Topic về PT,BPT mũ và logarit khó

[eternal_fire]

:-SS:-SS:-SSTớ gõ nhầm đề bài .thành thật xin lỗi các bạn,hic. tớ đã sửa laị rồi . các cậu tiếp tục giải giúp tớ nhé.thank ."Sống trên đời cần một tấm lòng
để làm gì bạn biết không ,
để gió cuốn đi...."
Trịnh Công Sơn

Ta vẫn có [TEX]VT\geq (2+\sqrt{2})^{cos^2x}+(2+\sqrt{2})^{sin^2x}\geq 2[/TEX]
[TEX]VP\leq (1+\frac{\sqrt{2}}{2})<2[/TEX]
vô nghiệm

 

[thandongdatviet1991]

Chào:tiếp tục một bài toán về hàm mũ trong đề thi hsg tỉnh Hà Nam nha ......
giải phương trình:
[TEX](2+\sqrt{2})^{(sin(x))^{2}}-(2+\sqrt{2})^{(cos(x))^{2}}+(2-\sqrt{2})^cos(2x)=(1+\frac{\sqrt{2}}{2})^{cos(2x)}[/TEX]

tớ thành thật xin lỗi bạn inter_fire .mặc dầu đã sửa lại đầu bài nhưng do cẩu thả nên tớ sửa vẫn chưa đúng.tớ đã sủa lại lần nữa rồi .Chắc đúng 100/100.Phương trình có nghiệm mà.
"Sống trên đời cần một tấm lòng
để làm gì bạn biết không
để gió cuốn đi.."
Trịnh Công Sơn

 

[eternal_fire]

tớ thành thật xin lỗi bạn inter_fire .mặc dầu đã sửa lại đầu bài nhưng do cẩu thả nên tớ sửa vẫn chưa đúng.tớ đã sủa lại lần nữa rồi .Chắc đúng 100/100.Phương trình có nghiệm mà.
"Sống trên đời cần một tấm lòng
để làm gì bạn biết không
để gió cuốn đi.."
Trịnh Công Sơn

Ta có [TEX](2+\sqrt{2}).(2-\sqrt{2})=2[/TEX]
Pt đã cho tương
[TEX](2+\sqrt{2})^{sin^2x}-(2+\sqrt{2})^{cos^2x}+(\frac{2}{2+\sqrt{2}})^{cos^2x-sin^2x}=(\frac{2+\sqrt{2}}{2})^{cos2x}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (2+\sqrt{2})^{sin^2x}+(\frac{2+\sqrt{2}}{2})^{sin^2x-cos^2x}=(2+\sqrt{2})^{cos^2x}+(\frac{2+\sqrt{2}}{2})^{cos^2x-sin^2x}[/TEX]
Từ với [TEX]sin^2x>cos^2x \to VT>VP[/TEX]
với [TEX]sin^2x<cos^2x \to VP<VT[/TEX]
Suy ra[TEX]cos^2x=sin^2x[/TEX]
...

 

[nguyenminh44]

Tìm tất cả các đa thức [TEX]P(x)[/TEX] thoả mãn điều kiện :

[TEX]P(x^{2006} + y^{2006})= [ P(x) ] ^{2006} + [ P(y) ] ^{2006}[/TEX]

với mọi số thực [TEX]x;y[/TEX]

@enternal_fire : tích cực nữa nhé

Nếu P(x) là đa thức bậc ko thì loại
Đặt [TEX]P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0[/TEX] với [TEX]n\in N,n\geq 1;a_n\neq 0[/TEX]
Cho y=0,suy ra[TEX]P(x^{2006})=(P(x))^{2006}+(P(0))^{2006}[/TEX]
Đồng nhất hệ số tự do ta có [TEX]a_0=2a_0^{2006}\to a_0=0[/TEX]
Cho x=y,suy ra[TEX] P(2x^{2006})= 2[ P(x) ] ^{2006}[/TEX]
Đồng nhất hệ số bậc cao nhất ta có [TEX]a_n.2^n=2a_n[/TEX]
[TEX]\to a_n=1,n=1[/TEX]
[TEX]\to P(x)=x[/TEX]
Thử lại đúng
Ps: Mình là eternal_fire

Tại sao từ đầu không cho cả x=y=0 có phải đỡ việc đồng nhất không?
Bài của em còn nhiều sơ hở quá (phần suy ra các giá trị [TEX]a_i[/TEX]), thậm chí có chỗ sai (chỗ đồng nhất hệ số bậc cao nhất )
Làm lại cho hoàn chỉnh đi nhé!

 

[eternal_fire]

Tại sao từ đầu không cho cả x=y=0 có phải đỡ việc đồng nhất không?
Bài của em còn nhiều sơ hở quá (phần suy ra các giá trị [TEX]a_i[/TEX]), thậm chí có chỗ sai (chỗ đồng nhất hệ số bậc cao nhất )
Làm lại cho hoàn chỉnh đi nhé!

Hì vâng, để em nghĩ cách khác vậy

 

[duonghung91]

mọi người giải trí nha < ấn mấy công thức mệt quá
1

[TEX]log_3(1+sin^2x-sinx)=\frac{\sqrt{3}}{2}cosxsin2x[/TEX]

 

[eternal_fire]

mọi người giải trí nha < ấn mấy công thức mệt quá
1

[TEX]log_3(1+sin^2x-sinx)=\frac{\sqrt{3}}{2}cosxsin2x[/TEX]

pt đã cho tương đương
[TEX]log_3{[1+sinx(sinx-1)]}=\sqrt{3}cos^2x.sinx[/TEX]
Nếu [TEX]1>sinx>0\to 1+sinx(sinx-1)<1\to VT<0<VP[/TEX] (loại)
Nếu [TEX]sinx<0 \to VT>0>VP[/TEX]
[TEX]\to sinx=1[/TEX] hoặc [TEX]sinx=0[/TEX]...

 

[duonghung91]

pt đã cho tương đương
[TEX]log_3{[1+sinx(1-sinx)]}=\sqrt{3}cos^2x.sinx[/TEX]
..

hình như bạn nhầm chổ này phải hok [TEX]log_3{[1+sinx(1-sinx)]}[/TEX]

 

[eternal_fire]

hình như bạn nhầm chổ này phải hok [TEX]log_3{[1+sinx(1-sinx)]}[/TEX]

uh ,mình đã sửa lại rồi,thanks,tại làm ra nháp rồi gõ vào

 

[duonghung91]

pt đã cho tương đương
[TEX]log_3{[1+sinx(sinx-1)]}=\sqrt{3}cos^2x.sinx[/TEX]
Nếu [TEX]1>sinx>0\to 1+sinx(sinx-1)<1\to VT<0<VP[/TEX] (loại)
Nếu [TEX]sinx<0 \to VT>0>VP[/TEX] ===> < loại>..

2
[TEX]2^{(\sqrt{1-x^2}+4sin^3 x )} - 2^{(\sqrt{1-x^2}+ 3sinx )} = 13sin3x[/TEX]

3

[TEX]log_2^{\frac{x^2 - x+1}{2x^2 - 4x + 3}} = x^2 - 3x +2 [/TEX]

 

[eternal_fire]

2
[TEX]2^{(\sqrt{1-x^2}+4sin^3 x )} - 2^{(\sqrt{1-x^2}+ 3sinx )} = 13sin3x[/TEX]

3

[TEX]log_2^{\frac{x^2 - x+1}{2x^2 - 4x + 3}} = x^2 - 3x +2 [/TEX]

Bài 2: Ta có [TEX]sin3x=3sinx-4sin^3x[/TEX]
[TEX]\to 4sin^3x=3sinx-sin3x[/TEX]
pt đã cho tương
[TEX]2^{(\sqrt{1-x^2}+ 3sinx )}.(2^{-sin3x}-1)=13sin3x[/TEX]
Nếu [TEX]sin3x>0 \to 2^{-sin3x}<2^0=1\to VT<0<VP[/TEX] (loại)
Nếu [TEX]sin3x<0\to 2^{-sin3x}>1\to VT>0>VP[/TEX] (loại)
[TEX]\to sin3x=0[/TEX]
Bài 3
Để ý [TEX]2x^2 - 4x + 3=(x^2 - x+1)+(x^2 - 3x +2)[/TEX]
Xét trường hợp[TEX](x^2 - 3x +2)>0,<0,=0[/TEX] là ra

 

[quang1234554321]

Tìm tất cả các đa thức [TEX]P(x)[/TEX] thoả mãn điều kiện :

[TEX]P(x^{2006} + y^{2006})= [ P(x) ] ^{2006} + [ P(y) ] ^{2006}[/TEX]

với mọi số thực [TEX]x;y[/TEX]

Ta đặt [tex]n = 2006[/tex] thì ta có [tex]f\left( {x^n + y^n } \right) = \left( {f\left( x \right)} \right)^n + \left( {f\left( y \right)} \right)^n [/tex]

Thay [tex]x=y=0[/tex] suy ra [tex]f\left( 0 \right) = 2\left( {f\left( 0 \right)} \right)^n [/tex]
[tex] \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) = 0 \\ f\left( 0 \right)^{n - 1} = \frac{1}{2} \\ \end{array} \right.[/tex]
Thay [tex]y=0[/tex] thì ta được [tex]f\left( {x^n } \right) = \left( {f\left( x \right)} \right)^n + \left( {f\left( 0 \right)} \right)^n [/tex]

Từ đó suy ra với [tex]x \ge 0[/tex] thì [tex]f\left( x \right) \ge 0[/tex]

Thay lần lượt [tex]x=y[/tex] và [tex]x=-y[/tex] thì ta suy ra [tex]f\left( x \right) = f\left( { - x} \right) \vee f\left( x \right) = - f\left( { - x} \right)[/tex] nên ta chỉ cần xét với [tex]x \ge 0[/tex].

Suy ra [tex]f\left( {x^n + y^n } \right) = \left( {f\left( x \right)} \right)^n + \left( {f\left( y \right)} \right)^n = f\left( {x^n } \right) - \left( {f\left( 0 \right)} \right)^n + f\left( {y^n } \right) - \left( {f\left( 0 \right)} \right)^n [/tex]

Đặt [tex]a = 2\left( {f\left( 0 \right)} \right)^n[/tex] thì ta thu được [tex]f\left( {x^n + y^n } \right) = f\left( {x^n } \right) + f\left( {y^n } \right) - a \Leftrightarrow f\left( {x^n + y^n } \right) - a = f\left( {x^n } \right) - a + f\left( {y^n } \right) - a[/tex]

Đặt [tex]g\left( x \right) = f\left( x \right) - a \Rightarrow g\left( {x^n + y^n } \right) = g\left( {x^n } \right) + g\left( {y^n } \right)[/tex]

Hay [tex]g\left( {x + y} \right) = g\left( x \right) + g\left( y \right)[/tex] với [tex]x,y \ge 0[/tex]

[tex] \Rightarrow g\left( x \right) = kx[/tex] [tex] \Rightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + a = kx + a[/tex]

Thay trở lại điều kiện ban đầu: [tex]f\left( {x^n + y^n } \right) = \left( {f\left( x \right)} \right)^n + \left( {f\left( y \right)} \right)^n \Rightarrow k\left( {x^n + y^n } \right) + a = \left( {kx + a} \right)^n + \left( {ky + a} \right)^n [/tex]

[tex] \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} k = 0 \Rightarrow a = 2a^n \\ a = 0 \Rightarrow k = k^n \\ \end{array} \right.[/tex]

Từ đó suy ra các giá trị của [tex]k,a[/tex]

 

[letrongnhat123]

các bạn làm bài khó thế , tớ chẳng hiểu gì cả , các mod toán giải thích hộ tớ với ,

 

[nguyenminh44]

Ta đặt [tex]n = 2006[/tex] thì ta có [tex]f\left( {x^n + y^n } \right) = \left( {f\left( x \right)} \right)^n + \left( {f\left( y \right)} \right)^n [/tex]

Thay [tex]x=y=0[/tex] suy ra [tex]f\left( 0 \right) = 2\left( {f\left( 0 \right)} \right)^n [/tex]
[tex] \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) = 0 \\ f\left( 0 \right)^{n - 1} = \frac{1}{2} \\ \end{array} \right.[/tex]
Thay [tex]y=0[/tex] thì ta được [tex]f\left( {x^n } \right) = \left( {f\left( x \right)} \right)^n + \left( {f\left( 0 \right)} \right)^n [/tex]

Từ đó suy ra với [tex]x \ge 0[/tex] thì [tex]f\left( x \right) \ge 0[/tex]

Thay lần lượt [tex]x=y[/tex] và [tex]x=-y[/tex] thì ta suy ra [tex]f\left( x \right) = f\left( { - x} \right) \vee f\left( x \right) = - f\left( { - x} \right)[/tex] nên ta chỉ cần xét với [tex]x \ge 0[/tex].

Suy ra [tex]f\left( {x^n + y^n } \right) = \left( {f\left( x \right)} \right)^n + \left( {f\left( y \right)} \right)^n = f\left( {x^n } \right) - \left( {f\left( 0 \right)} \right)^n + f\left( {y^n } \right) - \left( {f\left( 0 \right)} \right)^n [/tex]

Đặt [tex]a = 2\left( {f\left( 0 \right)} \right)^n[/tex] thì ta thu được [tex]f\left( {x^n + y^n } \right) = f\left( {x^n } \right) + f\left( {y^n } \right) - a \Leftrightarrow f\left( {x^n + y^n } \right) - a = f\left( {x^n } \right) - a + f\left( {y^n } \right) - a[/tex]

Đặt [tex]g\left( x \right) = f\left( x \right) - a \Rightarrow g\left( {x^n + y^n } \right) = g\left( {x^n } \right) + g\left( {y^n } \right)[/tex]

Hay [tex]g\left( {x + y} \right) = g\left( x \right) + g\left( y \right)[/tex] với [tex]x,y \ge 0[/tex]

[tex] \Rightarrow g\left( x \right) = kx[/tex] [tex] \Rightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + a = kx + a[/tex]

Thay trở lại điều kiện ban đầu: [tex]f\left( {x^n + y^n } \right) = \left( {f\left( x \right)} \right)^n + \left( {f\left( y \right)} \right)^n \Rightarrow k\left( {x^n + y^n } \right) + a = \left( {kx + a} \right)^n + \left( {ky + a} \right)^n [/tex]

[tex] \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} k = 0 \Rightarrow a = 2a^n \\ a = 0 \Rightarrow k = k^n \\ \end{array} \right.[/tex]

Từ đó suy ra các giá trị của [tex]k,a[/tex]

Cách giải này cầu kì quá, khó theo dõi
Cứ theo hướng cũ của eternal_fire rồi sửa lại một tí là xong thôi mà

[TEX]P(x^{2006}+y^{2006})=[P(x)]^{2006}+[P(y)]^{2006}[/TEX] [TEX]\forall x,y[/TEX]

Đặt [TEX]P(x)=a_nx^n+....+a_1x+a_0[/TEX]
Cho y=0 ta có [TEX]P(x^{2006})=[P(x)]^{2006}+[P(0)]^{2006}[/TEX]

Đồng nhất hệ số bậc cao nhất ta có [TEX]a_n=(a_n)^{2006}[/TEX]

Đồng nhất hệ số bậc thấp nhất ta có [TEX]a_0=2(a_0)^{2006}[/TEX]

Đến đây thử lại 4 trường hợp.OK?

 

[kenpor]

em cũng có 1 bài tập muốn ra đc ko a.
[tex]4.3^{3x}-3^{x+1}=\sqrt{1-9^x}[/tex] em mới vào diễn đàn ! lần đầu tiên post bài ! các anh em làm đi ạ !
PS: em chưa biết cách viết CT cho lắm ! ae thông cảm !+

 

[eternal_fire]

em cũng có 1 bài tập muốn ra đc ko a.
[tex]4.3^{3x}-3^{x+1}=\sqrt{1-9^x}[/tex] em mới vào diễn đàn ! lần đầu tiên post bài ! các anh em làm đi ạ !
PS: em chưa biết cách viết CT cho lắm ! ae thông cảm !+

ĐKXĐ: [TEX]3^x\leq 1[/TEX]
pt đã cho tương đương
[TEX]4.(3^x)^3-3.3^x=\sqrt{1-(3^x)^2}[/TEX](1)
Do [TEX]0<3^x\leq 1[/TEX],nên đặt [TEX]3^x=cost[/tex],với [tex]t\in[0;\frac{\pi}{2})[/TEX]
Suy ra(1) tương đương
[TEX]4cos^3t-3cost=sint[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow cos3t=sint[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow cos3t-cos(\frac{\pi}{2}-t)=0[/TEX]
đến đây giải ra t,rồi ra x

 

[hoangtrungneo]

PT mũ

ko biết trong diễn đàn đã có bài này chưa nhưng mình tìm thì ko thấy. Các bạn giải thử xem. Thầy giáo tớ giải rồi nhưng tớ thấy cách giải ấy ko hợp lý. Mong nhận đc bài làm sớm từ các bạn.

Giải PT: [TEX]x^2 + x^x = 0[/TEX]

 

[nguyenminh44]

ko biết trong diễn đàn đã có bài này chưa nhưng mình tìm thì ko thấy. Các bạn giải thử xem. Thầy giáo tớ giải rồi nhưng tớ thấy cách giải ấy ko hợp lý. Mong nhận đc bài làm sớm từ các bạn.

Giải PT: [TEX]x^2 + x^x = 0[/TEX]

Điều kiện hàm mũ: x>0
Vậy phương trình vô nghiệm do vế trái luôn dương. Kết thúc

 

[giangln.thanglong11a6]

Thấy trong sách của Trần Phương có 2 bài PT mũ khó quá, vẫn chưa giải được :

1. GPT [TEX]2^{\mid sinx \mid}+2^{\mid cosx \mid} =3[/TEX]

2. GPT [TEX]4^{\mid sinx \mid}+2^{\mid cosx \mid} =3[/TEX]

 

[hoangtrungneo]

Anh Minh ơi

Điều kiện hàm mũ: x>0
Vậy phương trình vô nghiệm do vế trái luôn dương. Kết thúc

\Rightarrow Anh Minh ơi! Thầy giáo em giải ra là PT có nghiệm [TEX]x=-1[/TEX].

Anh xem lại hộ em với !