Xin chào các anh các chị trên Forum hocmai.vn. Em là học sinh lớp 8 say mê bất đẳng thức, thấy chuyên mục hay thì vào đây giải thử, nếu không đúng mong các anh các chị thông cảm giùm cho!!!
Gửi anh(hay chị) vodichhocmai!!
Em tìm ra lời giải cho bài toán rồi đây:
Ta phải chứng minh các bất đẳng thức sau:
[TEX] a^4+b^4+c^4+d^4\geqa^2+b^2+c^2+d^2[/TEX]
[TEX] a^4+b^4+c^4+d^4\geqb.c.d+c.d.a+d.a.b+a.b.c[/TEX](do abcd = 1)
( không cần chứng minh VT lớn hơn hoặc bằng a+b+c+d vì [TEX] a^2+b^2+c^2+d^2\geqa+b+c+d[/TEX], điều này em sẽ chứng minh ở cuối bài)
Ta có:
[TEX] a^4+b^4+c^4+d^4\geq\frac{(a^2+b^2)^2+(c^2+d^2)^2}{2}\geq\frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{4}[/TEX]
Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:
[TEX] a^2+b^2+c^2+d^2\geq4.\sqrt[4]{a^2.b^2.c^2.d^2}=4[/TEX]
[TEX] \Rightarrowa^4+b^4+c^4+d^4\geq\frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{4}\geqa^2+b^2+c^2+d^2[/TEX] (đpcm)
Ta có:
[TEX] 16.(b.c.d+c.d.a+d.a.b+a.b.c)=16.a.b.(c+d)+16.c.d.(a+b)\leq4.(a+b)^2.(c+d)+4.(c+d)^2.(a+b)=4.(a+b+c+d)(a+b)(c+d)\leq(a+b+c+d).(a+b+c+d)^2\leq2.[(a+b)^2+(c+d)^2].(a+b+c+d)\leq4.(a^2+b^2+c^2+d^2).(a+b+c+d)
\Rightarrowb.c.d+c.d.a+d.a.b+a.b.c\leq\frac{(a^2+b^2+c^2+d^2).(a+b+c+d)}{4}[/TEX] (1)
Ta phải chứng minh [TEX] a^2+b^2+c^2+d^2\geqa+b+c+d[/TEX]
CM:
[TEX] a^2+b^2+c^2+d^2\geq\frac{(a+b)^2+(c+d)^2}{2}\geq\frac{(a+b+c+d)^2}{4}\geqa+b+c+d[/TEX]( vì a+b+c+d lớn hơn hoặc bằng 4)
Kết hợp với (1) suy ra
[TEX] b.c.d+c.d.a+d.a.b+a.b.c\leq\frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{4}\leqa^4+b^4+c^4+d^4[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d.
Cảm ơn các anh các chị đã đọc bài viết này của em!!!!!
