[Toán 12] Bất đẳng thức và cực trị hay

[quocbao153]

Let [tex]a,b,c>0, a,b,c \in R[/tex] such that [tex]abc=1[/tex]. Prove that:
[tex]\frac{a+b}{\sqrt{c}}+\frac{a+c}{\sqrt{b}}+\frac{c+b}{\sqrt{a}}\geq\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3[/tex]

 

[quang1234554321]

Vào xem thử

Cho [TEX]a,b,c>0\ CMR:\ \ \sum_{cyclic}\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}[/TEX]

Tiện thể " thách đố " diễn đàn học mãi.vn 1 bài luôn
cho [TEX]x,y,z[/TEX] tùy ý
chứng minh
[TEX]\sum \frac{1}{x^2+xy+y^2} \geq \frac{9}{(x+y+z)^2}[/TEX]

2 bài này thực ra nó gây loạn khi sử dụng các BDT quen thuộc để CM .

Chọn điểm rơi của 2 BDT trên là tại [TEX]a=b=c [/TEX] và [TEX]x=y=z[/TEX]

Với bài thứ nhất Ta có thể nghĩ ngay đến việc sử dụng BDT [TEX]x^2+xy+y^2 \geq 3xy[/TEX] để có dấu = xảy ra khi [TEX]x=y [/TEX]

và tương tự với [TEX]y=z & z=x[/TEX] để được [TEX]x=y=z[/TEX]

Tuy nhiên để sử dụng nó lại ko dễ

[TEX]\sum \frac{1}{x^2+xy+y^2} \geq \frac{9}{2(x^2+y^2+x^2)+xy+yz+zx} \leq \frac{9}{(x+y+z)^2}[/TEX]

Có thể dùng kĩ thuật ngược dấu . Tuy nhiên cũng ko dễ gì để dùng .

Đối với bài thứ 2 cũng tương tự : Điểm rơi : [TEX]a=b=c[/TEX]

Ta nghĩ ngay đến việc sử dụng BDT sau :

[TEX]\sum \frac{a^2+b^2}{a+b} \geq a+b+c \leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2}[/TEX]

Nó đổi chiều như vậy . Ta lại có kĩ thuật ngược dấu nhưng lại ko dễ để tìm ra

Ai có thể làm tiếp giúp tớ

 

[quang1234554321]

Let [tex]a,b,c>0, a,b,c \in R[/tex] such that [tex]abc=1[/tex]. Prove that:
[tex]\frac{a+b}{\sqrt{c}}+\frac{a+c}{\sqrt{b}}+\frac{c+b}{\sqrt{a}}\geq\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3[/tex]

[TEX]VT = \frac{(\sqrt{a})^2}{\sqrt[]{c}} + \frac{(\sqrt{b})^2}{\sqrt[]{c}}+ \frac{(\sqrt{a})^2}{\sqrt[]{b}} + \frac{(\sqrt{c})^2}{\sqrt[]{b}} + \frac{(\sqrt{b})^2}{\sqrt[]{a}} + \frac{(\sqrt{c})^2}{\sqrt[]{a}}[/TEX]

Áp dụng BDT schwarz :[TEX] \frac{(\sqrt{a})^2}{\sqrt[]{c}} + \frac{(\sqrt{b})^2}{\sqrt[]{c}}+ \frac{(\sqrt{a})^2}{\sqrt[]{b}} + \frac{(\sqrt{c})^2}{\sqrt[]{b}} + \frac{(\sqrt{b})^2}{\sqrt{a}} + \frac{(\sqrt{c})^2}{\sqrt{a}} \geq \frac{4 (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2 }{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) } = 2 (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) [/TEX] (1)


Mặt khác : [TEX]VT \geq \sum \frac{2 \sqrt{ab}}{c} \geq 6\sqrt{abc} =6[/TEX] (2)

Cộng theo vế của (1) và (2) ta có đpcm

 

[quang1234554321]

Sắp đến giờ thi đấu . Các bạn vào đây làm thử mấy bài BDT nhé .

Trước tiên là 1 bài đơn giản

Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là độ dài 3 cạnh của tam giác [TEX]ABC[/TEX] , CMR :

[TEX]\frac{3}{2} \leq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} < 2[/TEX]

 

[thancuc_bg]

Sắp đến giờ thi đấu . Các bạn vào đây làm thử mấy bài BDT nhé .

Trước tiên là 1 bài đơn giản

Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là độ dài 3 cạnh của tam giác [TEX]ABC[/TEX] , CMR :

[TEX]\frac{3}{2} \leq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} < 2[/TEX]

huhuhuhu làm sao đây BDT kém quá
bít làm 1 nửa chỗ nì theo kỉu trâu bò thoai
ta có:[TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX]\geq9
mà[TEX]\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1-3[/TEX]

[TEX]=\frac{1}{2}(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}+1/(a+b))-3\geq\frac{1}{2}.9-3=\frac{3}{2}[/TEX]
mà ko biết đúng ko nữa.Chị đăng kí cho rồi,nên tối nay cứ thử thi coi.Dùng cái nick này luôn.gõ cũng khổ quá.

 

[mcdat]

Sắp đến giờ thi đấu . Các bạn vào đây làm thử mấy bài BDT nhé .

Trước tiên là 1 bài đơn giản

Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là độ dài 3 cạnh của tam giác [TEX]ABC[/TEX] , CMR :

[TEX]\frac{3}{2} \leq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} < 2[/TEX]

Cái ý [tex]\geq \frac{3}{2}[/tex] thì quá quen thuộc, gọi là Nesbit

CM cái thứ 2 tức

[TEX]A= \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} <2[/TEX]

Từ BĐT tam giác ta có:

[TEX]a< b+c \Rightarrow a^2 < a(b+c) \Rightarrow a(a+b+c)=a^2+a(b+c) < 2a(b+c) \Rightarrow \frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}[/TEX]

Tương tự ta có:

[TEX] \frac{b}{c+a}< \frac{2b}{a+b+c} \\ \frac{c}{a+b} < \frac{2c}{a+b+c}[/TEX]

Cộng lại ta có đpcm

 

[quang1234554321]

Cái ý [tex]\geq \frac{3}{2}[/tex] thì quá quen thuộc, gọi là Nesbit

CM cái thứ 2 tức

[TEX]A= \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} <2[/TEX]

Từ BĐT tam giác ta có:

[TEX]a< b+c \Rightarrow a^2 < a(b+c) \Rightarrow a(a+b+c)=a^2+a(b+c) < 2a(b+c) \Rightarrow \frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}[/TEX]

Tương tự ta có:

[TEX] \frac{b}{c+a}< \frac{2b}{a+b+c} \\ \frac{c}{a+b} < \frac{2c}{a+b+c}[/TEX]

Cộng lại ta có đpcm

Cái chỗ này

[TEX]a< b+c \Rightarrow a^2 < a(b+c) \Rightarrow a(a+b+c)=a^2+a(b+c) < 2a(b+c) \Rightarrow \frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}[/TEX]

không cần thiết .

Với các số thực dương a,b,c ta luôn có

[TEX] \frac{a}{b+c} < \frac{a+a}{b+c+a}[/TEX]

 

[quang1234554321]

Tự chế

1 BDT yếu tự chế sau :

Cho [TEX]a,b,c > 0[/TEX] và [TEX]a+b+c \geq 1[/TEX] . CMR :

[TEX]\sum \frac{a^2+b^2+c^2}{a} \geq 3 [/TEX]

 

[study_more_91]

1 BDT yếu tự chế sau :

Cho [TEX]a,b,c > 0[/TEX] và [TEX]a+b+c \geq 1[/TEX] . CMR :

[TEX]\sum \frac{a^2+b^2+c^2}{a} \geq 3 [/TEX]

ko hiểu để của bạn lắm
ý bạn là
[TEX](a^2+b^2+c^2).\sum \frac{1}{a} \geq 3[/TEX] à?
nếu thế thì

[TEX](a^2+b^2+c^2).\sum \frac{1}{a} \geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c} \geq 3(a+b+c) \geq 3[/TEX]
Quá dễ nên nghi ngờ ?

 

[quang1234554321]

ko hiểu để của bạn lắm
ý bạn là
[TEX](a^2+b^2+c^2).\sum \frac{1}{a} \geq 3[/TEX] à?
nếu thế thì

[TEX](a^2+b^2+c^2).\sum \frac{1}{a} \geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c} \geq 3(a+b+c) \geq 3[/TEX]
Quá dễ nên nghi ngờ ?

Thì chỉ có vậy thôi chứ sao mà ko hiểu hả bạn . Mình đã ghi rõ là BDT yếu ( từ yếu này đúc rút được từ bên maths.vn của bạn đó ) )

Bài giải của bạn đúng rồi .

 

[study_more_91]

Thì chỉ có vậy thôi chứ sao mà ko hiểu hả bạn . Mình đã ghi rõ là BDT yếu ( từ yếu này đúc rút được từ bên maths.vn của bạn đó ) )

Bài giải của bạn đúng rồi .

cm
[TEX]\sum \frac{x^3}{x^2+y^2} \geq \sum \frac{x^2}{y+z} [/TEX]
dương nhé


ngồi hàng net, khả năng hạn chế, ko chế được đề hay,nhưng cũng chế tạm để đáp trả tấm lòng bạn

 

[quocbao153]

Tìm Min

Let [tex]x,y,z \in R[/tex] such that [tex]x + y + z = xy + yz + zx[/tex]
Now,Find the minimum value of this expression [tex]A = \frac {x}{1 + x^2} + \frac {y}{1 + y^2} + \frac {z}{1 + z^2}[/tex]

 

[vodichhocmai]

Cho [TEX]a,b,c>0\ CMR:\ \ \sum_{cyclic}\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}[/TEX]

Bất đẳng thức có thể viết lại.

[TEX]\sum_{cyclic}\(\frac{a^2+b^2}{a+b}-\frac{a+b}{2}\)\ge\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}-(a+b+c)[/TEX]

[TEX]\leftrightarrow\sum_{cyclic}\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\ge\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{\sqrt{3( a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c)}[/TEX]

[TEX]\leftrightarrow\sum_{cyclic}\[(a-b)^2\(\frac{1}{2(a+b)}-\frac{1}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c)}\)\]\ge 0[/TEX] [TEX](*)[/TEX]

Mà theo [TEX]Bunhiacopsky[/TEX] ta luôn có .

[TEX]\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+a+b+c\ge 2(a+b+c)>2(a+b)[/TEX]

[TEX]\righ\frac{1}{2(a+b)}-\frac{1}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c)}>0[/TEX]

Vậy [TEX](*)[/TEX] luôn đúng , hay bất đẳng thức đả được chứng minh .

 

[quang1234554321]

Topic đóng lại

Cho các số thực ko âm [TEX]a,b,c,d [/TEX]có [TEX]a+b+c+d=4 [/TEX]. Với k là một số thực dương cho trước . Tìm GTLN của biểu thức :

[TEX]A=(abc)^k +(bcd)^k+(cda)^k+(dab)^k[/TEX]

 

[hg201td]

ông Phạm Kim Hùng đâu nhỉ?
giúp bài này đj
Hay là a copy of ông ấy vậy.a là Phạm Kim Hùng à.Thế thì ra sách mới đj.

 

[quang1234554321]

Nếu vậy thì làm bài này nhé :

Cho các số thực ko âm [TEX]x,y,z[/TEX] với [TEX]x+y+z=4[/TEX] . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức :

[TEX]P = \sqrt[]{2x+1} + \sqrt{3y+1} + \sqrt[]{4z+1}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Nếu vậy thì làm bài này nhé :

Cho các số thực ko âm [TEX]x,y,z[/TEX] với [TEX]x+y+z=4[/TEX] . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức :

[TEX]P = \sqrt[]{2x+1} + \sqrt{3y+1} + \sqrt[]{4z+1} [/TEX]

[TEX]P=\sqrt{2}.\sqrt{x+\frac{1}{2}}+\sqrt{3}.\sqrt{y+ \frac{1}{3}}+\sqrt{4}.\sqrt{z+\frac{1}{4}}[/TEX]
Áp dụng [TEX]Bunhiacopxki[/TEX] ta được.
[TEX]P\le \sqrt{2+3+4}.\sqrt{(x+y+z)+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}[/TEX]
[TEX]\righ P\le \frac{\sqrt{183}}{2}[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi.
[TEX]P_{max}=\frac{\sqrt{183}}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ \left{\frac{x+\frac{1}{2}}{2}= \frac{y+\frac{1}{3}}{3}=\frac{z+\frac{1}{4}}{4}= \frac{x+y+z+\frac{13}{12}}{9}\\x+y+z=4\\x,y,z>0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow\left{x=\frac{17}{27}\\y=\frac{49}{36}\\z=\frac{217}{108}[/TEX]
[TEX]P^2=3+2(x+y+z)+y+2z+2\sqrt[]{2x+1} . \sqrt{3y+1}+2\sqrt{3y+1} . \sqrt[]{4z+1}+2\sqrt[]{4z+1}.\sqrt[]{2x+1}(*)[/TEX]
Ta có:

[TEX]\ \\ \ ( \sqrt[]{2x+1}-1)(\sqrt{3y+1}-1)+(\sqrt{3y+1}-1)(sqrt[]{4z+1}-1)+(sqrt[]{4z+1}-1)(\sqrt[]{2x+1}-1)\ge 0[/TEX]

[TEX]\righ \sqrt[]{2x+1} . \sqrt{3y+1}+\sqrt{3y+1} . \sqrt[]{4z+1}+\sqrt[]{4z+1}.\sqrt[]{2x+1}\ge 2P-3(**)[/TEX]

[TEX](*)&(**)\righ P^2\ge 3+2(x+y+z)+y+2z+4P-6\ge 4P+5[/TEX]
[TEX]\righ P^2-4P-5\ge 0[/TEX]
[TEX]\righ P\ge 5[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi :
[TEX]\ \ \ \ \left{y+2z=0\\x+y+z=4\\x,y,z\ge 0 [/TEX][TEX]\Rightarrow\left{x=4\\y=z=0[/TEX]

 

[pokoemon93]

thấy topic sôi nổi wa tui post bài này mọi người thử làm nha:
cho tam giác ABC có h là trực tâm CMR:
[tex]cotA.cotB.\vec{HC}+cotA.cotC.\vec{HB}+cotC.cotB. \vec{HA}=\vec{0}[/tex]

 

[mcdat]

thấy topic sôi nổi wa tui post bài này mọi người thử làm nha:
cho tam giác ABC có h là trực tâm CMR:
[tex]cotA.cotB.\vec{HC}+cotA.cotC.\vec{HB}+cotC.cotB. \vec{HA}=0[/tex]

Đề có vấn đề này , một bên là vector , còn một bên lại là số !!!

 

[pokoemon93]

Tiếp tục bài nữa cho sôi nổi topic này :

CM với mọi số thực dương a,b,c,d ta luôn có :

[TEX] \sum \frac{a^3}{a^2+b^2} \geq \frac{a+b+c+d}{2}[/TEX]

Bài này làm thế này bạn xem có đúng không nha:
[tex]\sum \frac{a^3}{b^2+a^2}\geq a-\frac{ab^2}{b^2+a^2}\geq \sum(a-\frac{ab^2}{2ab})=a-\frac{b}{2}=VP[/tex](Theo BDT AM-GM)