[Toán 8] Chuyên Đề Bất Đẳng Thức

Q

quan8d

trydan said:
Chứng minh rằng với
gif.latex
thì
gif.latex



______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Trước tiên ta c/m bổ đề: với [tex]\forall x,y>0 [/tex]ta luôn có :[tex] \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\geq \frac{2x-y}{3} (1)[/tex]
Thật vậy : do[tex] x,y>0[/tex] nên [tex](1) \Leftrightarrow 3x^3 \geq(2x-y)(x^2+xy+y^2)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3x^3 - 2x^3-2x^2y-2xy^2+yx^2+xy^2+y^3 \geq0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x+y)(x-y)^2 \geq0 (2)[/tex]
Vì (2) luôn đúng với [tex] \forall x,y>0 [/tex] nên (1) đúng hay :[tex]\frac{x^3}{x^2+xy+y^2} \geq \frac{2x-y}{3}[/tex]
Áp dụng cho c/m bất đẳng thức ta được :[tex]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^3}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{2a-b}{3}+\frac{2b-c}{3}+\frac{2c-a}{3}=\frac{a+b+c}{3} (đpcm)[/tex]
 
T

trydan

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
gif.latex
 
Last edited by a moderator:
T

thptlequydon

\Rightarrow
trydan said:
Chứng minh rằng với
gif.latex
thì
gif.latex



______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
tui giai?the^' nay` mi' ban. xem nha
[TEX]\frac{a^3*a}{a*(b^2+a^2+ab)}+\frac{b^3*b}{b*(b^2+c^2+bc)}+\frac{c*c^3}{c*(c^2+a^2+ca)}[/I][/B] [B][I]=\frac{a^4}{ab^2+a^3+a^2b)}+\frac{b^4}{b^3+bc^2+b^2c)}+\frac{c^4}{c^3+ca^2+c^2a)}[/TEX]
dat A la ve trai
ap dung bdt bunhiacopxki
A\geq[TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}[/TEX]
c/m [TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}[/TEX]\geqVP
[TEX]3a^2+3b^2+3c^2>=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca[/TEX]\Rightarrow[TEX]a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca[/TEX]bdt dung
tuc wa ko ghi dau dc
ai giup tui coi
 
L

letrang3003

thptlequydon : ứ hiểu , hình như có vẫn đề :-j
Cho a+b+c =1
[TEX](a + \frac{1}{b} ) (b + \frac{1}{c}) ( c + \frac{1}{a}) \geq ( \frac{10}{3})^3[/TEX]
 
T

thptlequydon

chet bai truoc post nham ko nhin trang sau moi the nay
bu bai moi nha
1/cho 3 so duong a,b,c thoa man dieu kien a+b+c=3 cm r
[TEX]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]\frac{3}{2}[/TEX]
(trich de thi tuyen lop 10 truong chuyen le quy don binh dinh 2008-2009)
2/cho a,b,c ko am .cm
[TEX]\frac{1+a^2}{\sqrt{1+ab}}+\frac{1+b^2}{\sqrt{1+bc}}+\frac{1+c^2}{\sqrt{1+ca}} [/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]\sqrt{1+ab}+\sqrt{1+ca}+\sqrt{1+bc}[/TEX]
 
B

bigbang195

letrang3003 said:
thptlequydon : ứ hiểu , hình như có vẫn đề :-j
Cho a+b+c =1
[TEX](a + \frac{1}{b} ) (b + \frac{1}{c}) ( c + \frac{1}{a}) \geq ( \frac{10}{3})^3[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

By Hölder's inequality we have:

[TEX]\fbox{\blue LHS \ge \left ( \sqrt[3]{abc}+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}} \right )^3 \ge \left (\frac{10}{3} \right )^3[/TEX]

[TEX] \fbox{ \blue \Leftrightarrow \sqrt[3]{abc}+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}} \ge \frac{10}{3}[/TEX]

Done.
 
B

bigbang195

Thế này nhá bx

bất đẳng thức này hoán vị vòng 3 biến nên dấu bằng ở [TEX]a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]. thử vào cũng được :D


do vậy ta áp dụng cô si cho

[TEX]a+\frac{1}{9b}+...+\frac{1}{9b} \ge 10\sqrt[10]{\frac{a}{(9b)^9}}[/TEX]

vì lúc này [TEX]a=\frac{1}{3} [/TEX]và[TEX] \frac{1}{b}=3[/TEX] thế nên anh phải chia cho 9 để nó bằng a mới áp dụng cô si được :D
OK nhá

làm tương tự với các số kia

nhân lại với nhau thì ở tử bị triệt tiêu abc ở dưới mẫu sẽ còn [TEX](abc)^8[/TEX]

mặt khác [TEX]a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}[/TEX]

tìm đc max abc mà nó lại ở dưới mẫu nên tìm được min và bằng[TEX] \frac{10^3}{3^3}[/TEX]
 
Q

quan8d

letrang3003 said:
thptlequydon : ứ hiểu , hình như có vẫn đề :-j
Cho a+b+c =1
[TEX](a + \frac{1}{b} ) (b + \frac{1}{c}) ( c + \frac{1}{a}) \geq ( \frac{10}{3})^3[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Ta có: [tex](a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a}) = (abc+\frac{1}{abc})+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+1[/tex]
Lại có:[tex] \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{9}{a+b+c}=9[/tex]
[tex]0<abc<(\frac{a+b+c}{3})^3=\frac{1}{27}[/tex]
Suy ra:[tex] abc+\frac{1}{abc}= abc+\frac{1}{27^2abc}+\frac{27^2-1}{27^2abc}[/tex]
Áp dụng bđt Cô si ta có :[tex] abc+\frac{1}{27^2abc}+\frac{27^2-1}{27^2abc} \geq 2\sqrt{abc.\frac{1}{27^2abc}}+\frac{27^2-1}{27^2.\frac{1}{27}}=\frac{}{}+27-\frac{1}{27}=27+\frac{1}{27}[/tex]
Do đó:[tex] (a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})=(abc+\frac{1}{abc})+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+1\geq27+\frac{1}{27}+9+1=(\frac{10}{3})^3[/tex]
Thế này chắc là đúng rồi nhưng mà hình như chưa cho a,b,c ko âm thì phải
 
Last edited by a moderator:
B

bigbang195

thptlequydon said:
chet bai truoc post nham ko nhin trang sau moi the nay
bu bai moi nha
1/cho 3 so duong a,b,c thoa man dieu kien a+b+c=3 cm r
[TEX]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]\frac{3}{2}[/TEX]
(trich de thi tuyen lop 10 truong chuyen le quy don binh dinh 2008-2009)
2/cho a,b,c ko am .cm
[TEX]\frac{1+a^2}{\sqrt{1+ab}}+\frac{1+b^2}{\sqrt{1+bc}}+\frac{1+c^2}{\sqrt{1+ca}} [/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]\sqrt{1+ab}+\sqrt{1+ca}+\sqrt{1+bc}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\fbox{\blue LHS=\sum a-\sum \frac{ab^2}{1+b^2} \ge \sum a-\sum \frac{ab}{2} \ge \frac{3}{2}[/TEX]

đpcm.

bài 2:

[TEX]LHS \ge \frac{(\sum \sqrt{1+a^2} )^2}{\sum \sqrt{1+ab}} \ge RHS[/TEX]


[TEX]\Leftrightarrow \sum \sqrt{1+a^2} \ge \sum \sqrt{1+ab}[/TEX]

ta có

[TEX]\fbox{\blue \sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2} \ge 2\sqrt[4]{(1+a^2)(1+b^2)} \ge 2\sqrt{1+ab}[/TEX]

làm tương tự ta được đpcm
 
T

trydan

Típ: :D
Cho a, b, c là 3 số thực và
gif.latex
. Chứng minh rằng:
gif.latex



______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.

 
T

trydan

Cho x, y là hai số thực bất kì khác 0. Chứng minh rằng:
gif.latex

Dấu "=" xảy ra khi nào ?

______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.

 
Last edited by a moderator:
Q

quan8d

Cho a,b,c,d là các số thực dương. Chứng minh:
[tex]\sqrt{(\frac{a}{b})^3}+\sqrt{(\frac{b}{c})^3}+ \sqrt{(\frac{c}{d})^3}+\sqrt{(\frac{d}{a})^3} \geq \frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}[/tex]
 
S

son_9f_ltv

trydan said:
Cho x, y là hai số thực bất kì khác 0. Chứng minh rằng:
gif.latex

Dấu "=" xảy ra khi nào ?

______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
quy đồng xong chỉ cần CM
[TEX]\Leftrightarrow x^8+y^8\ge x^6y^2+x^2y^2 (AM-GM)[/TEX]
 
I

ilovetoan

trydan said:
Cho x, y là hai số thực bất kì khác 0. Chứng minh rằng:
A=
gif.latex

Dấu "=" xảy ra khi nào
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
A\geq[TEX] \frac{4x^2y^2}{2(x^4+y^4)} [/TEX]+[TEX] \frac{x^4+y^4}{x^2y^2} [/TEX]
\geq[TEX] \frac{2x^2y^2}{(x^4+y^4)} [/TEX]+[TEX] \frac{x^4+y^4}{2x^2y^2} [/TEX]+[TEX] \frac{x^4+y^4}{2x^2y^2}[/TEX] \geq 2+1=3
dấu = xảy xa khi [TEX]x^2=y^2[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
Q

quyenuy0241

trydan said:
Cho x, y là hai số thực bất kì khác 0. Chứng minh rằng:
gif.latex

Dấu "=" xảy ra khi nào ?

______________________________________________________________
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[tex]\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \ge \frac{(x^2+y^2)^2}{2x^2y^2} \ge 1 +\frac{(x^2+y^2)^2}{4x^2y^2}[/tex]


Vậy cần CM[tex] \frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2} +\frac{(x^2+y^2)^2}{4x^2y^2} \ge 2 [/tex] Cauchy đấy
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom