Topic về PT,BPT mũ và logarit khó

[hoangtrungneo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mình muốn lập một topic về PT,BPT mũ và logarit khó để cho chúng mình học tập tốt hơn. Rất mong nhận đc sự ủng hộ của các Mod và các Mem. tất cả vì giao lưu kiến thực và học tập tốt hơn các bạn nhé. Tớ yêu hocmai.vn
​

 

[hoangtrungneo]

Mình xin đc đóng góp bài tập đầu tiên...

B1:Giải PT sau:

[TEX]16^{sinx}[/TEX] = [TEX]\sqrt[{Cosx]{4}[/TEX]


B2: Giải PT sau:

[TEX]27^x +2 =3.\sqrt[3]{3^{x+1} -2} [/TEX]

B3: Giải PT sau:

[TEX]2^{3x}-6.2^x-\frac{1}{2^{3.(x-1)}[/TEX]+[TEX](\frac{12}{2^x})[/TEX] = 1

B4: Giải PT sau:

[TEX]5^x .8^{\frac{x}{x-1}[/TEX] = 500

B5: Giải PT sau:

[TEX]{(\sqrt[]{3}+\sqrt[]{2})}^x + {(\sqrt[]{3}-\sqrt[]{2})}^x[/TEX] = [TEX]{\sqrt[]{5}}^x[/TEX]

 

[thanhtai01]

B1:Giải PT sau:

[TEX]16^{sinx}[/TEX] = [TEX]\sqrt[{Cosx]{4}[/TEX]













1)[TEX]<=>4^{2sinx}=4^{\frac{1}{cosx}}[/TEX]
<=>[TEX]2sinx=\frac{1}{cosx}[/TEX]
<=>[TEX]sin2x=1[/TEX]

 

[thanhtai01]

5) đặt [tex] (\sqrt{3}+\sqrt{2})^x=a ;(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x=b ; \sqrt{5}^x =c[/tex] xét 3 trường hợp:
x=0 => không fải là nghiệm ( lọai)
x>0 [tex]b<c<a <=>b^x<c^x<a^x . Vi a^x>c^x ma cong them 1 luong duong b^x nen a^x+b^x >c^x (loai)[/tex]
x<0[tex]b^x>c^x>a^x . Vi b^x >c^x ma cong them 1 luong duong a^x nen a^x+b^x>c^x(loai)[/tex]
vậy pt vô nghiệm

 

[thanhtai01]

bài 4 log cơ số 2 hoặc cơ số 5 hai vế rồi biến đổi 1 tí là đc , hình như vô nghiệm. Mình xin đóng góp 1 bài:
[tex]2^{(2x+1)} +2^{(3-2x)} = \frac{8}{log_3{(4x^2 -4x +4)}[/tex]

 

[lequangvinh9x]

thế thì tôi cũng đóng góp 1 số bài vậy
1)cho x>0, CMR [TEX]e^x>1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}[/TEX]
2) Giải bpt [TEX]3log_3(1+\sqrt x+\sqrt[3]x)\leq 2log_2\sqrt x[/TEX]

 

[eternal_fire]

B2: Giải PT sau:

[TEX]27^x +2 =3.\sqrt[3]{3^{x+1} -2} [/TEX]

[

Đặt [TEX]3^x=a[/TEX] suy ra [TEX]a>0[/TEX]
Pt đã cho trở thành [TEX]a^3+2=3\sqrt[3]{3a-2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^3-1=3(\sqrt[3]{3a-2}-1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a-1)(a^2+a+1)=3.\frac{3a-2-1}{\sqrt[3]{(3a-2)^2}+\sqrt[3]{3a-2}+1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a-1). [(a^2+a+1).(\sqrt[3]{(3a-2)^2}+\sqrt[3]{3a-2}+1)-9]=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a=1[/TEX] hoặc [TEX](a^2+a+1).(\sqrt[3]{(3a-2)^2}+\sqrt[3]{3a-2}+1)-9=0[/TEX](1)
Đặt [TEX]f(a)=(a^2+a+1).(\sqrt[3]{(3a-2)^2}+\sqrt[3]{3a-2}+1)-9[/TEX]
Do a>0 nên dễ thấy f(a) đồng biến trên tập xác định
Mà f(1)=0,suy ra a=1 là nghiệm duy nhất của pt f(a)=0
Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của pt đã cho

 

[eternal_fire]

Mình xin đóng góp 1 bài:
[tex]2^{(2x+1)} +2^{(3-2x)} = \frac{8}{log_3{(4x^2 -4x +4)}[/tex]

Ta có [TEX]log_3{(4x^2-4x+4)}=log_3{[(2x-1)^2+3] \geq log_33=1[/TEX]
Suy ra [TEX]VP \leq 8[/TEX]
Áp dụng BĐT cô si thì [TEX]VT \geq 8[/TEX]
Suy ra pt có nghiệm khi [TEX]2x+1=3-2x[/TEX] và [TEX]2x-1=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}[/TEX]

 

[eternal_fire]

thế thì tôi cũng đóng góp 1 số bài vậy
1)cho x>0, CMR [TEX]e^x>1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}[/TEX]

Ta dễ dàng c/m được [TEX]e^x>1+x[/TEX]
Bây giờ ta chứng minh [TEX]e^2>1+x+\frac{x^2}{2}[/TEX] với x>0
Đặt [TEX]f(x)=e^x-1-x-\frac{x^2}{2}[/TEX]
[TEX]\to f'(x)=e^x-1-x>0[/TEX]
[TEX]\to f(x)[/TEX] đồng biến với mọi x>0
[TEX]f(0)=0\to f(x)>0 \forall x>0[/TEX]
Từ đó hoàn toàn tương tự ta c/m được bài tóan 1)

Ps: Bằng cách tương tự ta chứng minh được bài tóan tổng quá
[TEX]e^x>1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^k}{k!}[/TEX] với [TEX]k\in N^+[/TEX]

 

[hoangtrungneo]

Bạn giải sai mất rồi!

[/U][/B][/SIZE]
[TEX]16^{sinx}[/TEX] = [TEX]\sqrt[{Cosx]{4}[/TEX]

1)[TEX]<=>4^{2sinx}=4^{\frac{1}{cosx}}[/TEX]
<=>[TEX]2sinx=\frac{1}{cosx}[/TEX]
<=>[TEX]sin2x=1[/TEX]

\Rightarrow Bài bạn giải sai rồi!Có đến 95 % học sinh và 50 % giáo viên mắc lỗi sai như bạn Mình xin chỉ ra chỗ sai như sau:

[TEX]16^{sinx}[/TEX] = [TEX]\sqrt[{Cosx]{4}[/TEX]

[TEX]<=>4^{2sinx}=4^{\frac{1}{cosx}}[/TEX] (2cái PT trên và dưới ko thể tương đương nếu ko có đủ điều kiện)

Bài làm

Ta có nhận xét [TEX]\sqrt[n]{a^m}[/TEX]

thì điều kiện là [TEX]\left\{ \begin{array}{l} n \in Z*_+ \\ m \in Z \end{array} \right.[/TEX]

Do đó từ [TEX]\sqrt[{Cosx]{4}[/TEX] \Rightarrow Cosx [TEX]\in Z*_+[/TEX]

\Rightarrow Cos x = 1

\Rightarrow Sin x = 0

\Rightarrow [TEX]\left\{ \begin{array}{l} VT =1 \\ VP=4 \end{array} \right.[/TEX]

\Rightarrow PT vô nghiệm

 

[lequangvinh9x]

[TEX]2^{3x}-6.2^x-\frac{1}{2^{3.(x-1)}[/TEX]+[TEX](\frac{12}{2^x})[/TEX] = 1

Tui xin giải bài này vậy
pt [TEX]\Leftrightarrow (2^x-\frac{1}{2^{x-1}})^3=1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2^x-\frac{1}{2^{x-1}}=0[/TEX]
........................

 

[hoangtrungneo]

Mình xin đóng góp thêm bài tập

B1: Giải PT:

[TEX]lg^2 (1+ \frac{5}{x}) + lg^2 (1-\frac{5}{x+5}) =2.lg^2 (\frac{1}{x-2}) [/TEX]

B2: Giải PT

[TEX]3^x + 4^x = 5^x +2[/TEX]

B3: Giải hệ PT:

[tex]\left\{ \begin{array}{l} x^3 + y^3 =1 \\ x^4 + y^4 =1 \end{array} \right.[/tex]

 

[nguyenminh44]

B1: Giải PT:

[TEX]lg^2 (1+ \frac{5}{x}) + lg^2 (1-\frac{5}{x+5}) =2.lg^2 (\frac{1}{x-2}) [/TEX] (1)

B2: Giải PT

[TEX]3^x + 4^x = 5^x +2[/TEX] (2)

B3: Giải hệ PT:

[tex]\left\{ \begin{array}{l} x^3 + y^3 =1 \\ x^4 + y^4 =1 \end{array} \right.[/tex]

Đk: x>2
[TEX](1) \Leftrightarrow lg^2\frac{x+5}{x}+(lg (\frac{x+5}{x})^{-1})^2=2lg^2\frac{1}{x-2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow2lg^2\frac{x+5}{x}=2lg^2\frac{1}{x-2}[/TEX]

[TEX]\frac{x+5}{x}=\frac{1}{x-2}[/TEX] hoặc [TEX]\frac{x+5}{x}=x-2[/TEX]

Hai bài kia chốc post nốt (nếu chưa ai post )

 

[lequangvinh9x]

các bạn làm giúp tui bài này với
1)CMR[TEX]lnx \geq \frac{2(x-1)}{x+1}, \forall x \geq 1[/TEX]
2)So sánh 2 số [TEX]A=2008^{2007}[/TEX] và [TEX]B=2007^{2008}[/TEX]

 

[eternal_fire]

B3: Giải hệ PT:

[tex]\left\{ \begin{array}{l} x^3 + y^3 =1 \\ x^4 + y^4 =1 \end{array} \right.[/tex]

Bài3
Từ pt trình 2 suy ra [TEX]x;y \leq 1[/TEX]
Suy ra [TEX]x^3=1-y^3\geq 0[/TEX]
[TEX]\to x \geq 0[/TEX]
Tương tự suy ra [TEX]y \geq 0[/TEX]
[TEX]\to x^4 \leq x^3;y^4 \leq y^3[/TEX]
Suy ra hệ pt có 2 nghiệm [TEX](x=0,y=1)[/TEX] hoặc [TEX](x=1;y=0)[/TEX]

 

[eternal_fire]

các bạn làm giúp tui bài này với
1)CMR[TEX]lnx \geq \frac{2(x-1)}{x+1}, \forall x \geq 1[/TEX]

Đặt [TEX]f(x)=lnx - \frac{2(x-1)}{x+1}[/TEX]
[TEX]=lnx-2+\frac{4}{x+1}[/TEX]
[TEX]\to f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{4}{(x+1)^2}[/TEX]
[TEX]=\frac{(x-1)^2}{x(x+1)^2} \geq 0 [/TEX] với [TEX]x\geq 1[/TEX]
Suy ra f(x) đồng biến với mọi [TEX]x\geq 1[/TEX]
Lại có [TEX]f(1)=0[/TEX]
đpcm

 

[nguyenminh44]

B2: Giải PT

[TEX]3^x + 4^x = 5^x +2[/TEX]

Đề bài có vấn đề!

[TEX]3^x + 4^x = 5^x +2^x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow f(x)= (\frac{5}{2})^x+1-(\frac{3}{2})^x-2^x=0[/TEX]

[TEX]f'(x)=(\frac{5}{2})^xln\frac{5}{2} -(\frac{3}{2})^xln\frac{3}{2}-2^xln2[/TEX]

[TEX]f'(x)=0 \Leftrightarrow ln \frac{5}{2}=(\frac{3}{5})^xln\frac{3}{2}+(\frac{4}{5})^xln\frac{4}{5}[/TEX]

Vế phải là hàm nghịch biến do đó phương trình này có nhiều nhất 1 nghiệm
suy ra phương trình ban đầu có nhiều nhất 2 nghiệm
Do đó phương trình có đúng 2 nghiệm là 0;1

 

[nguyenminh44]

các bạn làm giúp tui bài này với

2)So sánh 2 số [TEX]A=2008^{2007}[/TEX] và [TEX]B=2007^{2008}[/TEX]

Xét hàm [TEX]f(t)=\frac{lnt}{t}[/TEX] với t đủ lớn

[TEX]f'(t)=\frac{1-lnt}{t^2}<0[/TEX] với t đủ lớn

Hàm nghịch biến suy ra [TEX]f(2007)>f(2008) \Rightarrow \frac{ln2007}{2007}>\frac{ln2008}{2008}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2008ln2007 > 2007ln2008 \Leftrightarrow 2007^{2008} > 2008^{2007}[/TEX]

 

[ctsp_a1k40sp]

Đề bài có vấn đề!

[TEX]3^x + 4^x = 5^x +2^x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow f(x)= (\frac{5}{2})^x+1-(\frac{3}{2})^x-2^x=0[/TEX]

[TEX]f'(x)=(\frac{5}{2})^xln\frac{5}{2} -(\frac{3}{2})^xln\frac{3}{2}-2^xln2[/TEX]

[TEX]f'(x)=0 \Leftrightarrow ln \frac{5}{2}=(\frac{3}{5})^xln\frac{3}{2}+(\frac{4}{5})^xln\frac{4}{5}[/TEX]

Vế phải là hàm nghịch biến do đó phương trình này có nhiều nhất 1 nghiệm
suy ra phương trình ban đầu có nhiều nhất 2 nghiệm
Do đó phương trình có đúng 2 nghiệm là 0;1

1 cách giải khác cho dạng bài thế này
pt [TEX]\Leftrightarrow 5^x-4^x=3^x-2^x[/TEX]
xét [TEX]f(a)=(a+1)^x-a^x[/TEX]
->[TEX]f(a)[/TEX] đồng biến
mà theo gt lại có [TEX]f(3)=f(4)[/TEX]
nên theo định lý lagrang ta có tồn tại [TEX]a \in (3,4)[/TEX] thỏa mãn
[TEX]f'(a)=0[/TEX] tức là
[TEX]x.(a+1)^{x-1} -x.a^{x-1}\Leftrightarrow x[(a+1)^{x-1}-a^{x-1}]=0 \Leftrightarrow x=0 & x=1[/TEX]

 

[nguyenminh44]

1 cách giải khác cho dạng bài thế này
pt [TEX]\Leftrightarrow 5^x-4^x=3^x-2^x[/TEX] (1)
xét [TEX]f(a)=(a+1)^x-a^x[/TEX]
->[TEX]f(a)[/TEX] đồng biến
mà theo gt lại có [TEX]f(3)=f(4)[/TEX] ---->f(2)=f(4) chứ ?
nên theo định lý lagrang ta có tồn tại [TEX]a \in (3,4)[/TEX] thỏa mãn
[TEX]f'(a)=0[/TEX] tức là
[TEX]x.(a+1)^{x-1} -x.a^{x-1}\Leftrightarrow x[(a+1)^{x-1}-a^{x-1}]=0 \Leftrightarrow x=0 & x=1[/TEX]

Thế này hơi khó hiểu. Đầu tiên nên giả sử x là nghiệm, tức là giả sử điều (1) đúng
Từ đó tìm ra x.
Ngày trước cũng có bài giống như thế này

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=23828

Tiếc là bây giờ Lagarang bị bỏ. Quá phí !