm của hàm f(x)=(x+1)/x <<<hai hàm số ấy đâu phải là 1( chẳng hiểu....