[Toán 12] Bất đẳng thức và cực trị hay

[ctsp_a1k40sp]

Đề thi thử đại học lần I năm 2008

Bài 1
Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX].Chứng minh bất đẳng thức
[TEX](\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2 \geq \frac{3}{2}(\sum \frac{a+b}{c})[/TEX]
Bài 2
Cho [TEX]a,b,c[/TEX] thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX].Chứng minh
[TEX]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} +3 \geq 2(a+b+c)[/TEX]

@Tuấn Anh check lại đề câu 1 đi.
@Oh, chả hiểu sao hôm qua gõ nhầm

 

[potter.2008]

Làm thử bài này nha mọi người .

Chứng minh trong mọi tam giác ABC với các cạnh a,b,c ta luôn có :

[tex]\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \leq 2 [/tex]

Hãy chứng tỏ trong vế phải của BĐT trên không thể thay số 2 bằng bất kì số nào nhỏ hơn

2.

 

[boybuidoi147]

Bài 1
Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX].Chứng minh bất đẳng thức
[TEX](\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2 \geq \frac{3}{2}[/TEX]

[tex] \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} >= \frac{3}{2}.\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}} <=> \frac{a^2c + b^2a + c^2b}{abc} >= \frac{3abc}{2(a^2c + ab^2 + c^2b)} <=> \frac{(3abc)^2}{abc} >= \frac{3abc}{2} ==> dpcm[/tex]

@<br/> là cái gì thế nhỉ ?

 

[ctsp_a1k40sp]

Làm thử bài này nha mọi người .

Chứng minh trong mọi tam giác ABC với các cạnh a,b,c ta luôn có :

[tex]\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \leq 2 [/tex]

Hãy chứng tỏ trong vế phải của BĐT trên không thể thay số 2 bằng bất kì số nào nhỏ hơn

2.

ko có dấu = Hùng à
[TEX]\frac{a}{b+c} < \frac{2a}{a+b+c}[/TEX]
làm tương tự 2 bdt còn lại suy ra dpcm
CÒN chứng minh 2 là hằng số tốt nhất thì có thể giả sử tồn tại k<2 sao cho
[TEX] \sum \frac{a}{b+c}<k[/TEX]
Để chứng minh vô lý ta chỉ cần chỉ ra [TEX]a,b,c[/TEX] thỏa mãn[TEX] \sum \frac{a}{b+c}=k[/TEX]
cho [TEX]a=c[/TEX], vế trái còn lại 2 biến
nhân lên ra tam thức bậc 2 chứng minh nó luôn có nghiệm với [TEX]k <2[/TEX]

 

[potter.2008]

ko có dấu = Hùng à
[TEX]\frac{a}{b+c} < \frac{2a}{a+b+c}[/TEX]
làm tương tự 2 bdt còn lại suy ra dpcm
CÒN chứng minh 2 là hằng số tốt nhất thì có thể giả sử tồn tại k<2 sao cho
[TEX] \sum \frac{a}{b+c}<k[/TEX]
Để chứng minh vô lý ta chỉ cần chỉ ra [TEX]a,b,c[/TEX] thỏa mãn[TEX] \sum \frac{a}{b+c}=k[/TEX]
cho [TEX]a=c[/TEX], vế trái còn lại 2 biến
nhân lên ra tam thức bậc 2 chứng minh nó luôn có nghiệm với [TEX]k <2[/TEX]

@ctsp_a1k40sp : uhm, lúc sáng tớ gõ nhầm ^^! ...

còn cái ý b : cậu làm rõ dùm cái , tớ thấy cách này chưa ổn lắm ..tớ làm cách khác dài hơn

 

[vodichhocmai]

Làm thử bài này nha mọi người .

Chứng minh trong mọi tam giác ABC với các cạnh a,b,c ta luôn có :

[tex]\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \leq 2 [/tex]

Hãy chứng tỏ trong vế phải của BĐT trên không thể thay số 2 bằng bất kì số nào nhỏ hơn .

Đặt [TEX]x=\frac{a}{b+c}\Rightarrow\left{0<x<1\\a=x(b+c)[/TEX]
[TEX] \Rightarrow a>xa\Rightarrow x<\frac{2a}{a+b+c[/TEX]
[TEX] \Rightarrow A=\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{a}{b+c}<\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{2a}{a+b+c}=2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A< 2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A\le 2[/TEX]
Vì [TEX]A[/TEX] vét hết giá trị đến [TEX]2[/TEX] nên không thể thay số nào nhỏ hơn [TEX]2[/TEX]

 

[ctsp_a1k40sp]

@ctsp_a1k40sp : uhm, lúc sáng tớ gõ nhầm ^^! ...

còn cái ý b : cậu làm rõ dùm cái , tớ thấy cách này chưa ổn lắm ..tớ làm cách khác dài hơn

đó là hướng thế thôi chứ tớ chưa làm thử
Mà thôi có thể làm ngắn gọn thế này
cho a=b=t, c=const
cho t tiến tới dương vô cùng
rõ ràng [TEX]a,b,c[/TEX] vẫn thỏa mãn là 3 cạnh tam giác
và [TEX]\sum \frac{a}{b+c}[/TEX] tiến tới [TEX]2-[/TEX]
do đó[TEX] k \geq 2[/TEX]
kết hợp với bdt chứng minh [TEX]k=2[/TEX] đúng nên [TEX]k=2[/TEX]

 

[boybuidoi147]

Bài 1
Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX].Chứng minh bất đẳng thức
[TEX](\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2 \geq \frac{3}{2}(\sum \frac{a+b}{c})[/TEX]

Bài 1 là sao em không hiểu gì hết cái phần mở ngoặc cuối cùng á
là tính tổng của [tex]\frac{a+b}{c}[/tex] àh ?
xem bài em làm được không sai nữa ==> nãn

 

[ctsp_a1k40sp]

Bài 1 là sao em không hiểu gì hết cái phần mở ngoặc cuối cùng á
là tính tổng của \frac{a+b}{c} àh ?
xem bài em làm được không sai nữa ==> nãn

ý anh là kí hiệu tổng đối xứng
ví dụ [tex]\sum a=a+b+c [/tex]
nếu đề bài chỉ có 3/2 ở vế phải thì em cô si luôn 3 số vế trái còn ra được bdt mạnh hơn kia

 

[quang1234554321]

Bài 2
Cho [TEX]a,b,c[/TEX] thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX].Chứng minh
[TEX]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} +3 \geq 2(a+b+c)[/TEX]

Do abc =1 nên phải có 2 số trong chúng cung lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1 . Giả sử đó là a , b
Mặt khác

Từ [TEX]abc=1 \Rightarrow c = \frac{1}{ab} [/TEX] và [TEX] ab = \frac{1}{c} [/TEX] .


[TEX] \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} +3 \geq 2(a+b+c)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-2c + \frac{1}{c^2} -2a-2b+3 \geq 0 [/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow [\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} - \frac{2}{ab}] + [(ab)^2 - 2ab + 1 ]+ 2ab - 2a-2b+2 \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (\frac{1}{a}- \frac{1}{b})^2 + (ab-1)^2 +2(a-1)(b-1) \geq 0[/TEX]

Bất đẳng thức trên đúng . Vậy ta có đpcm

 

[quang1234554321]

Bài 1
Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX].Chứng minh bất đẳng thức
[TEX](\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2 \geq \frac{3}{2}(\sum \frac{a+b}{c})[/TEX][/COLOR]

Bài này đã có lời giải và lời giải dưới đây

đpcm[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+[/TEX]
[TEX]\frac{a}{2c}+\frac{b}{2a}+\frac{c}{2b}\geq \frac{3}{2}(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b})[/TEX]

Ta có [TEX]\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{b^2}+\frac{b}{a}\geq 3\frac{a}{b}[/TEX]
tương tự...

@ ctsp_a1 : ông biết có lời giải rồi còn cho vào đây làm gì thế

 

[mcdat]

Bài này tuy không phải là BĐT hay cực trị nhưng cũng có dấu lớn hơn hoặc bằng.
Mọi người thử chơi nha

[TEX]GBPT: \ \sqrt{1-\sqrt{2x-x^2}} + \sqrt{1+\sqrt{2x-x^2}} \geq 2(x-1)^4(2x^2-4x+1)[/TEX]

 

[giangln.thanglong11a6]

Bài 1
Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX].Chứng minh bất đẳng thức
[TEX](\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2 \geq \frac{3}{2}(\sum \frac{a+b}{c})[/TEX]

Đặt [TEX]\frac ab=x, \frac bc=y, \frac ca=z[/TEX] ta có x, y, z>0 và [TEX]xyz=1[/TEX].

BĐT [TEX]\Leftrightarrow (x+y+z)^2 \geq \frac32 (x+y+z+\frac1x+\frac1y+\frac1z)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x+y+z)^2 \geq \frac32 (x+y+z+xy+yz+zx)[/TEX]

Ta có [TEX]\frac12 (x+y+z)^2 \geq \frac32(xy+yz+zx)[/TEX] cái này ai cũng biết rồi.

Mà [TEX]x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}=3 \Leftrightarrow \frac12 (x+y+z)^2 \geq \frac32 (x+y+z)[/TEX]

Cộng theo vế 2 BĐT trên suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi x=y=z \Leftrightarrow a=b=c.

PS: Ớ, hoá ra Minh giải bài này rồi à?

 

[boybuidoi147]

Em cũng cho 1 bài
Cho a, b c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2}[/tex] \geq [tex]\frac{4}{a+b+c}[/tex]

 

[quang1234554321]

Chú ý bài khó

Cho 6 số thực không âm [TEX]a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3[/TEX]. Chứng minh:

[TEX] ( \sqrt{a_1a_2} + \sqrt{a_2a_3} + \sqrt{a_1a_3})^2 + ( \sqrt{b_1b_2} + \sqrt{b_2b_3} + \sqrt{b_1b_3})^2 \leq (\sqrt{(a_1+a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2} + \sqrt{a_{3}^2+b_{3}^2})^2[/TEX]

 

[trung0123]

Làm thử bài này nha mọi người .

Chứng minh trong mọi tam giác ABC với các cạnh a,b,c ta luôn có :

[tex]\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \leq 2 [/tex]

Hãy chứng tỏ trong vế phải của BĐT trên không thể thay số 2 bằng bất kì số nào nhỏ hơn

2.

[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}[/TEX]\\geq[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]
em chỉ là được thế này thôi

 

[e_galois]

TÌm Min của [TEX]\sqrt {(x + 1)^2 + (y - 1)^2 } + \sqrt {(x + 1)^2 + (y + 1)^2 } + \sqrt {(x + 2)^2 + (y + 2)^2 } [/TEX]

Thêm 1 bài nữa: Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn: a+b+c=3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [TEX]S = \sum {\frac{a}{{a + b^2 }}} [/TEX]

 

[nguyenminh44]

Chú ý bài khó

Cho 6 số thực không âm [TEX]a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3[/TEX]. Chứng minh:

[TEX] ( \sqrt{a_1a_2} + \sqrt{a_2a_3} + \sqrt{a_1a_3})^2 + ( \sqrt{b_1b_2} + \sqrt{b_2b_3} + \sqrt{b_1b_3})^2 \leq (\sqrt{(a_1+a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2} + \sqrt{a_{3}^2+b_{3}^2})^2[/TEX]

Bài này thì có gì mà khó cứ Bunhia áp dụng là ok mà

[TEX]VT \leq (a_1+a_2+a_3)^2+(b_1+b_2+b_3)^2[/TEX]

Mặt khác [TEX]\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} \geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}[/TEX]

Áp dụng luôn với vế phải ta suy ngay ra điều phải chứng minh

@ Bài này hình như hồi trước chú post ở bên bài toán hay rồi. Mà hình như không ai chịu làm )

 

[mcdat]

TÌm Min của [TEX]S=\sqrt {(x + 1)^2 + (y - 1)^2 } + \sqrt {(x + 1)^2 + (y + 1)^2 } + \sqrt {(x + 2)^2 + (y + 2)^2 } [/TEX]

Bài này dùng pp toạ độ phải không

Trong mp, xét hệ trục [TEX]Oxy[/TEX] với [TEX]M(x;y); \ A(-1;1); \ B(-1; -1); \ C(-2;-2) [/TEX]

Từ đó dễ thấy [TEX]S = MA+MB+MC[/TEX]

Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm AB, MC, IJ thì dễ thấy
[TEX]I(-1;0); \ J(\frac{x-2}{2};\frac{y-2}{2}); \ K(\frac{x-4}{4};\frac{y-2}{4}) \\ \Rightarrow \vec{IJ} = (\frac{x}{2};\frac{y-2}{2}); \ \vec{MK} = (\frac{3x+4}{4};\frac{3y+2}{4}) . \ Ta \ co^{'}:[/TEX]

[TEX]S=MA+MB + MC \geq |\vec{MA}+\vec{MB}| + 2MJ = 2|\vec{MI}|+2|\vec{MJ}| \geq 2|\vec{MI}+\vec{MJ}| = 2|\vec{MK}|[/TEX]

[TEX]S min \ \Leftrightarrow MK min \Leftrightarrow MK \perp \ IJ \\ \Leftrightarrow \vec{IJ}.\vec{MK} = 0 \Leftrightarrow x(3x+4)+(y-2)(3y+2)=0 \Leftrightarrow (x+\frac{2}{3})^2 + (y-\frac{2}{3})^2 = \frac{20}{9} [/TEX] (*)
Vậy tập các điểm M cần tìm là đường tròn tâm [TEX]O(\frac{-2}{3};\frac{2}{3}); \ R = \frac{2\sqrt{5}}{3}[/TEX]

Muốn tìm ra Min S chỉ việc lấy các điểm thoả mãn (*) rồi thay vào &gt;-

 

[vanhophb]

các anh chj ơi sao mình ''save as'' các trang web của hocmai vào usb về nhà mở lại thì các công thức toán chẳng đọc được nữa , làm sao bêy giờ nhỉ