Topic về PT,BPT mũ và logarit khó

[elfconan]

Tại sao f(x) nghịch biến thì f(x) lại có nghiệm dương duy nhất. Mình còn chả biết nó có nghiệm hay ko?
Với cả mình ko hiểu ở chỗ đề bài yêu cầu CM về nghiệm của pt (x+1)^x=x^(x+1)tức là nghiệm của hàm cứ cho là g(x)=(x+1)^2-x^(x+1) nhưng kết luận lại là nghiệm của hàm f(x)=(x+1)/x <<<hai hàm số ấy đâu phải là 1( chẳng hiểu....

Chết, nhầm

f(x) = [tex]\frac{ln(x+1)}{x}-\frac{x+1}{x}[/tex]
f'(x) = [tex]\frac{-2x-1}{x(x+1)(lnx)^2}-\frac{1}{x^2}[/tex] <0 \forall x>0
=>f(x) nghịch biến (0; +\infty)
=> f(x)=0 có nghiệm dương duy nhất .

 

[ctsp_a1k40sp]

Lần trước yenngocthu post cái bài khó quá, vẫn chưa giải được:

GPT [TEX]2.11^x+18^x=4^x(2^x+3^x+5^x)[/TEX]

Chắc tại ko ai lật lại mấy trang trước xem đề đc
Lời giải:
xét [TEX]g(t)=t^x[/TEX]
[TEX]g "(t)=x(x-1).t^{x-2}[/TEX]
nhận thấy [TEX]x \in (0,1)[/TEX] thì [TEX]g" <0[/TEX] nên hàm này là hàm lồi
ta có bdt [TEX]g(a)+g(b) \geq 2g(\frac{a+b}{2})[/TEX]
Áp dụng
[TEX]8^x+14^x \geq 2.11^x[/TEX]
[TEX]14^x+18^x \geq 2.16^x[/TEX]
[TEX]12^x+16^x \geq 2.14^x[/TEX]
[TEX]16^x+20^x \geq 2.18^x[/TEX]
cộng lại đc [TEX]VP \geq VT[/TEX]
dấu = khi [TEX]x=1or x=0[/TEX]
Các th còn lại khi [TEX]x \leq 0[/TEX] hay [TEX]x \geq 1[/TEX]
làm tương tự suy ra [TEX]VT \geq VP[/TEX]
Kết luận pt có nghiệm [TEX]x=1or x=0[/TEX]

 

[hoangtrungneo]

nhận thấy [TEX]x \in (0,1)[/TEX] thì [TEX]g" <0[/TEX] nên hàm này là hàm lõm
ta có bdt [TEX]g(a)+g(b) \geq g(\frac{a+b}{2})[/TEX]
Áp dụng
[TEX]8^x+14^x \geq 2.11^x[/TEX]
[TEX]14^x+18^x \geq 2.16^x[/TEX]
[TEX]12^x+16^x \geq 2.14^x[/TEX]
[TEX]16^x+20^x \geq 2.18^x[/TEX]

Cái này thì tớ hiểu. Nhưng khi làm bài thi có cần chứng minh cái BĐT của cậu ko ? hay ta cứ áp dụng ? À! Cái BĐT trên kia cậu kiếm ở đâu vậy ? Hay và có ích quá! Thanks! :-*

 

[ctsp_a1k40sp]

Cái này thì tớ hiểu. Nhưng khi làm bài thi có cần chứng minh cái BĐT của cậu ko ? hay ta cứ áp dụng ? À! Cái BĐT trên kia cậu kiếm ở đâu vậy ? Hay và có ích quá! Thanks! :-*

thanks vào bài nhé
Cái bdt kia thực ra nó là bdt jensen ( bdt với hàm lồi).có tên tuổi đàng hoàng
Còn khi đi thi thì cậu phải chứng minh thôi, cách chứng minh cũng khá đơn giản.Cậu thử tự chứng minh xem sao ( nếu đc thử làm luôn cả bài tổng quát nhé )
P/s: nhưng mà khi đi thi đại học ko bao h gặp phải bài kiểu này đâu &gt;-

 

[quang1234554321]

Chắc tại ko ai lật lại mấy trang trước xem đề đc
Lời giải:
xét [TEX]g(t)=t^x[/TEX]
[TEX]g "(t)=x(x-1).t^{x-2}[/TEX]
nhận thấy [TEX]x \in (0,1)[/TEX] thì [TEX]g" <0[/TEX] nên hàm này là hàm lồi
ta có bdt [TEX]g(a)+g(b) \geq g(\frac{a+b}{2})[/TEX]
Áp dụng
[TEX]8^x+14^x \geq 2.11^x[/TEX]
[TEX]14^x+18^x \geq 2.16^x[/TEX]
[TEX]12^x+16^x \geq 2.14^x[/TEX]
[TEX]16^x+20^x \geq 2.18^x[/TEX]
cộng lại đc [TEX]VP \geq VT[/TEX]
dấu = khi [TEX]x=1[/TEX]
Các th còn lại khi [TEX]x \leq 0[/TEX] hay [TEX]x \geq 1[/TEX]
làm tương tự suy ra [TEX]VT \geq VP[/TEX]
Kết luận pt có duy nhất nghiệm [TEX]x=1[/TEX]

Bài này có 2 nghiệm [TEX]x=0[/TEX] và [TEX]x=1[/TEX]
.........................

 

[ctsp_a1k40sp]

Bài này có 2 nghiệm [TEX]x=0[/TEX] và [TEX]x=1[/TEX]
.........................

uh tớ sửa lại rồi.Dạo này đầu óc lẩn thẩn quá

 

[quang1234554321]

Bài này tôi nghĩ thế này : Đối với nhiều bài toán , ta đồng nhất hệ số để được lời giải , vậy tại sao bài này ta ko đồng nhất số mũ xem ,

PT [TEX] \Leftrightarrow 11^x+11^x+18^x=8^x+12^x+20^x[/TEX]

Nhận thấy tổng cơ số 2 vế bằng nhau và [TEX]=40[/TEX] . Mặt khác nó có cùng số cơ số nên có thể đồng nhất số mũ bằng 0 và 1

Ý tưởng có thể xem là điên rồ , nhưng lại là 1 cách mõ mẫm trong toán học

Những bài dạng trên là những bài toán siêu việt nên thường ko có cách giải , ở bài này có cái đặc biệt nên ctsp_a1 giải được , Giả sử , nó ko có những cái đặc biệt đó thì xin hỏi giải thế nào . Chẳng hạn với bài sau của hoangtrungneo : [TEX]3^x+4^x=5^x+2[/TEX] thì có phương pháp nào tìm đúng nghiệm ko ? Cậu trả lời là không ( chỉ có thể đoán nghiệm và dùng máy tính nhưng nghiệm chưa hẳn chính xác )! Ai có thể phản bác câu trả lời trên

 

[ctsp_a1k40sp]

Bài này tôi nghĩ thế này : Đối với nhiều bài toán , ta đồng nhất hệ số để được lời giải , vậy tại sao bài này ta ko đồng nhất số mũ xem ,

PT [TEX] \Leftrightarrow 11^x+11^x+18^x=8^x+12^x+20^x[/TEX]

Nhận thấy tổng cơ số 2 vế bằng nhau và [TEX]=40[/TEX] . Mặt khác nó có cùng số cơ số nên có thể đồng nhất số mũ bằng 0 và 1

Ý tưởng có thể xem là điên rồ , nhưng lại là 1 cách mõ mẫm trong toán học

Những bài dạng trên là những bài toán siêu việt nên thường ko có cách giải , ở bài này có cái đặc biệt nên ctsp_a1 giải được , Giả sử , nó ko có những cái đặc biệt đó thì xin hỏi giải thế nào . Chẳng hạn với bài sau của hoangtrungneo : [TEX]3^x+4^x=5^x+2[/TEX] thì có phương pháp nào tìm đúng nghiệm ko ? Cậu trả lời là không ( chỉ có thể đoán nghiệm và dùng máy tính nhưng nghiệm chưa hẳn chính xác )! Ai có thể phản bác câu trả lời trên

cái ý tưởng của Quang ko có căn cứ
Và bài của yenngocthu đã post ko phải là bài toán siêu việt nên hoàn toàn có thể giải được

 

[quang1234554321]

cái ý tưởng của Quang ko có căn cứ
Và bài của yenngocthu đã post ko phải là bài toán siêu việt nên hoàn toàn có thể giải được

Theo tôi được biết thì những PT có số mũ như trên thì gọi là bài toán siêu việt , cái này tôi biết được ở maths.vn , tôi cũng chưa được biết nhiều về PT siêu việt . Vậy ctsp_a1 định nghi giúp về PT siêu việt và lấy ví dụ cụ thể giúp

Nếu có phương pháp giải thì biến đổi phương trình trên 1 chút thành
[TEX]2.7^x + 18^x= 8^x+12^x+20^x[/TEX] , cùng dạng mà , nếu bài trên có phương pháp thì ctsp_a1 giải luôn bài tương tự này và nêu luôn cách làm tổng quát cho dạng bài này . Và bài của hoangtrungneo mà tớ post ở trên [TEX] 3^x+4^x=5^x+2[/TEX] nữa , phương pháp nào để tìm đúng nghiệm của PT

Còn bài này GPT[TEX]x^2=2^x[/TEX] . giải xem )

 

[ctsp_a1k40sp]

à thì tớ nghĩ pt siêu việt là pt có nghiệm lẻ mà ko xác định được chính xác nghiệm đó
chứ còn những bài tất cả các nghiệm đều chẵn thì hoàn toàn có thể làm dc

 

[yenngocthu]

à thì tớ nghĩ pt siêu việt là pt có nghiệm lẻ mà ko xác định được chính xác nghiệm đó
chứ còn những bài tất cả các nghiệm đều chẵn thì hoàn toàn có thể làm dc

mình đồng ý với ý kiến của TA vì trong trường hợp của quang cách mò nghiệm đó o hề có cơ sỏ dôi khi còn thiếu nghiệm đấy là o kể nhìu khi còn o mò dược nghiệm ^^

 

[nguyenminh44]

Theo tôi được biết thì những PT có số mũ như trên thì gọi là bài toán siêu việt , cái này tôi biết được ở maths.vn , tôi cũng chưa được biết nhiều về PT siêu việt . Vậy ctsp_a1 định nghi giúp về PT siêu việt và lấy ví dụ cụ thể giúp

Nếu có phương pháp giải thì biến đổi phương trình trên 1 chút thành
[TEX]2.7^x + 18^x= 8^x+12^x+20^x[/TEX] , cùng dạng mà , nếu bài trên có phương pháp thì ctsp_a1 giải luôn bài tương tự này và nêu luôn cách làm tổng quát cho dạng bài này . Và bài của hoangtrungneo mà tớ post ở trên [TEX] 3^x+4^x=5^x+2[/TEX] nữa , phương pháp nào để tìm đúng nghiệm của PT

Còn bài này GPT[TEX]x^2=2^x[/TEX] . giải xem )

Thứ nhất, không có định nghĩa về bài toán siêu việt, định nghĩa về hàm siêu việt thì có. Vâng, các hàm mũ, logarit là những ví dụ về hàm siêu việt!

Thứ hai, phương pháp chung nhất cho các bài toán hàm siêu việt là tìm khoảng có nghiệm rồi giải. Phương pháp này cũng là phương pháp chung cho các loại pương trình khác.
Tìm "khoảng có nghiệm" ở đây không phải hiểu theo nghĩa đen của nó.
Với mỗi bài toán thì phương pháp này lại thể hiện một ý nghĩa khác nhau
Ví dụ đạo hàm rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, đó chẳng qua cũng chỉ là chia khoảng ra để dễ bề xét mà thôi. Còn cái công cụ để mình chia khoảng thì lại theo từng bài.

Thứ 3, việc tìm ra nghiệm cụ thể, nó không có nhiều ý nghĩa trong thực tế. Với các bài toán thực tế, nghiệm là một giá trị với độ sai số có thể chấp nhận được
Việc tìm nghiệm bằng máy tính cũng phải có phương pháp. Theo em, máy tính nó giải như thế nào để ra nghiệm? Cũng vẫn là mấy cái phương pháp giải bình thường mà kon người cài đặt cho nó.


Thứ 4 đừng bao gi ờ hỏi những câu đại loại như là "sao cậu lại có thể nghĩ ra cách đó nhỉ". Cái này là tư duy của từng người mà. Cái quan trọng là nếu cách của họ lạ, hay thì mình tiếp thu, và nếu có thể thì cải tiến cách ấy làm thành của riêng mình.

 

[quang1234554321]

mình đồng ý với ý kiến của TA vì trong trường hợp của quang cách mò nghiệm đó o hề có cơ sỏ dôi khi còn thiếu nghiệm đấy là o kể nhìu khi còn o mò dược nghiệm ^^

à , tât nhiên rối , thế nên tôi mới nói là ý tưởng điên rồ , nhưng có thể đoán được nghiệm , tức là đối với những bài dễ đoán nghiệm , đoán xong có thể CM nó có chừng ấy nghiệm , hoặc có thể tìm thêm nếu cao tay ) . Đối với bài mà ta ko tìm ra cách giải thì ngoài cách đoán mò trên xin hỏi còn cách nào khác . Cách để giấy trắng nộp bài hay viết vào bài xin cô chấm nương tay cho em nhỉ ) ( sorry , spam vui tý )

 

[kenpor]

tiện thể giải hộ em bài này luôn , nhìn thì đơn giản mà em nghĩ mãi ko ra cách ( đặt rồi mà cũng ko suy ra nghiệm duy nhất đc ạ !
[TEX]log^2_{(2.sqrt{2+sqrt{3}})}(x^x-2x-2)=log_{(2+sqrt{3})}(x^x-2X-3)[/TEX]
mọi người cố gắng làm nhanh giúp em ạ !
Thân !
log cơ số [TEX]2.sqrt{2+sqrt{3}}[/TEX] và log cơ số [TEX]2+sqrt{3}[/TEX]


P/S : đề thế này đúng hok bạn :-/

cái đoạn ấy ko phải là log ^2 đâu ạ ! cái số 2 là ở cơ số nà ! 2.{(2.sqrt{2+sqrt{3}})} ạ ! mong mọi người làm giúp em ! tàm thời bỏ qua chuyện nói về PT Siêu việt đi ạ !
Thân!

 

[kenpor]

em nghĩ việc giải bt Siêu việt là mình đoán ra nghiệm rồi sau đó CM chỉ có nó tưng ấy nghiệm ! còn cách giải chính xác thì hầu như ko có !

 

[hoangtrungneo]

Học kì i

Các bạn và anh Minh thôi bàn luận về PT Siêu việt nhé. Chúng ta bắt tay và chủ đề mới nào.....
Bài kiểm tra học kì I chỗ tớ

BÀi 1: Cho hàm số: [TEX]\frac{x^2+2x +2}{x+1}[/TEX] (C) (3đ)

a) khảo sát và vẽ đồ thị h/s (1.5đ)

b) Tìm các điểm thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho khoảng cách giữa 2 điểm đó là ngắn nhất. (1.5đ)

B2:Tìm m để hệ sau có nhiều nghiệm nhất: (1 đ)

[tex]\left\{ \begin{array}{l} \mid x-1\mid + \mid y+1 \mid = 1 \\ x^2 + y^2 = m \end{array} \right.[/tex]

B3: PT sau có bao nhiêu nghiệm ? (1đ)

[TEX]x^3 - 3x^2 + 4 = \sqrt[]{3 + 2x - x^2}[/TEX]

B4: Giải PT sau: (2đ)

[TEX]8tan^4 x - 10tan^2 - \frac{6tan^2 x}{cos^2 x} + \frac{3}{cos^4 x} + 2 = 0[/TEX]

B5: BÀi tập về hình học (3đ) dài lắm. Đánh lại ngại )

 

[eternal_fire]

Các bạn và anh Minh thôi bàn luận về PT Siêu việt nhé. Chúng ta bắt tay và chủ đề mới nào.....
Bài kiểm tra học kì I chỗ tớ



B3: Giải PT sau: (2đ)

[TEX]8tan^4 x - 10tan^2 - \frac{6tan^2 x}{cos^2 x} + \frac{3}{cos^4 x} + 2 = 0[/TEX]

pt đã cho tương đương
[TEX]8(tan^4x-tan^2x)-2(tan^2x-1)-\frac{6sin^2x}{cos^4x}+\frac{3}{cos^4x}=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 8tan^2.(tan^2x-1)-2(tan^2x-1)+\frac{3(cos^2x+sin^2x)-6sin^2x}{cos^4x}=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (sin^2x-cos^2x).(8tan^2x.\frac{1}{cos^2x}-\frac{2}{cos^2x}-\frac{3}{cos^4x})=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{sin^2x-cos^2x}{cos^4x}.(8sin^2x-2cos^2x-3}=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{sin^2x-cos^2x}{cos^4x}.(5sin^2x-5cos^2x)=0[/TEX]

 

[quang1234554321]

B2:Tìm m để hệ sau có nhiều nghiệm nhất: (1 đ)

[tex]\left\{ \begin{array}{l} \mid x-1\mid + \mid y+1 \mid = 1 \\ x^2 + y^2 = m \end{array} \right.[/tex]

PT [TEX] \mid x-1\mid + \mid y+1 \mid = 1 [/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow \mid y+1 \mid = - \mid x-1\mid +1[/TEX] (1). Ta vẽ đồ thị của hàm số này trên hệ trục [TEX]Oxy [/TEX].

Nhận thấy PT [TEX] x^2 + y^2 = m [/TEX] là đường tròn tâm [TEX]I(0;0)[/TEX] , bán kính [TEX]R=m[/TEX]

Vẽ đường tròn trên cùng hệ trục toạ độ với đồ thị hàm số (1)

Từ đồ thị đơn giản tìm được điều kiện để hệ có số nghiệm lớn nhất

Bài này hơi rắc rối ở vẽ đồ thị hàm số (1) thôi

 

[potter.2008]

BÀi 1: Cho hàm số: [TEX]\frac{x^2+2x +2}{x+1}[/TEX] (C)

a) khảo sát và vẽ đồ thị h/s (1.5đ)

b) Tìm các điểm thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho khoảng cách giữa 2 điểm đó là ngắn nhất. (1.5đ)


Ta tìm được hai tiệm cận là [TEX]x=-1[/TEX] và [TEX]y=x+1[/TEX]

Gọi [TEX]A(x_1;y_1)[/TEX] thuộc nhánh trái của đồ thị (C) . [TEX]B(x_2;y_2)[/TEX] thuộc

nhánh phải của đồ thị (C).

Ta có : [tex]\left{\begin{x_1=-1 - a}\\{x_2=-1+b}[/TEX] với a,b chính là độ dài từ (-1)

đến hoành độ các điểm (a,b>0)

[tex] \left{\begin{y_1=-a - \frac{1}{a}}\\{y_2= b + \frac{1}{b}}[/TEX]

từ đây tính [tex]AB^2[/tex] theo a,b rùi dùng BĐT Cô-Si ( dạng này thường thế ) để tìm

[tex]MinlABl= ? [/tex] giải dấu bằng xảy ra để tìm a,b và suy ra được toạ độ A,B.

B3: PT sau có bao nhiêu nghiệm [/U]

[TEX]x^3 - 3x^2 + 4 = \sqrt[]{3 + 2x - x^2}[/TEX]

[tex]\Leftrightarrow (x+1)(x-2)^2 = \sqrt{(x+1)((x-3)}[/TEX]

Nhóm thành PT tích ..xong bài toán

 

[hoangtrungneo]

Giải PT sau:

Mình xin tâm sự trước đóng góp bài tập. Sáng nay đi học nói chuyện to quá. Thầy ghét và gọi lên bảng làm bài này. Đứng trên bảng 10' mà ko làm đc. Lúc đi về thầy đá cho 1 cái vào mông. Xấu hổ chết đi đc. Bị xấu hổ trước mặt người yêu .... ( PT có 2 nghiệm các cậu ạ


Giải PT sau: [TEX]16x^4 - 6x^3 - 72x^2 + 81 = 0[/TEX]