[Toán 12] Bất đẳng thức và cực trị hay

[quang1234554321]

Em cũng cho 1 bài
Cho a, b c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2}$$ \geq $$\frac{4}{a+b+c}$$

Dưới đây là lời giải của 1 người ở maths4vn.net

[TEX]\frac{a}{{b^2 + c^2 }} + \frac{b}{{c^2 + a^2 }} + \frac{c}{{a^2 + b^2 }} \ge \frac{4}{{a + b + c}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a+b+c)(\frac{a}{{b^2 + c^2 }} + \frac{b}{{c^2 + a^2 }} + \frac{c}{{a^2 + b^2 }}) \ge 4[/TEX]

áp dụng bcs ta có: [TEX](a+b+c)(\frac{a}{{b^2 + c^2 }} + \frac{b}{{c^2 + a^2 }} + \frac{c}{{a^2 + b^2 }}) \ge (\sum \sqrt{\frac{a^2}{b^2+c^2}})^2[/TEX]

vậy ta cần CM: [TEX]\sum \sqrt{\frac{a^2}{b^2+c^2}} \ge 2[/TEX] (!)

bdt này CM ko khó. Ta có: [TEX]\sqrt{\frac{b^2+c^2}{a^2}.1} \le \frac{1}{2}.(\frac{b^2+c^2}{a^2}+1)=\frac{a^2+b^2+c^2}{2a^2} \Rightarrow \sqrt{\frac{a^2}{b^2+c^2}} \ge \frac{2a^2}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]

Tuơng tự ta cũng có: [TEX]\sqrt{\frac{b^2}{c^2+a^2}} \ge \frac{2b^2}{a^2+b^2+c^2}[/TEX] và [TEX]\sqrt{\frac{c^2}{a^2+b^2}} \ge \frac{2c^2}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]

cộng từng vế với vế các bdt này ta có đc bdt (!) là đúng => đpcm

 

[quang1234554321]

Bài tiếp

Cho a,b,c > 0 . CM

[TEX]\frac{log_ab^2}{a+b} + \frac{log_bc^2}{b+c} + \frac{log_ca^2}{c+a} \geq \frac{9}{a+b+c}[/TEX]

 

[quang1234554321]

Tiếp tục bài nữa cho sôi nổi topic này :

CM với mọi số thực dương a,b,c,d ta luôn có :

[TEX] \sum \frac{a^3}{a^2+b^2} \geq \frac{a+b+c+d}{2}[/TEX]

 

[quang1234554321]

Bài tiếp

Cho a,b,c > 0 . CM

[TEX]\frac{log_ab^2}{a+b} + \frac{log_bc^2}{b+c} + \frac{log_ca^2}{c+a} \geq \frac{9}{a+b+c}[/TEX]

Gợi ý bài này chỉ Cauchy 2 cái là ra thôi

Tiếp tục bài nữa cho sôi nổi topic này :

CM với mọi số thực dương a,b,c,d ta luôn có :

[TEX] \sum \frac{a^3}{a^2+b^2} \geq \frac{a+b+c+d}{2}[/TEX]

Còn bài này sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu là ok thôi

Sao lại ko có ai là nhở . Không lẽ lại để mình ta độc diễn à )

 

[study_more_91]

Gợi ý bài này chỉ Cauchy 2 cái là ra thôi


Còn bài này sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu là ok thôi

Sao lại ko có ai là nhở . Không lẽ lại để mình ta độc diễn à )

Bài 1

[TEX]VT(a+b+c)=2[\sum \frac{log_ab}{a+b} ][a+b+c]=[\sum \frac{log_ab}{a+b}].[\sum a+b][/TEX]


[TEX]VT (a+b+c)\geq (\sum \sqrt{log_ab} )^2 \geq 3^2=9 ->VT \geq VP(dpcm)[/TEX]

Do [TEX]log_ab.log_bc.log_ca=1[/TEX]
Bài 2


[TEX]VT =\sum [a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}] \geq \sum [a-\frac{b}{2}]=\frac{a+b+c+d}{2}[/TEX]


( do [TEX]a^2+b^2 \geq 2ab[/TEX])

 

[quang1234554321]

Bài 1

[TEX]VT(a+b+c)=2[\sum \frac{log_ab}{a+b} ][a+b+c]=[\sum \frac{log_ab}{a+b}].[\sum a+b][/TEX]


[TEX]VT \geq (\sum \sqrt{log_ab} )^2 \geq 3^2=9 (dpcm)[/TEX]


Bài 2


[TEX]VT =\sum [a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}] \geq \sum [a-\frac{b}{2}]=\frac{a+b+c+d}{2}[/TEX]


( do [TEX]a^2+b^2 \geq 2ab[/TEX])

Bài 1 bạn nên viết rõ hơn cái chỗ ra dpcm để mọi người cùng hiểu .

Bài 2 bạn sử dụng kĩ thuật co-si ngược dấu ổn rồi .

2 bài làm khá tốt

 

[quang1234554321]

Tiếp tục là 1 BDT đơn giản nữa :

Với [TEX]x,y,z[/TEX] là các số thực dương có tích bằng 1 , CM BDT sau :

[TEX]\sum \frac{x^3}{(1+y)(1+z)} \geq \frac{3}{4} [/TEX]

 

[quocbao153]

$$1.\sum {\sqrt {x^2 + xy + y^2 } } \ge \sqrt 3 (x + y + z)$$ với $$x,y,z>0$$

2. Cho $$x\geq y\geq z\geq \frac {2\sqrt {xy}}{(11+3\sqrt {13})}$$
CMR bất đẳng thức sau đúng
$$\sum {\frac{1}{{\sqrt {x^2 + xy + y^2 } }}} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{x + y + z}}$$

3. Cho $$x,y,z$$ là các số thực ko âm. Chứng minh rằng:
$$\sum {x^4 (y + z) \le \frac{{(x + y + z)^5 }}{{12}}}$$
(Bài này của mathgeniuse trên mathlinks.ro)

 

[study_more_91]

Tiếp tục là 1 BDT đơn giản nữa :

Với [TEX]x,y,z[/TEX] là các số thực dương có tích bằng 1 , CM BDT sau :

[TEX] \sum \frac{x^3}{(1+y)(1+z)} \geq \frac{3}{4} [/TEX]

[TEX]\frac{x^3}{(1+y)(1+z)} +\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8} \geq \frac{3x}{4}[/TEX]
Làm 2 bdt tương tự rồi rút gọn ta được

[TEX]\sum \frac{x^3}{(1+y)(1+z)} \geq \frac{1}{2}(x+y+z) -\frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}[/TEX]



Tiện thể " thách đố " diễn đàn học mãi.vn 1 bài luôn
cho [TEX]x,y,z[/TEX] tùy ý
chứng minh
[TEX]\sum \frac{1}{x^2+xy+y^2} \geq \frac{9}{(x+y+z)^2}[/TEX]

 

[quang1234554321]

Tiện thể " thách đố " diễn đàn học mãi.vn 1 bài luôn
cho [TEX]x,y,z[/TEX] tùy ý
chứng minh
[TEX]\sum \frac{1}{x^2+xy+y^2} \geq \frac{9}{x+y+z}[/TEX]

2. Cho $$x\geq y\geq z\geq \frac {2\sqrt {xy}}{(11+3\sqrt {13})}$$
CMR bất đẳng thức sau đúng
$$\frac {1}{\sqrt {x^{2}+xy+y^{2}}}+\frac {1}{\sqrt {y^{2}+yz+z^{2}}}+\frac {1}{\sqrt {z^{2}+zx+x^{2}}}\geq \frac {3\sqrt{3}}{x+y+z}$$

2 bài trên có vẻ giống nhau nhỉ . Bạn ấy thách đố và anh Bảo cũng thách đố luôn hay sao mà lại cho bài tương tự thế vào
Chắc anh có KQ bài của anh rồi . Anh giải cho bạn ấy xem bài của bạn ấy luôn đi cho bạn ấy bỏ ngay cái chữ thách đố

 

[quang1234554321]

Tiện thể " thách đố " diễn đàn học mãi.vn 1 bài luôn
cho [TEX]x,y,z[/TEX] tùy ý
chứng minh
[TEX]\sum \frac{1}{x^2+xy+y^2} \geq \frac{9}{x+y+z}[/TEX]

try [TEX]x=y=z=1[/TEX]

[TEX]VT = 1[/TEX]

[TEX]VP = 3[/TEX]

Vậy BDT sai

 

[study_more_91]

2 bài trên có vẻ giống nhau nhỉ . Bạn ấy thách đố và anh Bảo cũng thách đố luôn hay sao mà lại cho bài tương tự thế vào
Chắc anh có KQ bài của anh rồi . Anh giải cho bạn ấy xem bài của bạn ấy luôn đi cho bạn ấy bỏ ngay cái chữ thách đố

Hai bài nội dung khác hẳn nhau
bài bạn vừa post của quocbao153 điều kiện xấu thật,mình ko nghĩ là nó đúng đề đâu

 

[study_more_91]

try [TEX]x=y=z=1[/TEX]

[TEX]VT = 1[/TEX]

[TEX]VP = 3[/TEX]

Vậy BDT sai

Đính chính lại đề rồi .

 

[quang1234554321]

$$1.\sum {\sqrt {x^2 + xy + y^2 } } \ge \sqrt 3 (x + y + z)$$ với $$x,y,z>0$$

[TEX]VT = \sum \sqrt{(x+\frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4}} [/TEX]

Áp dụng hệ quả của BDT [TEX]cauchy-schwarz[/TEX] :

[TEX]\sum \sqrt{(x+\frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4}} \geq \sqrt{ (x+ \frac{y}{2} + y+ \frac{z}{2}+z+\frac{x}{2})^2 + \frac{3}{4}(x+y+z)^2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT \geq \sqrt{ \frac{12}{4}(x+y+z)^2} = \sqrt{3}(x+y+z)[/TEX]

[TEX]Have done [/TEX]

 

[study_more_91]

[TEX]VT = \sum \sqrt{(x+\frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4}} [/TEX]

Áp dụng hệ quả của BDT [TEX]cauchy-schwarz[/TEX] :

[TEX]\sum \sqrt{(x+\frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4}} \geq \sqrt{ (x+ \frac{y}{2} + y+ \frac{z}{2}+z+\frac{x}{2})^2 + \frac{3}{4}(x+y+z)^2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT \geq \sqrt{ \frac{12}{4}(x+y+z)^2} = \sqrt{3}(x+y+z)[/TEX]

[TEX]Have done [/TEX]

chả biết bạn lấy đề chỗ nào nhỉ, mình ko thấy đâu
Với cái đề thế kia thì làm thế này sẽ nhanh và đẹp hơn

[TEX]\sqrt{x^2+xy+y^2} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)[/TEX]
làm tương tự rồi cộng lại ra dpcm

 

[quang1234554321]

chả biết bạn lấy đề chỗ nào nhỉ, mình ko thấy đâu
Với cái đề thế kia thì làm thế này sẽ nhanh và đẹp hơn

[TEX]\sqrt{x^2+xy+y^2} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)[/TEX]
làm tương tự rồi cộng lại ra dpcm

Cái đó là hệ quả của [TEX] cauchy_schwarz [/TEX] thôi . Một người học BDT cần phải biết BDT đó

 

[study_more_91]

Cái đó là hệ quả của [TEX] cauchy_schwarz [/TEX] thôi . Một người học BDT cần phải biết BDT đó

Bạn ko hiểu ý mình rồi
+)

chả biết bạn lấy đề chỗ nào nhỉ, mình ko thấy đâu

cái này là mình ko hiểu bạn trích dẫn đề bài của thành viên quocbao153 từ đâu,có lẽ từ những trang trường mà mình ko để ý chứ ko phải mình ko hiểu bạn làm như thế nào

+)

Cái đó là hệ quả của cauchy_schwarz thôi . Một người học BDT cần phải biết BDT đó

ko phải mình ko hiểu cách làm của bạn
hệ quả đó tên là BDT min copski, để cm ta chỉ cần khai triển ra sẽ đc bdt bunhia
Còn cách làm của bạn có phải có dài và phức tạp ko?
hãy thử so sánh với cách của mình, ko một bdt phụ?chỉ học sinh học cơ bản cũng hiểu đc

 

[vodichhocmai]

Tiếp tục bài nữa cho sôi nổi topic này :

CM với mọi số thực dương a,b,c,d ta luôn có :

[TEX]T= \sum \frac{a^3}{a^2+b^2} \geq \frac{a+b+c+d}{2}[/TEX]

[TEX]T=\sum_{cyclic}\frac{a^3}{a^2+b^2}=\sum_{cyclic}$a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}$ [/TEX]
Theo [TEX]AM-GM[/TEX] thì .
[TEX]T\ge\sum_{cyclic}$a-\frac{ab^2}{2ab}$ [/TEX]
[TEX]\righ T\ge \sum_{cyclic}$a-\frac{b}{2}$[/TEX]
[TEX]\righ T\ge \frac{1}{2} \sum_{cyclic} a\ \(dpcm)[/TEX]

 

[quang1234554321]

Anh bảo xem lại cái đề nhé

nhầm.........................................................................

 

[vodichhocmai]

Cho [TEX]a,b,c>0\ CMR:\ \ \sum_{cyclic}\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}[/TEX]