B
Q
quan8d
Không mất tính tổng quát giả sử : [TEX] a \geq b \geq c [/TEX] , gọi [TEX]A = a+b+c [/TEX] . Nếu [TEX]a , b , c \leq A[/TEX] thì : [TEX]\left|a+b \right|+\left|b+c \right|+\left|c+a \right| = A-c+A-a+A-b = 2A \leq 2\left|A \right| \leq \left|a \right|+\left|b \right|+\left|c \right| +\left|a+b+c \right|[/TEX] ( vì [TEX]\left|a \right|+\left|b \right|+\left|c \right| \geq \left|a+b+c \right|[/TEX] ) , suy ra đpcm.Chứng minh:
Nếu [TEX]a,b,c \geq A[/TEX] thì :[TEX]\left|a+b \right|+\left|b+c \right|+\left|c+a \right| = c-A+a-A+b-A = -2A \leq 2\left|A \right| \leq \left|a \right|+\left|b \right|+\left|c \right| +\left|a+b+c \right|[/TEX]
Vậy [TEX]\left|a \right|+\left|b \right|+\left|c \right| +\left|a+b+c \right| \geq \left|a+b \right|+\left|b+c \right|+\left|c+a \right|[/TEX]
B
big.bang
H
helmay
S
son_9f_ltv
[TEX]\Rightarrow b=\frac{2ac}{a+c}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow LHS =\sum{\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}}[/TEX]
[TEX]=1+\frac{3}{2}(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})\ge 1+3=4\Rightarrow dpcm[/TEX]
[TEX] "=" \Leftrightarrow a=c=1;b=2[/TEX]
B
bigbang195
V
vodichhocmai
Chứng minh:
Từ bài toán trên ta cũng dễ dàng suy ra hệ quả [TEX]Popoviciu[/TEX] như sau :
[TEX]|a|+|b|+|c|+\|\frac{a+b+c}{3}\|\ge \frac{2}{3}\(|a+b|+|b+c|+|c+a|\)[/TEX]
T
trydan
V
vodichhocmai
ChoChứng minh rằng:
 \geq (a^3+b^3+c^3)(a^5+b^5+c^5))
[TEX]3(a^8+b^8+c^8) - (a^3+b^3+c^3)(a^5+b^5+c^5) =\sum_{cyclic}\(a^5-b^5\)\(a^3-b^3\)\ge 0[/TEX]
B
bigbang195
[TEX]a+b+c=1[/TEX]
Tìm min
[TEX]\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2} [/TEX]
[TEX]a,b,c[/TEX] không âm.
Giờ mới làm được bài này :khi (169):
Tìm min
[TEX]\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2} [/TEX]
[TEX]a,b,c[/TEX] không âm.
Giờ mới làm được bài này :khi (169):
L
lelinh19lucky
ta có
1/(ab+ac+bc )+1/(a^2+b^2+c^2) =2/2(ab+ac+bc) +1/(a^2+b^2+c^2)>=(2+1)/(a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc))=3/(a+b+c)^2=3
min là 3
ko bít đúng hen ta
híc bài hum nọ post lung tung đúng lúc sửa bài thì mất điện 1 ngày, hum nay mới sửa nổi
cả nhà thông cảm
1/(ab+ac+bc )+1/(a^2+b^2+c^2) =2/2(ab+ac+bc) +1/(a^2+b^2+c^2)>=(2+1)/(a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc))=3/(a+b+c)^2=3
min là 3
ko bít đúng hen ta
híc bài hum nọ post lung tung đúng lúc sửa bài thì mất điện 1 ngày, hum nay mới sửa nổi
cả nhà thông cảm
Last edited by a moderator:
Q
quan8d
H
helmay
có bài này sử dụng phương pháp phản chứng làm giúp với:
Cho [TEX]ac \geq2(b+d)[/TEX], chứng minh rằng có ít nhất một trong 2 BĐT sau là sai:
[TEX]a^2 < 4b[/TEX];
[TEX]c^2 < 4d.[/TEX]
Cho [TEX]ac \geq2(b+d)[/TEX], chứng minh rằng có ít nhất một trong 2 BĐT sau là sai:
[TEX]a^2 < 4b[/TEX];
[TEX]c^2 < 4d.[/TEX]
Last edited by a moderator:
0
01263812493
[TEX]\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2} =\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}+\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}[/tex]
[TEX]=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+ac+bc}+2+1+\frac{2(ab+ac+bc)}{a^2+b^2+c^2} \geq 3+ 2.\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+ac+bc}.\frac{2(ab+ac+bc)}{a^2+b^2+c^2}}=3+2\sqrt{2}[/TEX]
Q
quan8d
Làm thế thì ai mà chả làm được , nếu thế thì dùng AM-GM cho nhanh:
[TEX]\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2} = \frac{2}{2(ab+bc+ca)}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{(1+\sqrt{2})^2}{1} = 3+2.\sqrt{2}[/TEX]Nhưng Min ở đây là 6 [TEX]\Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}[/TEX]
H
helmay
H
hoa_giot_tuyet
em giải thế này nếu có sai thì xin các mem lượng thứ nha =((
a/b<c/d => ab/b^2<cd/d^2
=> ab/b^2<(ab+cd)/(b^2+d^2)<cd/d^2 (t/c a/b<(a+c)/(b+d)<c/d)
Do đó a/b < ( ab+cd )/ ( b^2=d^2 ) < c/d
Cho em ý kiến về bài giải của mik nhé
>-
0
0915549009
Ta có: [tex]\frac{a}{b} < \frac{c}{d}[/tex] nên ad < bc \Leftrightarrow [TEX]ad^2 < bcd [/TEX] ( do d > 0)bài mới nữa này:
Chovà b, d > 0. Chứng minh:
\Leftrightarrow [TEX]ab^2 + ad^2 < ab^2 + bcd [/TEX] \Rightarrow [TEX]\frac{a}{b} < \frac{ab + cd}{b^2 + d^2}[/TEX] (1)
Tương tự, ta CM đc: [TEX]\frac{ab + cd}{b^2+d^2} < \frac{c}{d}[/TEX] (2)
Kết hợp (1) và (2) ta đc đpcm
T
trydan
Q
quyenuy0241
Cho x, y, z > 0 và. Chứng minh rằng
[TEX]x^2+xy+y^2=\frac{3(x+y)^2}{4}+\frac{(x-y)^2}{4} \ge \frac{3(x+y)^2}{4}[/TEX]