[Toán 8] Chuyên Đề Bất Đẳng Thức

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

1 bài "hiểm"

a, b, c là các số dương. Tìm min

[TEX]A = \frac{(5b+a)(5c+b)(5a+c)}{125abc} \geq \frac{6\sqrt[6]{ab^5}.6\sqrt[6]{bc^5}.6\sqrt[6]{ca^5}}{125abc}=\frac{216}{125} \[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

theo mình bạn thienlongcuong làm ra [TEX]x+y\geq 1,xy\leq \frac{1}{4}[/TEX] rồi làm tiếp thế này thì nhanh hơn
[TEX]A=\frac{x^{3}+y^{3}}{(xy)^{3}}=\frac{(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)}{(xy)^{3}}=(\frac{x+y}{xy})^{2}\geq 16[/TEX]

Hình như max xy tui sai choẹt rồi !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[linhhuyenvuong]

Cho x,y là các số thực thay đổi.
Tìm Min
[TEX] A=\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2}+|y-2|[/TEX]

 

[traitimbangtuyet]

1) Giải và biện luận bất phương trình :
a)[TEX]\frac{mx+(m-2)^2}{8}>\frac{(m-1)(x+1)}{3}-\frac{x+m^2}{12}[/TEX]
b)[TEX]\frac{6x+m}{15}>\frac{mx+2}{6}-\frac{x+m}{10}[/TEX]
2) Cho biểu thức : B=[TEX]\frac{x+1}{x^3+2x^2-4x-5}[/TEX]
a) Tìm x để B(max)
b) Tính B(max) đó

gợi ý nha ! biện luận phương trình là xét 3 trường hợp nha ! vd : x >0 , x<0 , x=0 !!! để tìm ra số x tương ướng

 

[billy9797]

1) Giải và biện luận bất phương trình :
a)[TEX]\frac{mx+(m-2)^2}{8}>\frac{(m-1)(x+1)}{3}-\frac{x+m^2}{12}[/TEX]
b)[TEX]\frac{6x+m}{15}>\frac{mx+2}{6}-\frac{x+m}{10}[/TEX]
2) Cho biểu thức : B=[TEX]\frac{x+1}{x^3+2x^2-4x-5}[/TEX]
a) Tìm x để B(max)
b) Tính B(max) đó

2/[TEX]B=\frac{x+1}{(x+1)(x^{2}+x-5)}=\frac{1}{x^{2}+x-5}[/TEX]
giờ tìm min [TEX]x^{2}+x-5[/TEX] là xong

 

[hoa_giot_tuyet]

Xin mấy tiền bối chỉ giùm tại hạ (

Bác nào hay bạn nào bjk về kĩ thuật đánh giá điểm biên trong BĐT làm ơn giảng rõ ràng cái, đọc mà ko hỉu gì cả :|

BÀi ví dụ áp dụng pp này

Cho a,b,c là các số thực k âm thảo mãn a+b+c = 1 c/m [TEX](2ab+3bc+4ac-5abc)(a^3+b^3+c^3) \leq \frac{1}{3}[/TEX]


Về căn bản là hiểu phần cm bài này rồi nhưng lại chả hiểu kĩ thuật đánh giá điểm biên gì ở đây và sử dụng ntn (

 

[aklpt12345]

Bai ne la la/ cho a,b,c > 0 CMR
p= [TEX]\frac{1}{2(a+b)}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{3(b+c)}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{6(c+a)}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{6}{4a+5b+3c}[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Bai ne la la/ cho a,b,c > 0 CMR
p= [TEX]\frac{1}{2(a+b)}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{3(b+c)}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{6(c+a)}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{6}{4a+5b+3c}[/TEX]

schwarz:
[TEX]VT \geq \frac{4}{12a+6b+6c}+\frac{4}{6b+3a+3c}= \frac{1}{6a+3b+3c}+\frac{1}{6a+3b+3c}+\frac{4}{6b+3a+3c} \geq \frac{36}{24a+30b+18c}=VP[/TEX]

 

[hoa_giot_tuyet]

Cho a,b,c là các số thực k âm thảo mãn a+b+c = 1 c/m [TEX](2ab+3bc+4ac-5abc)(a^3+b^3+c^3) \leq \frac{1}{3}[/TEX]

Đây là lời giải bài này, xem xong nhớ giảng lại hộ t :x

Ta có 2ab+3bc+4ac \leq 4(ab+bc+ca) nên ta quy về vc chứng minh

[TEX][4(ab+bc+ca) - 5abc](a^3+b^3+c^3) \leq \frac{1}{3}[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow [3(ab+bc+ca) - \frac{15}{4}abc][a^3+b^3+c^3) \leq \frac{1}{4}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow [3(ab+bc+ca)(a+b+c) - \frac{15}{4}abc][a^3+b^3+c^3) \leq \frac{1}{4}[/TEX]

Sử dụng BĐT Cauchy dạng [TEX]xy \leq \frac{(x+y)^2}{4}[/TEX] ta sẽ chứng minh BĐT khác mạnh hơn :

[TEX]a^3+b^3+c^3 + 3(ab+bc+ca)(a+b+c) - \frac{15}{4}abc \leq 1 = (a+b+c)^3[/TEX]

Khai triển và rút gọn đc [TEX]\frac{3}{4}abc \geq 0[/TEX] ~> cái này đúng nên cái trên đúng \Rightarrow đpcm

Dấu bằng xảy ra khi
[tex]\left\{ \begin{array}{l} a^3+b^3+c^3 = 3(ab+bc+ca)(a+b+c) - \frac{15}{4}abc \\ 2ab+3bc+4ca = 4(ab+bc+ca) \\ abc = 0 \end{array} \right.[/tex]

\Leftrightarrow[TEX]\left[\begin{a = \frac{3+\sqrt{3}}{6}, b = 0 , c = \frac{3-\sqrt{3}}{6}}\\{a = \frac{3-\sqrt{3}}{6}, b = 0 , c = \frac{3+\sqrt{3}}{6}} [/TEX]

=(( :|

 

[hoa_giot_tuyet]

Cho hỏi tí

[TEX]2ab+3bc+4ac \leq 4(ab+bc+ca)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2ab+3bc+4ac - 5abc \leq 4(ab+bc+ca) - 5abc[/TEX]

[TEX]\Rightarrow [2ab+3bc+4ac - 5abc](a^3 + b^3 + c^3) \leq [4(ab+bc+ca) - 5abc](a^3+b^3+c^3)[/TEX]

Mà[TEX][2ab+3bc+4ac - 5abc](a^3 + b^3 + c^3) \leq \frac{1}{3}[/TEX]

\Rightarrow [TEX][4(ab+bc+ca) - 5abc](a^3+b^3+c^3) \leq \frac{1}{3}[/TEX] !? Có vô lí quá ko !?






~>> Chú ý khi gõ tex ko dùng các định dạng khác :|

[TEX](2ab+3bc+4ac-5abc)(a^3+b^3+c^3) \leq [4(ab+bc+ca)-5abc][a^3+b^3+c^3] \leq \frac{1}{3}[/TEX]

Vô lý gì b-(

 

[thienlong_cuong]

[TEX](2ab+3bc+4ac-5abc)(a^3+b^3+c^3) \leq [4(ab+bc+ca)-5abc][a^3+b^3+c^3] \leq \frac{1}{3}[/TEX]

Vô lý gì b-(

ờ ờ
Thông cảm
Lại đọc ko kĩ đề bài! hi hi hi
Xoá bài phía trên hâY !

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

[TEX]a_i \geq 0 (i=\overline{1,n}) t/m \sum\limits_{i=1}^{n} a_i =1[/TEX]
[TEX]C/m \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{a_i}{2-a_i} \geq \frac{n}{2n-1} [/TEX]

 

[thienlong_cuong]

[TEX]a_i \geq 0 (i=\overline{1,n}) t/m \sum\limits_{i=1}^{n} a_i =1[/TEX]
[TEX]C/m \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{a_i}{2-a_i} \geq \frac{n}{2n-1} [/TEX]

Chị ơi , bé hổng hỉu đề chị ra ạ ! Chị giúp bé giải thích đc ko ?!?
Mà phiền chị viết lại cái đề giùm bé vs ạ !

 

[nhantd97]

Giúp tớ bài này

1)[TEX]\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c} \geq 4(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})[/TEX]
2)CM rằng nếu: [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}[/TEX] thì [TEX]\frac{1}{x^2003}+\frac{1}{y^2003}+\frac{1}{z^2003}=\frac{1}{x^2003+y^2003+z^2003}[/TEX]
@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)

 

[khanhtoan_qb]

bài 2: http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=154418

 

[khanhtoan_qb]

Mình làm được bài 1 rùi nè

Ta có ta phải chứng minh
[TEX]\frac{b + c}{a} +\frac{a + c}{b} + \frac{b + a}{c} \geq 4(\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{b + a})[/TEX]
[TEX]\frac{b}{a} + \frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b} + \frac{b}{c}+\frac{a}{c} \geq \frac{4a}{b + c} + \frac{4b}{a + c} + \frac{4c}{b + a}[/TEX]
[TEX]c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+ a(\frac{1}{b}+ \frac{1}{c})+ b(\frac{1}{a}+ \frac{1}{c})\geq\frac{4a}{b + c} + \frac{4b}{a + c} + \frac{4c}{b + a}[/TEX] luôn luôn đúng
Thật vậy : áp dụng T/C [TEX]\frac{1}{x}+ \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x +y}[/TEX]
dấu"="xảy ra \Leftrightarrow x = y
Ta có [TEX]\frac{1}{a}+ \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \geq \frac{4}{b + c}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{a}+ \frac{1}{c} \geq \frac{4}{a +c}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]c(\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}) \geq \frac{4c}{a + b}[/TEX]
[TEX]a(\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}) \geq \frac{4a}{b + c}[/TEX]
[TEX]b(\frac{1}{a}+ \frac{1}{c}) \geq \frac{4b}{a +c}[/TEX]
Cộng theo vế \Rightarrow đpcm

 

[khanh_ndd]

[TEX]a_i \geq 0 (i=\overline{1,n}) t/m \sum\limits_{i=1}^{n} a_i =1[/TEX]
[TEX]C/m \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{a_i}{2-a_i} \geq \frac{n}{2n-1} [/TEX]

lâu lâu làm cho vui &gt;

Chebyshev

[TEX]VT\geq \frac{1}{n}.(\sum\limits_{i=1}^{n} a_i).(\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{2-a_i})\ge \frac{1}{n}.\frac{n^2}{2n-\sum\limits_{i=1}^{n} a_i}=\frac{n}{2n-1}[/TEX]

 

[nhantd97]

Bài tiếp nè:
1) Cho [TEX]x, y \in R[/TEX] dương . CM rằng: [TEX]\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x} \geq x+y[/TEX]
2) Cho [TEX]a, b, c \in [/TEX]{0;1} .CM rằng:
[TEX]a+b^2+c^3-ab-bc-ca \leq 1 [/TEX]
3) Cho \forall[TEX]x,y \in R[/TEX] và [TEX]k ,l \in N* , k >1[/TEX]. CM rằng:
[TEX]x^{2k}+y^{2k} \geq x^{2l+1} . y^{2k-2l-1} . y^{2l+1} . x^{2k-2l-1}[/TEX]

 

[quynhnhung81]

Bài tiếp nè:
1) Cho [TEX]x, y \in R[/TEX] dương . CM rằng: [TEX]\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x} \geq x+y[/TEX]

Thông cảm ngu bdt nên chỉ làm ra bài 1 =((
[TEX]\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x} \geq x+y[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{x^3+y^3}{xy} \geq x+y[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^3 +y^3 \geq x^2y+xy^2 [/TEX] (do x,y dương)

[TEX]\Leftrightarrow( x^3-x^2y)+(y^3-xy^2) \geq 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^2(x-y) -y^2(x-y) \geq0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x-y)^2(x+y) \geq 0[/TEX] (luôn đúng do x,y dương)

Vậy [TEX]\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x} \geq x+y[/TEX] với x,y thuộc R dương

 

[nhockthongay_girlkute]

Thông cảm ngu bdt nên chỉ làm ra bài 1 =((
[TEX]\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x} \geq x+y[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{x^3+y^3}{xy} \geq x+y[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^3 +y^3 \geq x^2y+xy^2 [/TEX] (do x,y dương)

[TEX]\Leftrightarrow( x^3-x^2y)+(y^3-xy^2) \geq 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^2(x-y) -y^2(x-y) \geq0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x-y)^2(x+y) \geq 0[/TEX] (luôn đúng do x,y dương)

Vậy [TEX]\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x} \geq x+y[/TEX] với x,y thuộc R dương

dài

[TEX](\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x})(y+x)\geq (x+y)^2(schwarz)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow dpcm [/TEX]