Q
quan8d
Trước tiên ta c/m bổ đề: với [tex]\forall x,y>0 [/tex]ta luôn có :[tex] \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\geq \frac{2x-y}{3} (1)[/tex]Chứng minh rằng vớithì
______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.
Thật vậy : do[tex] x,y>0[/tex] nên [tex](1) \Leftrightarrow 3x^3 \geq(2x-y)(x^2+xy+y^2)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3x^3 - 2x^3-2x^2y-2xy^2+yx^2+xy^2+y^3 \geq0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x+y)(x-y)^2 \geq0 (2)[/tex]
Vì (2) luôn đúng với [tex] \forall x,y>0 [/tex] nên (1) đúng hay :[tex]\frac{x^3}{x^2+xy+y^2} \geq \frac{2x-y}{3}[/tex]
Áp dụng cho c/m bất đẳng thức ta được :[tex]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^3}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{2a-b}{3}+\frac{2b-c}{3}+\frac{2c-a}{3}=\frac{a+b+c}{3} (đpcm)[/tex]