Topic về PT,BPT mũ và logarit khó

[hoangtrungneo]

Đề chính xác bạn ạ!

Nguyên văn bởi nguyenminh44 Xem Bài viết
Đề bài có vấn đề!

[TEX]3^x + 4^x = 5^x +2^x[/TEX]

Mình xin khẳng định lại với các bạn: Đề đúng 100%

Giải PT : [TEX]3^x + 4^x = 5^x +2[/TEX]

Và PT có 2 nghiệm !

 

[quang1234554321]

Xét hàm [TEX]f(t)=\frac{lnt}{t}[/TEX] với t đủ lớn

[TEX]f'(t)=\frac{1-lnt}{t^2}<0[/TEX] với t đủ lớn

Hàm nghịch biến suy ra [TEX]f(2007)>f(2008) \Rightarrow \frac{ln2007}{2007}>\frac{ln2008}{2008}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2008ln2007 > 2007ln2008 \Leftrightarrow 2007^{2008} > 2008^{2007}[/TEX]

Tối qua đang đọc bài này thì mất mạng , sáng nay đến lớp ngồi nghĩ ra cách này hay mà tổng quát

[TEX]A=a^{a+1}[/TEX] và [TEX]B=(a+1)^a[/TEX] với [TEX]a \geq e[/TEX]

Ta có : [TEX]log_aA=log_aa^{a+1}=a+1[/TEX]

[TEX]log_aB=log_a(a+1)^a=a.log_a(a+1)[/TEX]

Đặt [TEX]t=log_a(a+1)[/TEX] . Do [TEX]a \geq e >1[/TEX] nên [TEX]t >1[/TEX]

Suy ra : [TEX]a+1=a^t[/TEX] . Từ đó :

[TEX]log_aA=a^t[/TEX] và [TEX]log_aB=a.t[/TEX]

Xét hàm số : [TEX]f(t)=a^t-a.t[/TEX] với [TEX]t>1[/TEX]

[TEX]f'(t)=a^t . lna- a [/TEX]

Do [TEX]t>1[/TEX]nên [TEX]a^t >a[/TEX] . [TEX]a >e \Rightarrow lna >1[/TEX]

Suy ra [TEX]f'(t) >0 \Rightarrow f(t)[/TEX] đồng biến

mà [TEX]t>1 \Rightarrow f(t) > f(1) =0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a^t - a.t > 0 \Leftrightarrow a^t > a.t[/TEX]

Suy ra [TEX]log_aA >log_aB[/TEX] [TEX]\Rightarrow A > B[/TEX] hay [TEX]a^{a+1}>(a+1)^a[/TEX]

Áp dụng cho bài toán trên thì ta được [TEX]2007^{2008} > 2008^{2007}[/TEX]

 

[latata]

acccccccccc xem lại đi, khác j so với cách cậu dùng ở trên đâu, vẫn 1 lò ra mà .

 

[quang1234554321]

acccccccccc xem lại đi, khác j so với cách cậu dùng ở trên đâu, vẫn 1 lò ra mà .

đúng là cách làm tương tự , nhưng nó ngược nhau : bài của tớ đi từ đầu thì anh Minh đi từ cuối . Và 1 điều đáng chú ý nhất ở đây là bài của tớ đã nêu 1 cách tổng quát về cách so sánh 2 số dạng [TEX]a^{a+1} [/TEX] và [TEX](a+1)^a[/TEX] với [TEX]a > e \approx 2,7......( loga nepe)[/TEX] . Công nhận bài của anh Minh nhanh hơn

Có thể tổng quát hơn nữa : Với [TEX]x > y > e[/TEX] ta có [TEX]y^x > x^y[/TEX]

 

[quang1234554321]

Thêm bài nữa

Cho các số thực [TEX]a,b,c[/TEX] thoả mãn :[TEX] 4(a+b+c)-9=0[/TEX] .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

[TEX]S= (a+ \sqrt[]{a^2+1})^b . (b+ \sqrt[]{b^2+1})^c . (c+ \sqrt[]{c^2+1})^a [/TEX]

 

[nguyenminh44]

Mình xin khẳng định lại với các bạn: Đề đúng 100%

Giải PT : [TEX]3^x + 4^x = 5^x +2[/TEX]

Và PT có nghiệm duy nhất!

Về đề bài, xin không giám bàn luận gì nữa.
Chỉ xin nói về câu kết luận của cậu
Phương trình này không có nghiệm duy nhất. Phương trình có đúng 2 nghiệm
Nghiệm thứ nhất x=1 có thể nhẩm ra được
Mặt khác, có thể kiểm tra sự tồn tại của nghiệm thứ 2 như sau

Biến đổi phương trình thành dạng [TEX]f(x)=5^x+2-3^x-4^x=0[/TEX]

Kiểm tra bằng cách ...bấm máy tính
f(1,5) < 0 ; f(2) > 0 do đó phương trình có nghiệm nằm trong khoảng (1,5 ; 2)
Tớ đã dùng nhiều cách nhưng chưa tìm ra được cái nghiệm này.
Nếu cậu đã có lời giải thì post lên nhé

 

[thandongdatviet1991]

Về đề bài, xin không giám bàn luận gì nữa.
Chỉ xin nói về câu kết luận của cậu
Phương trình này không có nghiệm duy nhất. Phương trình có đúng 2 nghiệm
Nghiệm thứ nhất x=1 có thể nhẩm ra được
Mặt khác, có thể kiểm tra sự tồn tại của nghiệm thứ 2 như sau

Biến đổi phương trình thành dạng [TEX]f(x)=5^x+2-3^x-4^x=0[/TEX]

Kiểm tra bằng cách ...bấm máy tính
f(1,5) < 0 ; f(2) > 0 do đó phương trình có nghiệm nằm trong khoảng (1,5 ; 2)
Tớ đã dùng nhiều cách nhưng chưa tìm ra được cái nghiệm này.
Nếu cậu đã có lời giải thì post lên nhé

Hồi này mình hơi bận nên không vào diễn đàn được mong mọi người thông cảm.
Cho mình xin phép giải bài trên [TEX]5^x+2^x=4^x+3^x[/TEX]\Rightarrow[TEX]f(x)=(\frac{4}{5})^x+(\frac{3}{5})^x-2[/TEX]\Rightarrow[TEX]f"(x) [/TEX] dương\Rightarrowphương thình có tối đa hai nghiệm là x=0 và x=1.còn đề của bạn hoangtrungleo thì mình bó cẳng
tặng các cậu 1 bài GPT [TEX]2^x=x^2[/TEX]

 

[quang1234554321]

[TEX]2^x=x^2[/TEX]

Giải

[TEX]PT \Leftrightarrow 2^x-x^2 = 0[/TEX]

Xét hàm số : [TEX]f(x) =2^x-x^2[/TEX]

[TEX]f'(x) = 2^x.ln2- 2x[/TEX]

[TEX]f''(x)=2^x.ln^22-2 >0[/TEX] .

[TEX]f'''(x)=2^x.ln^32 >0[/TEX] . Suy ra [TEX]f''(x)=0[/TEX] có ko quá 1 nghiệm => [TEX]f'(x)=0[/TEX] có ko quá 2 nghiệm

Suy tiếp ra [TEX]f(x)=0[/TEX] có ko quá 3 nghiệm.

Nhận thấy [TEX]x= 2 ;4 ; a[/TEX] ( với [TEX]a= -0,766666......[/TEX]) là nghiệm của PT

vậy PT có 3 nghiệm [TEX] 2; 4; a[/TEX]

 

[ctsp_a1k40sp]

[TEX]2^x=x^2[/TEX]

Giải

[TEX]PT \Leftrightarrow 2^x-x^2 = 0[/TEX]

Xét hàm số : [TEX]f(x) =2^x-x^2[/TEX]

[TEX]f'(x) = 2^x.ln2- 2x[/TEX]

[TEX]f''(x)=2^x.ln^22-2 >0[/TEX] .

[TEX]f'''(x)=2^x.ln^32 >0[/TEX] . Suy ra [TEX]f''(x)=0[/TEX] có ko quá 1 nghiệm => [TEX]f'(x)=0[/TEX] có ko quá 2 nghiệm

Suy tiếp ra [TEX]f(x)=0[/TEX] có ko quá 3 nghiệm.

Nhận thấy [TEX]x= 2 ;4 ; a[/TEX] ( với [TEX]a= -0,766666......[/TEX]) là nghiệm của PT

vậy PT có 3 nghiệm [TEX] 2; 4; a[/TEX]

Cái đoạn nhận thấy [TEX]a= -0,766666......[/TEX] là quan trọng nhất bài Quang ạ
Bài này đã đc bàn luận rồi, ở 1 topic nào đó ( nhưng chưa đưa ra cách tính [TEX]a[/TEX] xác đáng )

 

[hoangtrungneo]

Mình có thêm bài tập

B1: Giải PT sau:

[TEX]log_2 ({x+1}) = log_3 {x^2}[/TEX]

B2: Giải PT sau ( Ko Sử dụng phương pháp hàm số):

[TEX]log_2 x + log_3 x + log_4 x = log_{20} x[/TEX]

------------------------------------------------
P/S: Còn về cái bài : [TEX]3^x + 4^x = 5^x +2[/TEX] thì có 2 nghiệm chứ ko phải 1!
\Rightarrow Xin lỗi anh nguyenminh44 em nhìn nhầm Đáp số. EM cũng chưa tìm đc cái nghiệm còn lại!

 

[ctsp_a1k40sp]

B1: Giải PT sau:

[TEX]log_2 ({x+1}) = log_3 {x^2}[/TEX]

B2: Giải PT sau ( Ko Sử dụng phương pháp hàm số):

[TEX]log_2 x + log_3 x + log_4 x = log_{20} x[/TEX]

------------------------------------------------
P/S: Còn về cái bài : [TEX]3^x + 4^x = 5^x +2[/TEX] thì có 2 nghiệm chứ ko phải 1!
\Rightarrow Xin lỗi anh nguyenminh44 em nhìn nhầm Đáp số. EM cũng chưa tìm đc cái nghiệm còn lại!

Bài 1
Đặt [TEX]log_2 ({x+1}) = log_3 {x^2}=t[/TEX]
Bài 2:
Đưa về cơ số e
[TEX]log_2 x=\frac{lnx}{ln2}[/TEX]
rồi xét pt bậc nhất ẩn [TEX]lnx[/TEX]
suy ra [tex]lnx=0->x=1[/tex]
P/s: đang vội chút nên post hơi sơ sài, có gì mình sửa sau

 

[hoangtrungneo]

Bài 1
Đặt [TEX]log_2 ({x+1}) = log_3 {x^2}=t[/TEX]

\Rightarrow Bài 2 thì mình công nhận làm thế là đc! Nhưng bạn ơi! Mình biết cái bài PT có 2 logarit là đặt 2 vế bằng t nhưng mời bạn cứ làm tiếp ! Mình muốn tham khảo ! OK ? Please ! &gt;-

 

[quang1234554321]

B1: Giải PT sau:

[TEX]log_2 ({x+1}) = log_3 {x^2}[/TEX]

B2: Giải PT sau ( Ko Sử dụng phương pháp hàm số):

[TEX]log_2 x + log_3 x + log_4 x = log_{20} x[/TEX]

------------------------------------------------
P/S: Còn về cái bài : [TEX]3^x + 4^x = 5^x +2[/TEX] thì có 2 nghiệm chứ ko phải 1!
\Rightarrow Xin lỗi anh nguyenminh44 em nhìn nhầm Đáp số. EM cũng chưa tìm đc cái nghiệm còn lại!

bài 1 có ở đây
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=503858#post503858

 

[hoangtrungneo]

Vậy thì mình đóng góp thêm bài!

B1: Tìm m để pt sau có 2 nghiệm t/m :
[TEX]x_1 - x_2 = log _{\sqrt{2+\sqrt{3}}} 3[/TEX] ( logarit cơ số (........) của 3)

[TEX]({\sqrt[]{2-\sqrt[]{3}})^x + m.({\sqrt[]{2+\sqrt[]{3}})^x = 4[/TEX]

B2: Tìm để pt sau có nghiệm duy nhất:

[tex]\frac{lg (mx)}{lg (x+1) }=2 [/tex]

B3: Tìm m để PT sau có nghiệm duy nhất:

[TEX]2.4^{x^2 +1} +m.6^{x^2 +1} = 9 ^{x^2 +1}[/TEX]

 

[quang1234554321]

B1: Tìm m để pt sau có 2 nghiệm t/m :
[TEX]x_1 - x_2 = log 3 _{(\sqrt[]{2+\sqrt[]{3})}[/TEX] ( logarit cơ số (........) của 3)

[TEX]( { \sqrt[]{2-\sqrt[]{3}} ) ^x + m.({\sqrt[]{2+\sqrt[]{3}})^x = 4[/TEX]

B2: Tìm để pt sau có nghiệm duy nhất:

[tex]\frac{lg (mx)}{lg (x+1) }=2 [/tex]

B3: Tìm m để PT sau có nghiệm duy nhất:

[TEX]2.4^{x^2 +1} +m.6^{x^2 +1} = 9 ^{x^2 +1}[/TEX]

Bài 1 :[TEX] { \sqrt[]{2+\sqrt[]{3}}. { \sqrt[]{2-\sqrt[]{3}}=1[/TEX]

Đặt [TEX]t= ({\sqrt[]{(2+\sqrt[]{3}} )^x [/TEX] thì [TEX] ({ \sqrt[]{2-\sqrt[]{3}})^x = \frac{1}{t} [/TEX] . ta có PT ẩn t

[TEX]mt + \frac{1}{t}=4[/TEX] . Tìm điều kiện để PT này có nghiệm

PT[TEX]x_1 - x_2 = log 3 _ {(\sqrt[]{2+\sqrt[]{3})} [/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow \sqrt[]{({2+\sqrt[]{3}}})^{x1-x2} =3 \Leftrightarrow {(\sqrt[]{2+\sqrt[]{3})} ^t1=3. {(\sqrt[]{2+\sqrt[]{3})}^t2[/TEX]

Suy ra [TEX] \frac{t_1}{t_2}=3 [/TEX] . đến đây được rồi


Bài 2 đk : [TEX] x > -1[/TEX] và [TEX]mx >0[/TEX]
[TEX] PT \Leftrightarrow lgmx=lg(x+1)^2[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow mx= (x+1)^2[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow m = \frac{(x+1)^2}{x} = \frac{x^2 +2x +1}{x}= x + \frac{1}{x} +2 \geq 4 [/TEX]

Suy ra [TEX] m \geq 4[/TEX] thì PT có nghiệm , tiếp đó , đưa PT về dạng PT bậc 2 rồi làm bình thường , có nghiệm kép

bài 3 : [TEX]2.4^{x^2 +1} +m.6^{x^2 +1} = 9 ^{x^2 +1}[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow 4. 4^{x^2} + 6m.6^{x^2} - 9.9^{x^2}[/TEX]

Chia 2 vế cho [TEX]9^{x^2}[/TEX] ta được :

[TEX]4. (\frac{2}{3})^{2x^2} + 6m. (\frac{2}{3})^{x^2} -9 = 0[/TEX]

từ đây đặt [TEX] t= (\frac{2}{3})^{x^2}[/TEX] ta có pT ........Từ đây biện luận

 

[hoangtrungneo]

Bài 1 :[TEX] { \sqrt[]{2+\sqrt[]{3}}. { \sqrt[]{2-\sqrt[]{3}}=1[/TEX]

Đặt t= [TEX] { \sqrt[]{(2+\sqrt[]{3}}^x[/TEX] thì [TEX]{ \sqrt[]{2-\sqrt[]{3}}^x = \frac{1}{t}[/TEX] . ta có PT ẩn t

[TEX]mt + \frac{1}{t}=4[/TEX] . Tìm điều kiện để PT này có nghiệm

PT [TEX]x_1 - x_2 = log 3 _ {\sqrt[]{2+\sqrt[]{3}} [/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow \sqrt[]{({2+\sqrt[]{3}}})^{x1-x2} =3 \Leftrightarrow {(\sqrt[]{2+\sqrt[]{3})} ^t1=3. {(\sqrt[]{2+\sqrt[]{3})}^t2[/TEX]

Đến đây làm hay rắc rối

Bài 2 đk : [TEX] x > -1[/TEX] và [TEX]mx >0[/TEX]
[TEX] PT \Leftrightarrow lgmx=lg(x+1)^2[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow mx= (x+1)^2[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow m = \frac{(x+1)^2}{x} = \frac{x^2 +2x +1}{x}= x + \frac{1}{x} +2 \geq 4 [/TEX]

Suy ra [TEX] m \geq 4[/TEX] thì PT có nghiệm , tiếp đó , đưa PT về dạng PT bậc 2 rồi làm bình thường , có nghiệm kép

B1:

PT: [TEX]x_1 - x_2 = log 3 _ {\sqrt[]{2+\sqrt[]{3}} [/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]\sqrt[]{({2+\sqrt[]{3}}})^{x1-x2} =3[/TEX] \Leftrightarrow

[TEX]\frac{t_1}{t_2} [/TEX] = 3 \Leftrightarrow [TEX]t_1 = 3 t_2[/TEX]

Giải PT [TEX] m.t^2 -4t +1 =0[/TEX] có 2 nghiệm thoả mãn :[TEX] t_1 = 3. t_2 [/TEX]

B2:

Nói là PT bậc 2 có nghiệm kép thì theo mình nghĩ là chưa đủ: Ta có thể thêm TH là có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm ko thoả mãn điều kiện đc ko ?

B3:

[TEX]t= ({\frac{2}{3}})^({x^2 +1})[/TEX] mà PT đề ra có nghiệm duy nhất .
Giả sử [TEX]x_0[/TEX] là nghiệm \Rightarrow - [TEX]x_0 [/TEX]cũng là nghiệm \Rightarrow [TEX]X_0 =0[/TEX]

\Rightarrow t= [TEX]\frac{2}{3}[/TEX]

Giải PT bậc 2 sao cho có 1 nghiệm t= [TEX]\frac{2}{3}[/TEX]
còn nghiệm kia nằm ngoài TXĐ hoặc PT bậc 2 chỉ có nhiệm kép là t= ....

 

[hoangtrungneo]

Bài tập tính toán

BÀi tập về tính toán:

Cho [TEX]log_6 15 = a[/TEX] và [TEX]log_{12} 18 = b[/TEX]

\Rightarrow Tính [TEX]log_{25} 24[/TEX] theo a và b &gt;-

Bài này đã có lời giải ở bên s-box Logarit rồi mà.

 

[thandongdatviet1991]

MỘI BÀI TRONG ĐỀ THI HSG LỚP 12_TỈNH HÀ NAM .

1.PHƯƠNG TRÌNH SAU CÓ BAO NHIÊU NGHIỆM
[TEX]X^{2009}+X^{2007}+(m^2+m+1).(X^2-1)-2008X-1=0[/TEX]
Thực chất lời giải không quá phức tạp đâu .Thấy các cậu bàn luận sôi nổi quá nhất là sai lầm ngớ ngẩn của bạn quang(học nhiều quá lẫn là bình thường thôi) nhưng đừng có nhầm khi thi đậi học lf dược rồi
đây là lời giải của mình (ko phải đps án chính thức của đề thi đâu các cậu nhớ bổ sung nhé)
ta có f"'(x) dưong \Rightarrow phương trình có tối đa 3 nghiệm .RỒI DÙNG Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM THÔI .TÍNH GIỚIHẠN TẠI VÔ CỰC ,F(-1),F(0) ,F(1).có sự đổi dấu qua 3 khoảng \Rightarrow phương trình có 3 nghiệm&gt;-

 

[quang1234554321]

Xét hàm số

[TEX]f(x)= x^{2009} +x^{2007}+(m^2+m+1)(x^2-1)-2008x-1[/TEX]

[TEX]f'(x)= 2009.x^{2008}. + .2007x^{2006} + 2(m^2+m+1)x -2008[/TEX]

[TEX]f"(x)=2008.2009. x^{2007}. + 2007.2006x^{2005} + 2 (m^2+m+1) [/TEX]

[TEX]f'''(x)=2007.2008.2009. x^{2006}. + .2005.2006.2007x^{2004} [/TEX]

Do [TEX]x[/TEX] thuộc từ âm vô cùng ----> dương vô cùng , mà [TEX]f'''(x) = 0[/TEX] có nghiệm [TEX]x=0[/TEX] nhưng ko đổi dấu qua giá trị này nên [TEX]f"(x)=0[/TEX] có 1 nghiệm . Suy tiếp : [TEX]f'(x)=0[/TEX] có 2 nghiệm , tiếp [TEX]f(x)=0[/TEX] có 3 nghiệm

Vậy PT có 3 nghiệm

Lúc nãy làm vội quá nên nhầm hết

 

[77.4kg]

tìm x : [TEX]15^{2x+3}= 5^{3x-1}.2^{x+7}[/TEX]
ai làm giúp với