[Toán 8] Chuyên Đề Bất Đẳng Thức

[star_lucky_o0o]

*Nhận xét:(mí cái này lấy trong sách cả)
Mấu chốt của bài toán là nhìn ra 2 BĐT (a)(b).Việc chứng minh (b) tương đối đơn giản.Khi chứng minh (a),ta có thể chỉ ra được

[TEX]a^2-ab+b^2=(y+z)^2[/TEX]​

Vấn đề chủ yếu còn lại phải chứng minh​

a+b \leq 2(y+z) (*)​

Thông thường rất khó phát hiện ra (*).Dạng BĐT ra theo kiểu của bài toán này có một cách thường được sử dụgn là đặt thêm ẩn phụ c=y + z>0
Khi đó:[TEX]x+y+z=\frac{a+b+c}{2}\\x=\frac{a+b-c}{2}\\y=\frac{a+c-b}{2}\\z=\frac{b+c-a}{2}[/TEX]
Với gt của bài toán tương tự với:
[TEX](a+b-c)(a+b+c)=3(a+c-b)(b+c-a)\\\Leftrightarrow (a+b)^2-c^2=3[c^2-(a-b)^2]\\\Leftrightarrow c^2=a^2+b^2-ab\\\Rightarrow 4c^2=3(a-b)^2+(a+b)^2 \geq (a+b)^2[/TEX]
\Rightarrow 2c \geq a+b.Tức là (*) được chứng minh​

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Cho a, b, c là các số thực dương. C/m
[TEX]\sqrt{\frac{a+b}{c}} +\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq \sqrt{6.\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}}[/TEX]
đứa nào nghĩ ra bài này bái làm sư phụ)

 

[hoa_giot_tuyet]

Thử làm bài này nha!

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn x(x+y+z)=3yz,ta có:
​

​

[TEX](x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(y+z)(z+x) \leq 5(y+z)^3[/TEX]

(Câu V (1,0 đ) đề thi ĐH môn Toán khối A)​

Bài này đọc mà chậm hiểu quá, có cách khác nè
.................................................................................

[TEX]gt \Leftrightarrow x(x+y+z) + yz = 4yz \Leftrightarrow (x+y)(x+z) = 4yz[/TEX]
Áp dụng BĐT Bunhiacopki [TEX](x+y)(x+z) \geq (\sqrt{x}\sqrt{x} + \sqrt{y}\sqrt{z})^2 = (ớngqrt{yz})^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 4yz \geq (x+\sqrt{yz})^2 \Rightarrow x \leq \sqrt{yz}[/TEX]
Từ đây ta có
[TEX](x+y)^3 + (x+z)^2 \leq (\sqrt{yz} + y)^3 + \sqrt{yz}+z)^3 \\ = (\sqrt{y} + \sqrt{z})^3(y\sqrt{y} + z\sqrt{z}) \\ = (y+2\sqrt{yz} +z)^2(y-\sqrt{yz}+z)[/TEX]
Lại áp dụng Cô-si
[TEX](y+2\sqrt{yz} +z)^2(y-\sqrt{yz}+z) = \frac{1}{4}(y+2\sqrt{yz}+z)^2(4y-4\sqrt{yz} + 4z) \\ \leq \frac{1}{4}(\frac{2(y+2\sqrt{yz}+z) + (4y-4\sqrt{yz} + 4z)}{3})^3 = 2(y+z)^3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (x+y)^3 + (x+z)^3 \leq 2(y+z)^3[/TEX]
Mặt khác [TEX]3(x+y)(y+z)(z+x) = 12yz(y+z) \leq 3(y+z)^3[/TEX]
\Rightarrow đpcm

haizzz post lên mọi người tham kahỏ thôi
hình như đây là cách làm của 1 thủ khoa năm đó =))

đúng là phi thường )

 

[traitimbangtuyet]

lâu giờ mới ra đề ! mời các bạn thử sức nha
1) Chứng minh bất đẳng thức sau đây với x,y là các số thực bất kì khác 0:[TEX]\frac{x^2}{x^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3( \frac{x}{y}+\frac{y}{x})[/TEX]
...................(đề lọc học sinh giỏi toán quốc gia )
....................................BẢNG A

 

[hoa_giot_tuyet]

lâu giờ mới ra đề ! mời các bạn thử sức nha
1) Chứng minh bất đẳng thức sau đây với x,y là các số thực bất kì khác 0:[TEX]\frac{x^2}{x^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3( \frac{x}{y}+\frac{y}{x})[/TEX]
...................(đề lọc học sinh giỏi toán quốc gia )
....................................BẢNG A

Bài này mới làm bên kia mà )

Điều phải chứng minh [TEX]\Leftrightarrow \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} - 3(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + 4 \geq 0[/TEX]

Và

[TEX]\blue Dat: \frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=x \rightarrow \frac{a^2}{b^2}+ \frac{b^2}{a^2}=x^2-2 [/TEX]
Mà [TEX]\blue \frac{a^2}{b^2}+ \frac{b^2}{a^2} \geq 2( \rightarrow True) \rightarrow x^2-2 \geq 2[/TEX]
[TEX]\blue \rightarrow \left[x \geq 2(') \\ x \leq -2('')[/TEX]
[TEX]\blue BDT \leftrightarrow x^2-2-3x+4=(x-1)(x-2) \geq 0 \rightarrow[/TEX] luôn đúng theo (') và ('') [tex] \rightarrow dpcm[/tex]

 

[traitimbangtuyet]

Bài này mới làm bên kia mà )

Điều phải chứng minh [TEX]\Leftrightarrow \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} - 3(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + 4 \geq 0[/TEX]

Và

các bạn chưa đọc kĩ đề rồi họ nói chứng minh với x,y là một số thực mà ??? mà bài giải thì rất dài cậu ạ ! k ngắn đâu nha ________________h

Số thực thì có liên quan gì đến cách giải ấy đâu :-<

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

lâu giờ mới ra đề ! mời các bạn thử sức nha
1) Chứng minh bất đẳng thức sau đây với x,y là các số thực bất kì khác 0:[TEX]\frac{x^2}{x^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3( \frac{x}{y}+\frac{y}{x})[/TEX]
...................(đề lọc học sinh giỏi toán quốc gia )
....................................BẢNG A

)=))
bài này 2 cách
cách 1 xét x, y trái dấu với x, y cùng dấu
cách 2 biến đổi tương đương( quy đồng lên )

 

[star_lucky_o0o]

Thêm 1 bài thi ĐH nữa nha!
Bài này có vẻ dễ hơn!
______________________
Cho các số thực x,y thay đổi và thỏa mãn
[TEX](x+y)^3+4xy \geq 2[/TEX]
Tính gt nhỏ nhất của bt
[TEX]A=3(x^44+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1[/TEX]

(Câu V(1,0 đ)môn Toán khối B)​

​

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Thêm 1 bài thi ĐH nữa nha!
Bài này có vẻ dễ hơn!
______________________
Cho các số thực x,y thay đổi và thỏa mãn
[TEX](x+y)^3+4xy \geq 2[/TEX]
Tính gt nhỏ nhất của bt
[TEX]A=3(x^44+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1[/TEX]

(Câu V(1,0 đ)môn Toán khối B)​

[TEX](x+y)^3+4xy \geq 2 \Rightarrow (x+y)^3+(x+y)^2 \geq 2 \Rightarrow x+y \geq 1 \Rightarrow x^2+y^2 \geq \frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]A=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1 =3[(x^2+y^2)^2-x^2y^2]-2(x^2+y^2)+1 \\ \geq 3[(x^2+y^2)^2- \frac{(x^2+y^2)^2}{4}]-2(x^2+y^2)+1 = \frac{9}{4}(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1 \geq\frac{9}{16} [/TEX]

========================================================

 

[star_lucky_o0o]

Dấu"=" xảy ra khi [TEX]x=y=\frac{1}{2}[/TEX]
Bây giờ thì ok

 

[star_lucky_o0o]

Cho các số thực x,y thay đổi và thỏa mãn
[TEX](x+y)^3+4xy \geq 2[/TEX]
Tính gt nhỏ nhất của bt
[TEX]A=3(x^44+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1[/TEX]

(Câu V(1,0 đ)môn Toán khối B)​

Đáp án(nói chung bài này ~ của phantom_lady.vs.kaito_kid nhưng đầy đủ,dễ hiểu hơn)
Đặt S=x+y;P=xy;[TEX]t=x^2+y^2[/TEX]
Vì [TEX](x-y)^2 \geq 0[/TEX] nên [TEX](x+y)^2 \geq 4xy \Leftrightarrow S^2 \geq4P[/TEX]
Từ gt suy ra[TEX]S^3+S^2 \geq S^2 + 4P \geq 2[/TEX]
Do đó [TEX]S^3+S^2-2 \geq 0\\\Leftrightarrow (S-1)(S^2+2S+2) \geq 0\\\Leftrightarrow S \geq 1(S^2+2S+2>0)[/SIZE][/FONT] [FONT=Palatino Linotype][SIZE=3][/TEX]
Do đó [TEX]t=x^2+y^2=\frac{1}{2}[(x+y)^2+(x-y)^2] \geq \frac{1}{2}(x+y)^2\\=\frac{1}{2}S^2 \geq \frac{1}{2}[/TEX]
Do đó
[TEX]A=\frac{3}{4}[3(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2]-2(x^2+y^2)+1\\\geq \frac{9}{4}(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1\\=\frac{9}{4}t^2-2t+1\\=(\frac{3}{2}t-\frac{2}{3})^2+\frac{5}{9}[/TEX]
Vì [TEX]t \geq \frac{1}{2}[/TEX]nên
[TEX]\frac{3}{2}t-\frac{2}{3} \geq \frac{3}{2}.\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=\frac{1}{12}\\\Rightarrow A \geq \frac{1}{144}+\frac{5}{9}=\frac{9}{16}[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]x=y=\frac{1}{2}(t/m)[/TEX]
Vậy
[TEX]Min_A = \frac{9}{16}\\\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}[/TEX]
(*)Nhận xét:
Sau khi c/m được S \geq 1,dẫn đến t\geq1\2,thì có nhiều cách để biến đổi A nhưng biểu diễn
[TEX]x^4+y^4+x^2y^2=\frac{1}{4}[3(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2][/TEX]
là đơn giản hơn cả!

 

[traitimbangtuyet]

1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= max{a,b,c} - min{a,b,c} ; trong đó a,b,c là các số thực thoã mãn điều kiện :
[tex]a+b+c=a^3+b^3+c^3-3abc=2[/tex]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= max{a,b,c} - min{a,b,c} ; trong đó a,b,c là các số thực thoã mãn điều kiện :
[tex]a+b+c=a^3+b^3+c^3-3abc=2[/tex]

Giả sử [TEX]a \geq b \geq c \Rightarrow P=a-c[/TEX]
[tex]a+b+c=a^3+b^3+c^3-3abc=2 \Rightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=2[/tex]
Có [TEX]2=(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 \geq \frac{[(a-b)+(b-c)]^2}{2}+(a-c)^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a-c)^2 \leq \frac{4}{3} \Rightarrow P \leq \frac{2}{\sqrt{3}}[/TEX]

 

[linhhuyenvuong]

Cho các số dương x,y,z t/m [TEX] x+y+z \leq 1[/TEX]
CMR:
[TEX]\sqrt{ x^2+\frac{1}{x^2}}+ \sqrt{ y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{ z^2+\frac{1}{z^2}} \geq \sqrt{82}[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Cho các số dương x,y,z t/m [TEX] x+y+z=1[/TEX]
CMR:
[TEX]\sqrt{ x^2+\frac{1}{x^2}}+ \sqrt{ y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{ z^2+\frac{1}{z^2}} \geq \sqrt{82}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq \frac{9}{x+y+z} = 9[/TEX]
[TEX]\sqrt{ x^2+\frac{1}{x^2}}+ \sqrt{ y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{ z^2+\frac{1}{z^2}} \geq \sqrt{ (x+y)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2}+\sqrt{ z^2+\frac{1}{z^2}} \geq \sqrt{ (x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2} = \sqrt{82}[/TEX]

 

[linhhuyenvuong]

Giả sử a,b,c,d là 4 số nguyên thay đổi thỏa mãn:
[TEX] 1\leq a <b < c< d \leq50[/TEX]
Chứng minh BĐT:
[TEX]\frac{a}{b}+\frac{c}{d} \geq\frac{b^2+b+50}{50b}[/TEX]

Tìm Min: [TEX] S=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

IMO shortlist

CMR :
vơi dãy sỗ thực
[TEX]x_1 ; x_2 ; .... ; x_n \geq 1[/TEX]
Thì luôn t/m

[TEX]\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n} \leq \frac{n}{1 + \sqrt[n]{x_1.x_2.....x_n}}[/TEX]


lên google search đê !

 

[linhhuyenvuong]

Cho 2 số thực dương thay đổi x,y thỏa mãn [TEX] 3x+y \leq1[/TEX]
Tìm Min [TEX] A=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}} [/TEX]

 

[thienlong_cuong]

Cho 2 số thực dương thay đổi x,y thỏa mãn [TEX] 3x+y \leq1[/TEX]
Tìm Min [TEX] A=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}} [/TEX]

Em dạo ni nghỉ học chơi gunny nên *** lắm chị ạ ! Lỡ sai tỉ tỉ thông văn cảm chứ đừng cho em ăn cám văn heo nha

Ta có

[TEX]A = \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{xy}} \geq \frac{1}{x} + \frac{2}{x + y} = \frac{2}{2x} + \frac{2}{x + y} \geq \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{2})^2}{3x +y} \geq \frac{(2\sqrt{2})^2}{1} \geq 8 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow A_{min} = 8 \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{4}[/TEX]


có chia anh em thông cảm ! mai mồng 1-6 , em muốn đc bình an ăn tết !

 

[trydan]

Lâu lắm lắm rồi =((

và

Tìm Min

Rơi nhé