[Toán 8] Chuyên Đề Bất Đẳng Thức

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Bài 1 : Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn . Chứng minh rằng:

[TEX]VT \leq \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} \leq VP[/TEX]

Bài 2 : Cho các số thực không âm a,b . Chứng minh rằng :

[TEX]VT \geq (a+b+ \frac{1}{2})^2 \geq VP[/TEX]

Bài 3 : Cho a,b,c dương . Chứng minh rằng:

[TEX]VT \geq \frac{(x+y+z)^2}{9}+ \frac{6}{x+y+z} \geq VP[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

thi tuyển sinh lớp 10 THPT 2011-2012
bài này thg em nghĩ ra mà mình thì k
Cho a, b, c là các số k âm t/m [TEX] \sum a =1006[/TEX]. C/m
[TEX]\sum\sqrt{2012a+\frac{(b-c)^2}{2}} \leq 2012\sqrt{2}[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

[TEX]a, b, c>0: a+b+c=3 \Rightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a} \geq ?[/TEX]

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

 

[ae97]

thi tuyển sinh lớp 10 THPT 2011-2012
bài này thg em nghĩ ra mà mình thì k
Cho a, b, c là các số k âm t/m [TEX] \sum a =1006[/TEX]. C/m
[TEX]\sum\sqrt{2012a+\frac{(b-c)^2}{2}} \leq 2012\sqrt{2}[/TEX]

cho mình hỏi [tex]\sum a=1006[/tex] nghĩa là gì thế****************************?

 

[becon_matech997]

cho mình hỏi [tex]\sum a=1006[/tex] nghĩa là gì thế****************************?

mình cũng 0 hỉu kí hiệu này\sum_{i=1}^k a_i^n , nó nghĩa là j thế?
________________________________________________

 

[hoa_giot_tuyet]

cho mình hỏi [tex]\sum a=1006[/tex] nghĩa là gì thế****************************?

Nếu ko nhầm thì [tex]\sum a=1006[/tex] có nghĩa là a+b+c = 1006

Tức là tổng các hoán vị ấy ;

ps: mik cũng đâu có bik =))

 

[linhhuyenvuong]

Tìm Min [TEX] P=(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{c})[/TEX]
Biết [TEX] a+b+c \leq \frac{3}{2}[/TEX]

 

[0915549009]

Tìm Min [TEX] P=(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{c})[/TEX]
Biết [TEX] a+b+c \leq \frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]Holder \Rightarrow P \geq (3+\frac{2}{\sqrt[3]{abc}})^3 \geq 343(Cauchy)[/TEX]

 

[xuanquynh97]

bất đẳng thức cauchy mình mới học nên thấy khó lắm mọi người post bài lên cho mình giải để luyẹn tập nhé thank

 

[thienlong_cuong]

Với cao thủ thì mò ra cách giải bài này là dễ dàng
Nhưng vs em thì em phỉa vật lôn căng thẳng vs nó trong suốt giờ Văn + Toán !
Oh my god ! Ko hiểu tại mình ngu hay tại siêng nói chuyện riêng nữa !

Cho a ; b ; c là các số thực dương thoả mãn
[TEX]\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2} = 3\sqrt{2}[/TEX]

Tìm MIN

[TEX]P = \frac{a^2}{b +c} + \frac{b^2}{a + c} + \frac{c^2}{a + b}[/TEX]




_____________________________________
Trường tiểu học Nghĩa Minh !
Trường THCS Nghĩa Hồng !
Vậy cấp 3 sẽ là trường gì !??? :-SS sợ lên lớp 9 lắm mẹ ơi !

 

[locxoaymgk]

thi tuyển sinh lớp 10 THPT 2011-2012
bài này thg em nghĩ ra mà mình thì k
Cho a, b, c là các số k âm t/m [TEX] \sum a =1006[/TEX]. C/m
[TEX]\sum\sqrt{2012a+\frac{(b-c)^2}{2}} \leq 2012\sqrt{2}[/TEX]

Bài này ko chắc ăn lắm bởi vì theo cách của mình ko tìm dc giá trị của a,b,c!!
Ta có:
[TEX]2012a+\frac{(b-c)^2}{2}=2a(a+b+c)+\frac{(b-c)^2}{2}[/TEX]
[TEX]=2a^2+2a(b+c)+\frac{(b-c)^2}{2}=\frac{4a^2+4a(b+c)+(b-c)^2}{2}[/TEX]

Mà[TEX] -bc \leq bc[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \sqrt{2012a+\frac{b-c)^2}{2}} \leq \sqrt{\frac{4a^2+4a(b+c)+(b+c)^2}{2}}[/TEX]

[TEX] \Rightarrow\sqrt{2012a+\frac{b-c)^2}{2}} \leq \sqrt{\frac{2(a+b+c}{2}}[/TEX]
CMTT và cộng từng vế Ta có:

Her,ai tìm hộ[TEX] a,b,c[/TEX] cái!!

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Bài này ko chắc ăn lắm bởi vì theo cách của mình ko tìm dc giá trị của a,b,c!!
Ta có:
[TEX]2012a+\frac{(b-c)^2}{2}=2a(a+b+c)+\frac{(b-c)^2}{2}[/TEX]
[TEX]=2a^2+2a(b+c)+\frac{(b-c)^2}{2}=\frac{4a^2+4a(b+c)+(b-c)^2}{2}[/TEX]

Mà[TEX] -bc \leq bc[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \sqrt{2012a+\frac{b-c)^2}{2}} \leq \sqrt{\frac{4a^2+4a(b+c)+(b+c)^2}{2}}[/TEX]

[TEX] \Rightarrow\sqrt{2012a+\frac{b-c)^2}{2}} \leq \sqrt{\frac{2(a+b+c}{2}}[/TEX]
CMTT và cộng từng vế Ta có:

Her,ai tìm hộ[TEX] a,b,c[/TEX] cái!!

dấu = xảy ra khi 2 số =0, 1 số=1006
++++++++++++++++++++++++++++++++

 

[0915549009]

Với cao thủ thì mò ra cách giải bài này là dễ dàng
Nhưng vs em thì em phỉa vật lôn căng thẳng vs nó trong suốt giờ Văn + Toán !
Oh my god ! Ko hiểu tại mình ngu hay tại siêng nói chuyện riêng nữa !

Cho a ; b ; c là các số thực dương thoả mãn
[TEX]\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2} = 3\sqrt{2}[/TEX]

Tìm MIN

[TEX]P = \frac{a^2}{b +c} + \frac{b^2}{a + c} + \frac{c^2}{a + b}[/TEX]

[TEX]\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2} = 3\sqrt{2} \geq \sqrt{2(a+b+c)^2} \Rightarrow a+b+c \leq 3[/TEX]
[TEX]\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2} = 3\sqrt{2} \leq \sqrt{6(a^2+b^2+c^2)} \Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 3[/TEX]
[TEX]Chebyshev \Rightarrow P \geq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2). (\frac{1}{c+b} + \frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+a}) \geq 3(a^2+b^2+c^2). \frac{1}{2(a+b+c)} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

 

[hoangtu_2011]

[TEX]\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2} = 3\sqrt{2} \geq \sqrt{2(a+b+c)^2} \Rightarrow a+b+c \leq 3[/TEX]
[TEX]\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2} = 3\sqrt{2} \leq \sqrt{6(a^2+b^2+c^2)} \Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 3[/TEX]
[TEX]Chebyshev \Rightarrow P \geq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2). (\frac{1}{c+b} + \frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+a}) \geq 3(a^2+b^2+c^2). \frac{1}{2(a+b+c)} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

Bài của em ! Cách hơi dài và có thể sai bất cứ lúc nào ! he he he he
Dễ chứng minh
[TEX]a^2 + b^2 + c^2 \geq 3[/TEX]

[TEX]\frac{1}{2}P = \frac{1}{2}.(\frac{a^2}{b +c} + \frac{b^2}{a + c} + \frac{c^2}{a + b})[/TEX]

[TEX]\frac{1}{2}P \geq \frac{1}{2}(\frac{a^2}{\sqrt{2}.\sqrt{b^2 + c^2}} + \frac{b^2}{\sqrt{2}.\sqrt{a^2 + c^2}} + \frac{c^2}{\sqrt{2}.\sqrt{b^2 + a^2}}) \geq \frac{a^2}{2 + b^2 + c^2} + \frac{b^2}{a^2 + c^2 + 2} + \frac{c^2}{a^2 + b^2 + 2} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow 3 + \frac{1}{2}P \geq (a^2 + b^2 + c^2 + 2).(\frac{1}{b^2 + c^2 +2} + \frac{1}{b^2 + a^2 + 2} + \frac{1}{a^2 + c^2 + 2}) \geq (a^2 + b^2 + c^2 + 2).\frac{9}{2(a^2 + b^2 + c^2 + 2) + 2}[/TEX]

Đặt [TEX]a^2 + b^2 + c^2 + 2 = t \Rightarrow t \geq 5 \Rightarrow \frac{2}{5}t \geq 2[/TEX]


[TEX]\Rightarrow 3 + \frac{1}{2}P \geq \frac{9t}{2t +2} \geq \frac{9}{\frac{12}{5}t} = 3,75[/TEX]

[TEX]\Rightarrow P \geq 1,5[/TEX]


oh my god Z!
Dài nhưng biết có sai hay ko !??

 

[0915549009]

Đặt [TEX]a^2 + b^2 + c^2 + 2 = t \Rightarrow t \geq 5 \Rightarrow \frac{2}{5}t \geq 2[/TEX]


[TEX]\Rightarrow 3 + \frac{1}{2}P \geq \frac{9t}{2t +2} \geq \frac{9}{\frac{12}{5}t} = 3,75[/TEX]

[TEX]\Rightarrow P \geq 1,5[/TEX]


oh my god Z!
Dài nhưng biết có sai hay ko !??

Đoạn trên ko nhìn ra đc gì =.= Chỉ thấy ko ổn ở đoạn cuối :-??
[TEX] 3 + \frac{1}{2}P \geq\frac{9t}{2t +2} = \frac{9}{2+\frac{2}{t}} \geq 3,75 [/TEX]
Sao lại thành [TEX]\frac{9}{\frac{12}{5}t} = 3,75[/TEX] đc nhể? :-??

 

[thienlong_cuong]

Đoạn trên ko nhìn ra đc gì =.= Chỉ thấy ko ổn ở đoạn cuối :-??
[TEX] 3 + \frac{1}{2}P \geq\frac{9t}{2t +2} = \frac{9}{2+\frac{2}{t}} \geq 3,75 [/TEX]
Sao lại thành [TEX]\frac{9}{\frac{12}{5}t} = 3,75[/TEX] đc nhể? :-??

ừa !
Thì [TEX]2 \leq \frac{2}{5}t[/TEX]

Nên [TEX]2t + 2 \leq 2t + \frac{2}{5}t[/TEX]

Đưa về dạng dưới mẫu \Rightarrow đổi chiều ! :-SS:-SS:-SS Bắt đầu run ùi !

[TEX]\frac{9}{\frac{12}{5}t} = 3,75[/TEX]

Ko phỉa thế này mà là
[TEX]\frac{9t}{\frac{12}{5}t} = 3,75[/TEX]

p/s : Thiếu t !

 

[dngoc123]

Cho a, b, c, d > 0 thỏa ab + bc + cd + da = 1
CMR: A = [TEX]\frac{a^3}{b + c+ d} + \frac{b^3}{c + d + a} + \frac{c^3}{d + a + b} + \frac{d^3}{a + b + c}\geq\frac{1}{3}[/TEX]
trích đề thi PSFJIOM 36 ) )

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Cho a, b, c, d > 0 thỏa ab + bc + cd + da = 1
CMR: A = [TEX]\frac{a^3}{b + c+ d} + \frac{b^3}{c + d + a} + \frac{c^3}{d + a + b} + \frac{d^3}{a + b + c}\geq\frac{1}{3}[/TEX]
trích đề thi PSFJIOM 36 ) )

[TEX]AM-GM \Rightarrow A \geq \frac{a+b+c+d-1}{3}[/TEX]
Mà [TEX]ab + bc + cd + da = 1 \Rightarrow (a+c)(b+d)=1 \Rightarrow a+b+c+d \geq 2[/TEX]
\Rightarrow đpcm

 

[dngoc123]

[TEX]AM-GM \Rightarrow A \geq \frac{a+b+c+d-1}{3}[/TEX]
Mà [TEX]ab + bc + cd + da = 1 \Rightarrow (a+c)(b+d)=1 \Rightarrow a+b+c+d \geq 2[/TEX]
\Rightarrow đpcm

BDT trê-bử-xép AM-GM ớ
làm kiểu này ko hiểu

 

[0915549009]

Cho a, b, c, d > 0 thỏa ab + bc + cd + da = 1
CMR: A = [TEX]\frac{a^3}{b + c+ d} + \frac{b^3}{c + d + a} + \frac{c^3}{d + a + b} + \frac{d^3}{a + b + c}\geq\frac{1}{3}[/TEX]
trích đề thi PSFJIOM 36 ) )

Vs dạng bài này thì Schwarz là no.1 ) Nhưng làm theo Chebyshev cũng hay lắm
[TEX]A =\frac{a^3}{b + c+ d} + \frac{b^3}{c + d + a} + \frac{c^3}{d + a + b} + \frac{d^3}{a + b + c}= \frac{a^4}{ab +ac+ad} + \frac{b^4}{bc + bd + ab} + \frac{c^4}{cd + ca + cb} + \frac{d^4}{ad +db + cd} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)} = \frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{2+2(ac+bd)}[/TEX]
Cần CM: [TEX]\frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{2+2(ac+bd)} \geq \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2+d^2)^2 \geq 2+2(ac+bd)[/TEX]
[TEX]a^2+b^2+c^2+d^2 \geq ab+bc+cd+da=1 \Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2+d^2) \geq 2; (a^2+b^2+c^2+d^2)^2 \geq ab+bc+cd+da=1 \Rightarrow (a^2+b^2+c^2+d^2)^2 \geq a^2+b^2+c^2+d^2[/TEX]
[TEX]2(ac+bd) \leq a^2+b^2+c^2+d^2 \Rightarrow (a^2+b^2+c^2+d^2)^2 - 2(ac+bd) \geq0 \Rightarrow dpcm [/TEX]