[Toán 12] Bất đẳng thức và cực trị hay

Q

quang1234554321

tiếp ^^!.
Gọi a là số nhỏ nhất trong sáu số
[TEX]\blue x ;\frac yz ;\frac zt ; \frac 1y ; \frac 1x ;t[/TEX]
tìm giá trị lớn nhất của a.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Đề bài có vấn đề . Em bổ sung thêm ĐK là các số đều dương có được ko .
Nếu thế , ta thấy :

Chỉ có [TEX]x[/TEX] và [TEX]\frac{1}{x}[/TEX] là liên quan đến yêu cầu bài toán

[TEX]x[/TEX] lớn nhất thì [TEX] \frac{1}{x} [/TEX] nhỏ nhất và ngược lại
 
Q

quang1234554321

bài tiếp

Cho 3 số thực dương [TEX]x , y , z [/TEX]. CMR :

[TEX](1+ \frac{x}{y}) ( 1+ \frac{y}{z})(1+\frac{z}{x}) \geq 2(1+ \frac{x+y+z}{ \sqrt[3]{xyz} })[/TEX]
 
V

vodichhocmai

Cho bất đẳng [TEX]a^2+a_1^2+a_2^2+...a_n^2\ge a.\(a_1+a_2+...a_n)[/TEX]
Tìm [TEX]n\in Z^+[/TEX] để bất đẳng thức đúng .
 
Last edited by a moderator:
Q

quang1234554321

vodichhocmai said:
Cho bất đẳng [TEX]a^2+a_1^2+a_2^2+...a_n^2\ge a.\(a_1+a_2+...a_n)[/TEX] với [TEX]a_1,a_2,.a_n>0[/TEX]
Tìm [TEX]n\in Z^+[/TEX] để bất đẳng thức đúng .
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Làm theo pp đi ngược từ KQ đi lên :

Nhận thấy với [TEX]n=4[/TEX] ta có BDT đúng .

CM :

Với các số dương [TEX]a , a_1 ,a_2, a_3,a_4[/TEX] Ta có các BĐT sau :

[TEX](a_1 - \frac{a}{2})^2> 0\Rightarrow a^2_1 + \frac{a^2}{4} \geq aa_1[/TEX]

Tương tự , ta có :

[TEX]a^2_2 + \frac{a^2}{4} \geq aa_2 [/TEX]

[TEX]a^2_3 + \frac{a^3}{4} \geq aa_3 [/TEX]

[TEX]a^2_4 + \frac{a^4}{4} \geq aa_4 [/TEX]

Cộng theo vế ta được : [TEX]a^2 + a^2_1+a^2_2+a^2_3 + a^2_4 \geq a(a_1+a_2+a_3+a_4 )[/TEX]

Vậy với [TEX]n=4[/TEX] ta có BDT đúng :D
 
Last edited by a moderator:
V

vodichhocmai

quang1234554321 said:
Làm theo pp đi ngược từ KQ đi lên :

Nhận thấy với [TEX]n=4[/TEX] ta có BDT đúng .

CM :

Với các số dương [TEX]a , a_1 ,a_2, a_3,a_4[/TEX] Ta có các BĐT sau :

[TEX](a_1 - \frac{a}{2})^2> 0\Rightarrow a^2_1 + \frac{a^2}{4} \geq aa_1[/TEX]

Tương tự , ta có :

[TEX]a^2_2 + \frac{a^2}{4} \geq aa_2 [/TEX]

[TEX]a^2_3 + \frac{a^3}{4} \geq aa_3 [/TEX]

[TEX]a^2_4 + \frac{a^4}{4} \geq aa_4 [/TEX]

Cộng theo vế ta được : [TEX]a^2 + a^2_1+a^2_2+a^2_3 + a^2_4 \geq a(a_1+a_2+a_3+a_4 )[/TEX]

Vậy với [TEX]n=4[/TEX] ta có BDT đúng :D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] cho 2 số dương ta được.
[TEX]a^2+\(a_1^2+a_2^2+......+a_n^2\)\ge 2|a|\sqrt{a_1^2+a_2^2+....+a_n^2}(1)[/TEX]
Theo [TEX]Bunhiacopxki[/TEX] ta có .
[TEX]\frac{a_1+a_2+...a_n}{\sqrt{n}}\le \sqrt{a_1^2+a_2^2+....+a_n^2}(2)[/TEX]
Từ [TEX](1)&(2)\Rightarrow a^2+\(a_1^2+a_2^2+......+a_n^2\)\ge 2|a|\(\frac{a_1+a_2+...a_n}{\sqrt{n}}\)\ge 2a\(\frac{a_1+a_2+...a_n}{\sqrt{n}}\)[/TEX]
Vậy để thỏa [TEX]ycbt\Rightarrow n= 4[/TEX]
[TEX]\Rightarrow Max n=4[/TEX] đây là n tốt nhất
 
Last edited by a moderator:
M

mcdat

boybuidoi147 said:
VT biến đổi được >= 8
VP ta có [TEX] \frac{x+y+z}{ \sqrt[3]{xyz} })[/TEX] =< 3
==> VP =< 8
==> dpcm :D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

bài này làm sai rồi nè. VP cũng \geq 8


Đây là bài APMO 1998. Lời giải của nó mọi người có thể tham khảo trong TOÁN HỌC & TUỔI TRẺ - tháng 12 - 2008 tức số 378. ( Thí dụ 4 - Trang 12 )
:)&gt;-:)&gt;-.
 
Last edited by a moderator:
C

ctsp_a1k40sp

mcdat said:


bài này làm sai rồi nè. VP cũng \geq 8


Đây là bài APMO 1998. Lời giải của nó mọi người có thể tham khảo trong TOÁN HỌC & TUỔI TRẺ - tháng 12 - 2008 tức số 378. ( Thí dụ 4 - Trang 12 )
:)&gt;-:)&gt;-.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

sao em ko gõ luôn lời giải ? Cho người ko có báo cũng xem đc:)
Lời giải này ko biết có trùng trên báo ko nhỉ
[TEX](1+\frac{a}{b} )(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-1[/TEX]
Mà [TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 3\frac{(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}[/TEX]
Mặt khác [TEX]\frac{(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}\geq 3[/TEX]
Từ đó ta có
[TEX](1+\frac{a}{b} )(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a} ) \geq 2(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc} })[/TEX]
 
V

vodichhocmai

quang1234554321 said:
bài tiếp

Cho 3 số thực dương [TEX]x , y , z [/TEX]. CMR :

[TEX](1+ \frac{x}{y}) ( 1+ \frac{y}{z})(1+\frac{z}{x}) \geq 2(1+ \frac{x+y+z}{ \sqrt[3]{xyz} })[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Ta có:
[TEX]A=\(1+\frac{x}{y}\)\(1+\frac{y}{z}\)\(1+\frac{z}{x}\)=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}[/TEX]
[TEX]=2+\(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}\)+\(\frac{y}{x}+\frac{y}{z}\)+\(\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\)[/TEX]
[TEX]=\(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{x}{x}\)+\(\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{y}{y}\)+\(\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{z}{z}\)-1[/TEX]
[TEX]\geq 3\(\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xyz}}\)-1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A\ge 2\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}-1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A\ge 2\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}+2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A\ge 2\(1+\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\)(dpcm)[/TEX]
__________________________
khanhsy
 
M

mcdat

Cả 2 lời giải của ctsp_a1k40sp & vodichhocmai đều hay. Thực ra tác giả bài viết lấy bài BĐT kia là để minh hoạ cho 1 bổ đề của mình. Về bản chất thì cả 3 lời giải đều có những nét giống nhau
 
Q

quang1234554321

Bài tiếp :

Cho [TEX]x , y,z[/TEX] là 3 số thực dương thay đổi . Tìm [TEX]GTNN[/TEX] của biểu thưc :

[TEX]P=x( \frac{x}{2}+ \frac{1}{yz}) + y( \frac{y}{2}+ \frac{1}{zx}) + z( \frac{z}{2}+ \frac{1}{xy}) [/TEX]
 
C

ctsp_a1k40sp

quang1234554321 said:
Bài tiếp :

Cho [TEX]x , y,z[/TEX] là 3 số thực dương thay đổi . Tìm [TEX]GTNN[/TEX] của biểu thưc :

[TEX]P=x( \frac{x}{2}+ \frac{1}{yz}) + y( \frac{y}{2}+ \frac{1}{zx}) + z( \frac{z}{2}+ \frac{1}{xy}) [/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

viết lại
[TEX]P=(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{2}+\frac{1}{2xyz}+\frac{1}{2xyz}) [/TEX]
[TEX]P \geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.3\sqrt[3]{\frac{1}{8x^2y^2z^2}=\frac{9}{2}[/TEX]
 
Q

quang1234554321

Tiếp :D

1.Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là 3 số thực dương bất kì . CMR :

[TEX](1+a^3)(1+b^3)(1+c^3) \geq (1+ab^2)(1+bc^2)(1+ca^2)[/TEX]

2. Cho [TEX]a,b,c,d [/TEX] là 4 số dương thoả mãn ĐK:

[TEX]\frac{1}{a+1} +\frac{1}{b+1} +\frac{1}{c+1} +\frac{1}{d+1} \geq 3[/TEX]

CMR : [TEX] 81abcd-1 \leq 0[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
V

vodichhocmai

quang1234554321 said:
Tiếp :D

1.Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là 3 số thực dương bất kì . CMR :

[TEX](1+a^3)(1+b^2)(1+c^3) \geq (a+ab^2)(a+bc^2)(1+ca^2)[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Giải theo cách có công mài [TEX]Fe[/TEX] . Ta có
[TEX]\prod_{}^{a,b,c}\(1+a^3\)=1+\sum_{cyc} a^3+\sum_{cyc} a^3b^3+a^3b^3c^3[/TEX]
[TEX]\prod_{}^{a,b,c}\(1+ab^2\)=1+\sum_{cyc} ab^2+\sum_{cyc}a^3b^2c+a^3b^3c^3[/TEX]
[TEX](ycbt)\Leftrightarrow \sum_{cyc} a^3+\sum_{cyc} a^3b^3\ge\sum_{cyc} \(ab^2\)+a^3b^2c+ab^3c^2+a^2bc^3 [/TEX]
Áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] ta có .
[TEX]a^3+b^3+b^3\ge 3ab^2[/TEX]
[TEX]b^3+c^3+c^3\ge 3bc^2[/TEX]
[TEX]c^3+a^3+a^3\ge 3ca^2[/TEX]
_____________________
Cộng vế theo vế và được chia cho 3 ta được . [TEX]\sum_{cyc} a^3\ge\sum_{cyc} ab^2(1)[/TEX]
Áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] ta có .
[TEX]a^3b^3^3+b^3c^3+b^3c^3\ge 3ab^3c^c[/TEX]
[TEX]b^3c^3+a^3c^3+a^3c^3\ge 3a^2bc^3[/TEX]
[TEX]c^3a^3+a^3b^3+a^3b^3\ge 3a^3b^2c[/TEX]
_____________________
Cộng vế theo vế và được chia cho 3 ta được . [TEX]\sum_{cyc} a^3b^3\ge a^3b^2c+ab^3c^2+a^2bc^3(2)[/TEX]
[TEX](1)&(2)\Rightarrow[/TEX] bất đẳng thức đả cho là đúng.
từ [TEX](2)[/TEX] có thể dùng [TEX]Murhaid[/TEX] thấy ngay cặp [TEX](3,3,0)[/TEX] trội hơn cặp [TEX](3,2,1)[/TEX] suy ra
 
Last edited by a moderator:
V

vodichhocmai

quang1234554321 said:
2. Cho [TEX]a,b,c,d [/TEX] là 4 số dương thoả mãn ĐK:

[TEX]\frac{1}{a+1} +\frac{1}{b+1} +\frac{1}{c+1} +\frac{1}{d+1} \geq 3[/TEX]

CMR : [TEX] 81abcd-1 \leq 0[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Bài toán viết lại. [TEX]\frac{1}{a+1}\ge\sum_{cyc}^{b,c,d}\frac{b}{b+1}[/TEX]
Áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] cho 3 số dương .
[TEX]\frac{1}{a+1}\ge\sum_{cyc}^{b,c,d}\frac{b}{b+1}\ge 3\sqrt{\frac{bcd}{(b+1)(c+1)(d+1)}[/TEX]
Tương tự ta có.
[TEX]\frac{1}{b+1}\ge\sum_{cyc}^{a,c,d}\frac{a}{a+1}\ge 3\sqrt{\frac{acd}{(a+1)(c+1)(d+1)}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{c+1}\ge\sum_{cyc}^{a,b,d}\frac{a}{a+1}\ge 3\sqrt{\frac{abd}{(a+1)(b+1)(d+1)}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{d+1}\ge\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{a}{a+1}\ge 3\sqrt{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}[/TEX]
___________________
Nhấn vế theo vế ta được.
[TEX]\frac{1}{\prod^{a,b,c,d}(a+1)}\ge 81\frac{\prod^{a,b,c,d}a}{\prod^{a,b,c,d}(a+1)}[/TEX]
Hay [TEX]81abcd-1\le 0(dpcm)[/TEX]
 
C

ctsp_a1k40sp

vodichhocmai said:
Giải theo cách có công mài [TEX]Fe[/TEX] . Ta có
[TEX]\prod_{}^{a,b,c}\(1+a^3\)=1+\sum_{cyc} a^3+\sum_{cyc} a^3b^3+a^3b^3c^3[/TEX]
[TEX]\prod_{}^{a,b,c}\(1+ab^2\)=1+\sum_{cyc} ab^2+\sum_{cyc}a^3b^2c+a^3b^3c^3[/TEX]
[TEX](ycbt)\Leftrightarrow \sum_{cyc} a^3+\sum_{cyc} a^3b^3\ge\sum_{cyc} \(ab^2\)+a^3b^2c+ab^3c^2+a^2bc^3 [/TEX]
Áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] ta có .
[TEX]a^3+b^3+b^3\ge 3ab^2[/TEX]
[TEX]b^3+c^3+c^3\ge 3bc^2[/TEX]
[TEX]c^3+a^3+a^3\ge 3ca^2[/TEX]
_____________________
Cộng vế theo vế và được chia cho 3 ta được . [TEX]\sum_{cyc} a^3\ge\sum_{cyc} ab^2(1)[/TEX]
Áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] ta có .
[TEX]a^3b^3^3+b^3c^3+b^3c^3\ge 3ab^3c^c[/TEX]
[TEX]b^3c^3+a^3c^3+a^3c^3\ge 3a^2bc^3[/TEX]
[TEX]c^3a^3+a^3b^3+a^3b^3\ge 3a^3b^2c[/TEX]
_____________________
Cộng vế theo vế và được chia cho 3 ta được . [TEX]\sum_{cyc} a^3b^3\ge a^3b^2c+ab^3c^2+a^2bc^3(2)[/TEX]
[TEX](1)&(2)\Rightarrow[/TEX] bất đẳng thức đả cho là đúng.
từ [TEX](2)[/TEX] có thể dùng [TEX]Murhaid[/TEX] thấy ngay cặp [TEX](3,3,0)[/TEX] trội hơn cặp [TEX](3,2,1)[/TEX] suy ra
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


Theo bdt Holder ta có
[TEX](1+a^3)(1+b^3)(1+b^3) \geq (1+ab^2)^3[/TEX]
tương tự với 2bdt còn lại ...
=> dpcm
 
V

vanhophb

cm bài này bằng cách dùng AM-GM cái mấy anh chị
[TEX](1+\frac{1}{sinA})(1+\frac{1}{sinB})(1+\frac{1}{sinC})\geq(1+\frac{2}{\sqrt[]{3}})^3[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
V

vodichhocmai

vanhophb said:
cm bài này bằng cách dùng AM-GM cái mấy anh chị
[TEX](1+\frac{1}{sinA})(1+\frac{1}{sinB})(1+\frac{1}{sinC})\geq(1+\frac{2}{\sqrt[]{3}})^3[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Để giải bài nầy ta đi chứng 2 minh bổ đề sau.
Bổ đề 1.
[TEX](1+a)(1+b)(1+c)\ge \(1+\sqrt[3]{abc}\)[/TEX] thật vậy.
[TEX](1+a)(1+b)(1+c)=1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc[/TEX]
Áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] cho 3 số dương ta được.
[TEX]a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}[/TEX]
[TEX]ab+bc+ca\ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}[/TEX]
Do đó.
[TEX](1+a)(1+b)(1+c)\ge 1+3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}abc[/TEX]
[TEX][TEX][/TEX](1+a)(1+b)(1+c)\ge \(1+\sqrt[3]{abc}\)^3[/TEX]
Bổ đề 2.
[TEX]sinA.sinB.sinC\le \frac{3\sqrt{3}}{8}[/TEX] (rất dễ bạn tự cm)
[TEX]\Rightarrow\frac{1}{sinA.sinB.sinC}\ge\frac{8}{3 \sqrt{3}}[/TEX]
Từ 2 bổ đề trên ta có [TEX]dpcm[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom