[Toán 8] Chuyên Đề Bất Đẳng Thức

[hoa_giot_tuyet]

Bài tiếp nè:
2) Cho [TEX]a, b, c \in [/TEX]{0;1} .CM rằng:
[TEX]a+b^2+c^3-ab-bc-ca \leq 1 [/TEX]
[/TEX]

[TEX]a, b, c \in {0;1} \Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c) \geq 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 1 - a - b - c + ab + bc+ca - abc \geq 0[/TEX]

[TEX] \Rightarrow a + b + c - ab - bc - ca \leq 1 -abc \leq 1[/TEX] (a,b,c >0)

Vì 0 \leqa,b,c \leq 1 nên [TEX]b^3 \leq b, c^3 \leq c [/TEX]

[TEX] \Rightarrow a+b^2+c^3-ab-bc-ca \leq a+b+c - ab - bc - ca \leq 1[/TEX]

p/s: à mà hình như phải là a,b,c \in [0,1] chứ nhỉ, mik nhớ nhầm chăng :;

 

[nhantd97]

dài

[TEX](\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x})(y+x)\geq (x+y)^2(schwarz)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow dpcm [/TEX]

Mình không hiểu làm răng để suy ra dpcm ? Tính ra nó cứ sao sao...|||

 

[khanhtoan_qb]

Mình không hiểu làm răng để suy ra dpcm ? Tính ra nó cứ sao sao...|||

Chia cả 2 vế với x + y , bất đẳng thức không đổi chìu \Rightarrow đpcm
làm rõ ra nhé :
Ta có [TEX]\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\geq(x + y)^2[/TEX](1)luôn luôn đúng
Thật vậy :
ta có (1)\Leftrightarrow[TEX]x^2 + \frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{x}+ y^2[/TEX]\geq[TEX]x^2 + 2xy + y^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\frac{x^3}{y} + \frac{y^3}{x} \geq 2xy[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^4 + y^4 \geq 2x^2y^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x^2+ y^2)^2 \geq 0[/TEX]luôn luôn đúng\Rightarrow đpcm>->->->->->->->->->->->-

 

[hoa_giot_tuyet]

Mình không hiểu làm răng để suy ra dpcm ? Tính ra nó cứ sao sao...|||

Sax

Cái đó áp dụng bunyakovsky xong rồi chia cả 2 vế cho x+Y là ra đpcm mà b-(

Chia cả 2 vế với x + y , bất đẳng thức không đổi chìu đpcm

làm rõ ra nhé :

Ta có [TEX]\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\geq(x + y)^2[/TEX](1)luôn luôn đúng

Thật vậy :

ta có (1)[TEX]x^2 + \frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{x}+ y^2[/TEX][TEX]x^2 + 2xy + y^2[/TEX]

[TEX]\frac{x^3}{y} + \frac{y^3}{x} \geq 2xy[/TEX]

[TEX]x^4 + y^4 \geq 2x^2y^2[/TEX]

[TEX](x^2+ y^2)^2 \geq 0[/TEX]luôn luôn đúng đpcm

Cái này là áp dụng Bunyakovsky lun cho nhanh mà, khổ ghê á

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Cho x,y là các số thực thay đổi.
Tìm Min
[TEX] A=\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2}+|y-2|[/TEX]

[TEX]\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} \geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A \geq \sqrt{4+4y^2} +|y-2|=2\sqrt{y^2+1}+|y-2| =f(y)[/TEX]
TH1: Với [TEX]y \leq 2[/TEX] thì [TEX]A \geq 2\sqrt{y^2+1}+2-y[/TEX]

Dùng khảo sát hàm số f(y) trong miền [TEX]y \leq 2[/TEX]
[TEX]f'(y)=\frac{3=2y}{\sqrt{y^2+1}}-1; f'(y)=0 \Leftrightarrow \sqrt{y^2+1}=2y \Leftrightarrow y=\frac{1}{\sqrt{3}}[/TEX]
Lập bảng biến thiên của f(y) trong [TEX]y \leq 2[/TEX] hàm số chỉ có 1 cực tiểu tại [TEX]y=\frac{1}{\sqrt{3}}, f_{CT}=2+\sqrt{3}[/TEX], k có cực đại
Vậy [TEX]f(y) \geq 2+\sqrt{3} \forall x \leq 2[/TEX]

TH2: [TEX]y \geq 2[/TEX] thì [TEX]A \geq 2\sqrt{y^2+1} \geq 2\sqrt{5} > 2+ \sqrt{3}[/TEX]
Vậy [TEX]Min A=2+sqrt{3}[/TEX]
[TEX]"=" \Leftrightarrow x=0, y=\frac{1}{\sqrt{3}} [/TEX]

Giả sử a,b,c,d là 4 số nguyên thay đổi thỏa mãn:

[TEX] 1\leq a <b < c< d \leq50[/TEX]

Chứng minh BĐT:

[TEX]\frac{a}{b}+\frac{c}{d} \geq\frac{b^2+b+50}{50b}[/TEX]



Tìm Min: [TEX] S=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}[/TEX]

[TEX]\frac{a}{b}+\frac{c}{d} \geq \frac{1}{b}+\frac{b+1}{50} =\frac{b^2+b+50}{50b} \geq \frac{53}{175}[/TEX]

:x(

 

[star_lucky_o0o]

Dùng khảo sát hàm số f(y) trong miền

Lập bảng biến thiên của f(y) trong

hàm số chỉ có 1 cực tiểu tại

, k có cực đại
Vậy

_____________________________-
ko hieu!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[nhantd97]

Có mất bài nữa nè!

1) Cho [TEX]x, y \in R[/TEX]. CM rằng:
[TEX]xy(x-2)(y+6)+12x^2-24x+3y^2+18y+36 > 0[/TEX]
2) Cho [TEX]x, y \in R[/TEX]. CM rằng:
[TEX]1019x^2+18y^2+1007z^2 \geq 30xy^2+6y^2 z+2008zx[/TEX]
3) Cho a\geq4, b\geq4. CM rằng:
[TEX]a^2+b^2+ab \geq 6(a+b)[/TEX]
4) Cho x\geq1, y\geq1 .CM:
[TEX]x \sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1} \leq xy[/TEX]
5) Cho x\geq1, y\geq1 .CM:
[TEX]\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \geq \frac{2}{1+xy}[/TEX]
AI GIÚP TỚ, THANKS NHIỀU.

 

[quynhnhung81]

5) Cho x\geq1, y\geq1 .CM:
[TEX]\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \geq \frac{2}{1+xy}[/TEX]
AI GIÚP TỚ, THANKS NHIỀU.

Bài này mới kiểm tra bữa trước, làm luôn.Xét hiệu

[TEX]\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} - \frac{2}{1+xy}[/TEX]

[TEX]= \frac{(1+y^2)(1+xy)+(1+x^2)(1+xy)-(1+x^2)(1+y^2)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}[/TEX]

[TEX]=\frac{x^3y-2x^2y^2+xy^3-x^2+2xy-y^2}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}[/TEX]

[TEX]=\frac{xy(x-y)^2-(x-y)^2}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}[/TEX]

[TEX]=\frac{(x-y)^2(xy-1)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)} \ \ \ \ \ \ (1)[/TEX]

Với x \geq 1 và y \geq 1 dễ thấy (1) \geq 0

\Rightarrow dpcm

 

[lucprokuteqb01]

tui đây mới làm được bài 3, 5 thui

1) Cho [TEX]x, y \in R[/TEX]. CM rằng:
[TEX]xy(x-2)(y+6)+12x^2-24x+3y^2+18y+36 > 0[/TEX]
2) Cho [TEX]x, y \in R[/TEX]. CM rằng:
[TEX]1019x^2+18y^2+1007z^2 \geq 30xy^2+6y^2 z+2008zx[/TEX]
3) Cho a\geq4, b\geq4. CM rằng:
[TEX]a^2+b^2+ab \geq 6(a+b)[/TEX]
4) Cho x\geq1, y\geq1 .CM:
[TEX]x \sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1} \leq xy[/TEX]
5) Cho x\geq1, y\geq1 .CM:
[TEX]\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \geq \frac{2}{1+xy}[/TEX]
AI GIÚP TỚ, THANKS NHIỀU.

3.Ta có: xét hiệu [TEX]a^2 + b^2 + ab - 6a - 6b = (a^2 - 6a + 9) + (b^2 - 6b + 9) + ab - 18 [/TEX](1)
\Rightarrow(1) = [TEX](a - 3)^2 + (b - 3)^2 + ab - 18 \geq (4 - 3)^2 + (4 - 3)^2 + 4.4 - 18 =0[/TEX]
\Rightarrowđpcm
5.[TEX]\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \geq \frac{2}{1+xy}[/TEX]
Xét hiệu:
[TEX]\frac{1}{1 + x^2} + \frac{1}{1 + y^2} - \frac{2}{1 + xy}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\frac{(1 + y^2 + 1 + x^2)(1 + xy) - 2(1 + x^2)(1 + y^2)}{(1 + xy)(1 + x^2)(1 + y^2)}[/TEX]
xét tử có: [TEX]1 + x^2 + 1 + y^2 + 2xy + xy^3 + x^3y - 2 - 2y^2 - 2x^2 - 2x^2y^2[/TEX]
[TEX]= - x^2 - y^2 + 2xy + x^3y - 2x^2y^2 - xy^3[/TEX]
[TEX]= -(x - y)^2 + xy(x- y)^2= (x - y)^2(xy - 1) \geq 0[/TEX]
Lại có Mẫu > 0 \Rightarrowđpcm

 

[linhhuyenvuong]

14) Cho x\geq1, y\geq1 .CM:
[TEX]x \sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1} \leq xy[/TEX]

-_________________________________
4,
Ta có:áp dụng Cô-si
[TEX] \sqrt{y-1}\leq\frac{y-1+1}{2}=\frac{y}{2}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]x\sqrt{y-1} \leq\frac{xy}{2}[/TEX]

Tương tự:
[TEX]y\sqrt{x-1} \leq\frac{xy}{2}[/TEX]
Cộng theo vế đc
[TEX]x \sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1} \leq xy[/TEX]

 

[quynhnhung81]

1) Cho [TEX]x, y \in R[/TEX]. CM rằng:
[TEX]xy(x-2)(y+6)+12x^2-24x+3y^2+18y+36 > 0[/TEX]
2) Cho [TEX]x, y \in R[/TEX]. CM rằng:
[TEX]1019x^2+18y^2+1007z^2 \geq 30xy^2+6y^2 z+2008zx[/TEX]

1) [TEX]xy(x-2)(y+6)+12x^2-24x+3y^2+18y+36 > 0[/TEX]

[TEX]VT=xy(x-2)(y+6)+12x(x-2)+3y(y+6)+36[/TEX]

[TEX]=x(x-2)[y(y+6)+12]+3[y(y+6)+12][/TEX]

[TEX]=[y(y+6)+12][x(x-2)+3]=[(y+3)^2+3][(x-1)^2+2] > 0[/TEX]

\Rightarrow dpcm

2) [TEX]1019x^2+18y^2+1007z^2 \geq 30xy^2+6y^2 z+2008zx[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 1019x^2+18y^2+1007z^2 - 30xy^2-6y^2 z-2008zx \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 15(x^2-2xy^2+y^4)+3(y^4-2y^2z+z^2)+1004(z^2-2zx+x^2) \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 15(x-y^2)^2+3(y^2-z)^2+1004(z-x)^2 \geq 0 (luon \ \ dung)[/TEX]

\Rightarrow dpcm

 

[linhhuyenvuong]

Cho a,b,c là 3 số dương .CMR:
[TEX]\sqrt{a^2+ab+b^2} \leq \sqrt{a^2-ac+c^2} + \sqrt{b^2-bc+c^2}[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

1 bài chỉ cần IQ hạng thấp là hạ đc nè !

Cho 3 số dương a , b , c t/m a +b +c = 3
Tìm min :
[TEX](1 + \frac{3}{a})(1 + \frac{3}{b})(1 + \frac{3}{c})[/TEX]

p/s : gà nhỉ !?

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

1 bài chỉ cần IQ hạng thấp là hạ đc nè !

Cho 3 số dương a , b , c t/m a +b +c = 3
Tìm min :
[TEX](1 + \frac{3}{a})(1 + \frac{3}{b})(1 + \frac{3}{c})[/TEX]

p/s : gà nhỉ !?

[TEX](1 + \frac{3}{a})(1 + \frac{3}{b})(1 + \frac{3}{c})[/TEX]
[TEX]= \frac{(a+a+b+c)(b+b+c+a)(c+c+a+b)}{abc}[/TEX]
[TEX]\geq \frac{64abc}{abc}[/TEX]
[TEX]=64[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Cho a,b,c là 3 số dương .CMR:
[TEX]\sqrt{a^2+ab+b^2} \leq \sqrt{a^2-ac+c^2} + \sqrt{b^2-bc+c^2}[/TEX]

Giả sử 3g ABC có AB=a, BC=b, góc B=60 độ
Lấy điểm D sao cho BD=c và BC là p/g góc ABD
\Rightarrow đpcm

ỦA sao từ đại lại chuyển sang hình thế, đây là pp chứng minh BĐT = hình học à

ừ

 

[linhhuyenvuong]

Cho x,y là 2 số thực ko âm thay đổi.
Tìm Min,Max
[TEX] P=\frac{(x-y)(1-xy)}{(1+x)^2(1+y)^2}[/TEX]

 

[dngoc123]

cho x, y >0 và [TEX]x^2[/TEX]+[TEX]y^3[/TEX]\geq[TEX]x^3[/TEX]+[TEX]y^4[/TEX]. Chứng minh rằng:
2\geqx+y\geq[TEX]x^2[/TEX]+[TEX]y^2[/TEX]\geq[TEX]x^3[/TEX]+[TEX]y^3[/TEX]
:|:|:|:|:|:|:|:|

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

cho x, y >0 và [TEX]x^2[/TEX]+[TEX]y^3[/TEX]\geq[TEX]x^3[/TEX]+[TEX]y^4[/TEX]. Chứng minh rằng:
2\geqx+y\geq[TEX]x^2[/TEX]+[TEX]y^2[/TEX]\geq[TEX]x^3[/TEX]+[TEX]y^3[/TEX]
:|:|:|:|:|:|:|:|

[TEX](x^2+y^2) -(x^3+y^3) \geq (x^2+y^2) -(x^3+y^3)+(x^3-y^3+y^4-x^2)=(y-y^2)^2 \geq0[/TEX]
[TEX](x+y^2)-(x^2+y^3) \geq (x+y^2)-(x^2+y^3)+(x^3-y^3+y^4-x^2) =(\sqrt{x}-\sqrt{x^3})^2+(y-y^2)^2 \geq 0[/TEX]
[TEX](x+y)-(x^2+y^2) \geq (x+y)-(x^2+y^2)-(x+y^2-x^2-y^3) =y(y-1)^2 \geq 0[/TEX]
[TEX]2-(x+y) \geq 2-(x+y)-(x+y-x^2-y^2) =(x-1)^2+(y-1)^2 \geq 0[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

Cho x , y , z dương thoả mãn x + y + z = 9 !
Tìm Max

[TEX]\sqrt{x^2 + 4xy + y^2} + \sqrt{x^2 + 4xz + z^2} + \sqrt{y^2 + 4yz + z^2}[/TEX]

p/s: Ngu tới mức khó hiểu !

 

[billy9797]

Cho x , y , z dương thoả mãn x + y + z = 9 !
Tìm Max

[TEX]\sqrt{x^2 + 4xy + y^2} + \sqrt{x^2 + 4xz + z^2} + \sqrt{y^2 + 4yz + z^2}[/TEX]

p/s: Ngu tới mức khó hiểu !

[TEX]\sqrt{x^2 + 4xy + y^2}=\frac{\sqrt{2(x+y)^2+4xy}}{\sqrt{2}} \leq \frac{\sqrt{2(x+y)^2+(x+y)^2}}{\sqrt{2}}=\frac{ \sqrt{3} }{\sqrt{2}} (x+y)[/TEX]
[TEX]\sqrt{x^2 + 4xz + z^2}\leq \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}(x+z)[/TEX]
[TEX]\sqrt{y^2 + 4yz + z^2}\leq \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}(y+z)[/TEX]
cộng lại là ra