[Toán 12] Bất đẳng thức và cực trị hay

[sieuthamtu_sieudaochit]

1. Cho a , b , c là 3 số khác 0 . CM :

[TEX]\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2}+ \frac{c^2}{a^2} \geq \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} [/TEX]

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopkia ta cóa:
[TEX]VT=\sum \left|\frac{a}{b} \right|^2 \geq \frac{1}{3}(\sum |\frac{a}{b}|)^2 \ge \sum \left|\frac{a}{b} \right| \ge \sum \frac{a}{b}[/TEX]

 

[hoatrangnguyen1692]

cho a,b,c >0 và a+b+c =3. CMR:
27^a +27^b + 27^c >= 3^a + 3^b + 3^c + 72

 

[vodichhocmai]

cho a,b,c >0 và a+b+c =3. CMR:
27^a +27^b + 27^c >= 3^a + 3^b + 3^c + 72

[TEX]3^a+3^b+3^c\ge 3\sqrt[3]{3^{a+b+c}}=9[/TEX]

[TEX]\righ 8(3^a+3^b+3^c)\ge 72 \ \ (!)[/TEX]

[TEX]27^a +27^b + 27^c\ge \frac{(9^a+9^b+9^c) (3^a+3^b+3^c) }{3}\ge \sqrt[3]{9^{a+b+c}}(3^a+3^b+3^c) [/TEX]

[TEX]\righ 27^a +27^b + 27^c\ge 9(3^a+3^b+3^c)\ \ (!!)[/TEX]

[TEX]Done!!!![/TEX]

 

[vodichhocmai]

cho a,b,c >0 và [TEX]a+b+c =3[/TEX]. CMR:
[TEX] 27^a +27^b + 27^c >= 3^a + 3^b + 3^c + 72[/TEX]

[TEX]27^a+27+27 \ge 27. 3^a[/TEX]

[TEX]\righ27^a +27^b + 27^c\ge 27(3^a + 3^b + 3^c)-54 [/TEX].

[TEX]\righ 27^a +27^b + 27^c\ge (3^a + 3^b + 3^c)+26(3^a + 3^b + 3^c) -162 [/TEX]

[TEX]\righ 27^a +27^b + 27^c\ge (3^a + 3^b + 3^c)+26.9 -162 [/TEX]

[TEX]Done!![/TEX]

 

[vodichhocmai]

bạn vodichhocmai hay bạn nào biết thì trả lời câu hỏi của bạn SadMan2590 giùm mình với nha. mình cũng ko rõ lắm. trả lời giùm mình nha, cảm ơn trước hem. mình chờ đó.

bạn vodichhocmai có thể nói cho mình bíêt cái AM-GM là cái gì được ko? hay bạn chỉ cần ghi cái tổng quát của nó cũng dc (nếu có chứng minh càng tốt)

Cho [TEX]x_i > 0\ \ i \in N^* [/TEX]

[TEX]QM \ge AM \ge GM \ge HM[/TEX]



[TEX]QM = \sqrt {\frac{{x_1^2 + x_2^2 + .. + x_n^2 }}{n}} ;QM = quadratic \\ AM = \frac{{x_1 + x_2 + ... + x_n }}{n};AM = arithmetic \\ GM = \sqrt[n]{{x_1 .x_2 ...x_n }};GM = geometric \\ HM = \frac{n}{{\frac{1}{{x_1 }} + \frac{1}{{x_2 }} + ... + \frac{1}{{x_n }}}};HM = harmovic [/TEX]

 

[legendismine]

cách khác

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopkia ta cóa:
[TEX]VT=\sum \left|\frac{a}{b} \right|^2 \geq \frac{1}{3}(\sum |\frac{a}{b}|)^2 \ge \sum \left|\frac{a}{b} \right| \ge \sum \frac{a}{b}[/TEX]

cách khác :
[TEX]VT=\sum_{cyc} \frac{a^3}{b^2} \ge \frac{a^2}{b} + a-b[/TEX]
Done!!!

 

[boylovenga123]

khó hiều qá...... không có bài văn lớp 10. bài viết số 5 đề 1 vật ta?

 

[vansang02121998]

Hiển nhiên ta luôn có : [TEX]1+2xy+2y^2>0[/TEX] vì [TEX]^2 + y^2 =1[/TEX]

Đặt [TEX]x=sin a\ \ ;\ \ y=cosa[/TEX] phương trình viết lại:

[TEX]P=\frac{2(sin^2 a+6sin a.co s a)}{1+2sin a.co s a+2cos^2 a}=\frac{1-cos2a+6sin 2a}{1+sin 2a+1+cos2a}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (P-6)sin 2a+(P+1)cos2a+2P-1=0 [/TEX] Phải có nghiệm :

[TEX]\Leftrightarrow (P-6)^2+(P+1)^2\ge (2P-1)^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2P^2+6P-36\le 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow -6\le P\le 3[/TEX]

Vây [TEX]\left{\max_{x^2+y^2=1}P=3\\\min_{x^2+y^2=1}P=-6[/TEX]

$P=\dfrac{2(x^2+6xy)}{1+2xy+2y^2}$

$\Leftrightarrow P=\dfrac{2x^2+12xy}{x^2+2xy+3y^2}$

$x=0 \Rightarrow P=0$

$x \ne 0 \Rightarrow P=\dfrac{2+12a}{1+2a+3a^2}$ với $a=\dfrac{y}{x}$

$\Leftrightarrow 3Pa^2+2(P-6)a+P-2=0$

$\Delta'=-2P^2-6P+36 \ge 0$

 

[tuyphonghoadang]

\sqrt[n]{A}16llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll