[Toán 8] Chuyên Đề Bất Đẳng Thức

[trangkhanhkhoi]

Cho a, b, c > 0 và

. Chứng minh rằng:

@anh bigbang195 không làm nha ;

Tớ làm thử nha
Ta có : $$a,b,c>0$$
$$\Rightarrow ab+bc+ac>0$$
Ta có :
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{6}{a+b+c}$$
$$\Leftrightarrow\frac{bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+bc(a+b+c)+6}{a+b+c}$$
$$\Leftrightarrow\frac{(a+b+c)(ab+bc+ac)+6}{a+b+c}$$
$$\Leftrightarrow(ab+bc+ac)+6$$
Mà $$(ab+bc+ac)>0$$ (CMT)
$$\Rightarrow(ab+bc+ac)+6>6$$
$$\Leftrightarrow(ab+bc+ac)+6\geq 5$$
Vậy $$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{6}{a+b+c} \geq 5$$ (đpcm)

 

[quan8d]

Tớ làm thử nha
Ta có : $$a,b,c>0$$
$$\Rightarrow ab+bc+ac>0$$
Ta có :

abc=1 chứ có phải a+b+c=1 đâu mà bạn làm thế :khi (184):

 

[01263812493]

Tớ làm thử nha

$$\Rightarrow(ab+bc+ac)+6>6$$
$$\Leftrightarrow(ab+bc+ac)+6\geq 5$$

ủa sao ngộ thế nếu [TEX](ab+bc+ac)+6>6 [/TEX] thì [TEX](ab+bc+ac)+6\geq 7[/TEX] chứ sao lớn hơn hoặc bằng 5 với lại mình nghĩ [TEX](ab+bc+ac)+6 \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+6 =9 [/tex] ----> vậy hổng lẻ đề sai ---- > mà mình mong các bạn giải BDT bằng kiến thức lớp 8 --- chứ như bạn Bigbang95 thì mình chả hiểu - sr tại mình kém
__________________________________

 

[quyenuy0241]

Cho a, b, c > 0 và

. Chứng minh rằng:

@anh bigbang195 không làm nha ;


______________________________________________________________

Nhầm

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=ab+bc+ac \ge \sqrt{3(a+b+c)}$$

Dùng cô si ra liền0

 

[trydan]

Theo yêu cầu của 0915549009
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.

 

[quan8d]

Theo yêu cầu của 0915549009
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

đây là cách đơn giản phù hợp với trình độ bình thường, tham khảo nha
\Leftrightarrow $$a^8+b^8+c^8 \geq a^2b^3c^3+a^3b^2c^3+a^3b^3c^2 = a^2b^2c^2(ab+bc+ca)$$
Cô si : $$a^8+b^8 \geq 2a^4b^4$$
$$b^8+c^8 \geq 2b^4c^4$$
$$c^8+a^8 \geq 2c^4a^4$$
\Rightarrow $$a^8+b^8+c^8 \geq a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4$$
Tương tự cách trên: $$a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4 \geq a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)$$
mà $$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$$
từ đó có đpcm

 

[vodichhocmai]

Theo yêu cầu của 0915549009
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

[TEX]\Leftrightarrow a^8+b^8+c^8\ge \sum_{cyclic} a^3b^3c^2[/TEX]

[TEX]a^8+a^8+a^8+b^8+b^8+b^8+c^8+c^8\ge 8 a^3b^3c^2[/TEX]

Xây dựng tương tự ta thành công

 

[khoan1199]

jhj

Mình làm thử nhé
vì x,y,z>0 nên chia xyz xuống suy ra 1\(yz)+1\(xz) >= 16
1\(yz)+1\(xz)>=4\z(x+y)
vì x+y+z=1 =>x+y=1-z
dễ dành chứng minh 4\(z-z^2)>=16

 

[ilovetoan]

Cho a, b, c > 0 và

. Chứng minh rằng:

@anh bigbang195 không làm nha ;


______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.

vì a,b,c có vai trò như nhau nên giả sử a\geqb\geqc \Rightarrowc\leq1 (vì abc =1)
\Rightarrowdpcm

 

[trydan]

Chứng minh:

 

[jenie_k19]

Mình có 2 bất đẳng thức sau, mọi người giải giúp nhé:
1) Cho [TEX]a, b, c>0[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq2[/TEX]
2) Cho [TEX]a+b+c=4 [/TEX] và [TEX] a, b, c>0[/TEX]. Chứng minh rằng:[TEX] (a+b)(b+c)(c+a)\geq a^3b^3c^3[/TEX]

$$LHS:=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+ \frac{d}{a+b}$$

$$=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{c^2}{cd+ca}+\frac{d^2}{da+db}$$

$$\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+ac+bc+bd+cd+ca+da+db}$$

Cần chứng minh $$2.(\sum_{sym} ab+ac+bd) \leq (a+b+c+d)^2$$

$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2.(ab+bc+cd+ac+bd) \geq 2.(\sum_{sym} ab+ac+bd)$$

$$\Leftrightarrow (a-c)^2+(b-d)^2 \geq 0$$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng.

Bài 1 thì theo mình giải cách này hay hơn:
[TEX]VT+2=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b}\geq 4[/TEX] (BĐT AM - GM)
\Rightarrow VT \geq 2

 

[0915549009]

Tương tự cách trên: $$a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4 \geq a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)$$
Các bạn có thể nói rõ đoạn này hơn đc hok?

 

[quan8d]

Mình CM hoài mà hok đc
Thanks nhiều

$$a^4b^4+b^4c^4 \geq 2. \sqrt{a^4b^8c^4}=2a^2b^4c^2$$
Tương tự :
$$b^4c^4+c^4a^4 \geq 2b^2c^4a^2$$
$$c^4a^4+a^4b^4 \geq 2c^2a^4b^2$$
\Rightarrow $$2(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4) \geq 2a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)$$
từ đó suy ra đpcm

 

[quyenuy0241]

Tương tự cách trên: $$a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4 \geq a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)$$
Các bạn có thể nói rõ đoạn này hơn đc hok?

[tex]Dat-->\left{\begin{a^2b^2=x \ge 0 \\ b^2c^2=y \ge 0 \\ a^2c^2=z \ge 0 [/tex]

Vậy cần CM: $$x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+xz$$

 

[rooney_cool]

Lớp 8

Cho [TEX]x,y > 0[/TEX] và [TEX]x + y \geq 6[/TEX]. Tìm [TEX]Min[/TEX]

[TEX]A= 3x + 2y + \frac{6}{x}+\frac{8}{y}[/TEX]​

 

[quan8d]

thỏa mãn

và

Chứng minh

BDT Lớp 8 đó )

Giả sử $$a+b < c+1$$
$$\Rightarrow (a+b)^3 < (c+1)^3$$
$$\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b) < 1+c^3+3c(1+c)$$
$$\Leftrightarrow ab(a+b) < c(1+c)$$
Do $$a+b < 1+c$$ nên $$ab < c$$, vô lý

 

[bigbang195]

Giả sử $$a+b < c+1$$
$$\Rightarrow (a+b)^3 < (c+1)^3$$
$$\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b) < 1+c^3+3c(1+c)$$
$$\Leftrightarrow ab(a+b) < c(1+c)$$
Do $$a+b < 1+c$$ nên $$ab < c$$, vô lý

Sai do có thể ab>c .:khi (165):

 

[helmay]

đề bài này:
cho tam giác ABC. lấy điểm M ở miền trong tam giác, các đường thẳng AM, BM,CM cắt các cạnh của tam giác lần lượt tại các điểm A1, B1, C1 . chứng minh:

gợi ý : có sử dụng bất đẳng thức phụ

chú ý latex

 

[quan8d]

đề bài này:
cho tam giác ABC. lấy điểm M ở miền trong tam giác, các đường thẳng AM, BM,CM cắt các cạnh của tam giác lần lượt tại các điểm A1, B1, C1 . chứng minh:
AM/A1M + BM / B1M + CM / C1M >= 6
gợi ý : có sử dụng bất đẳng thức phụ x + 1/x >= 2 ( x>0)

Gọi $${S}_{AMB} , {S}_{AMC} , {S}_{MBC}$$ lần lượt là $$S_1 , S_2 , S_3$$
Ta có : $$\frac{AM}{A_1M} = \frac{S_1}{{S}_{A_1BM}} = \frac{S_2}{{S}_{A_1CM}} = \frac{S_1+S_2}{S_3}$$
Tương tự : $$\frac{BM}{B_1M} = \frac{S_1+S_3}{S_2}$$
$$\frac{CM}{C_1M} = \frac{S_2+S_3}{S_1}$$
$$\Rightarrow \frac{AM}{A_1M}+\frac{BM}{B_1M}+\frac{CM}{C_1M} = \frac{S_1+S_2}{S_3}+\frac{S_1+S_3}{S_2}+\frac{S_2+S_3}{S_1} \geq 6$$(đpcm)

 

[trydan]

Cho [TEX]x,y > 0[/TEX] và [TEX]x + y \geq 6[/TEX]. Tìm [TEX]Min[/TEX]

[TEX]A= 3x + 2y + \frac{6}{x}+\frac{8}{y}[/TEX]​

Vậy

khi