[Toán 11]luyện giới hạn

[madocthan]

Tìm giới hạn

1. [tex]lim \frac{(3sin.n +4 cos.n)}{(n+1)}[/tex]

.

 

[rua_it]

Cho m dương và các số thực a,b,c thoả mãn:
[TEX]\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1}+\frac{c}{m}=0[/TEX].
Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm :
[TEX]ax^2+bx+c=0[/TEX].

ban đầu
cm: a.f(m/m+1)<0 (dễ thôi>-)
cm tiếp: f(1)<0 với a>0,c<0
cm Pt có nghiệm thuộc khoảng (0,1)
Xét từng trường hợp 1
+a=0
+a#0
.a>0: _c<0
_ c=0
_c>0
.a>0: cũng như trên

[tex]Xet: f(x)=\frac{a.x^{n+2}}{n+2}+\frac{b.x^{n+1}}{n+1}+ \frac{c.n^n}{n}[/tex]

Xét 2 giá trị biên, ta cóa: [tex]f(0)=f(1)=0[/tex]

Mặt khác, dễ thấy rằng f(x) là hàm số liên tục và \exists đạo hàm với mọi x thuộc R

Do đó,

[tex]Roll \rightarrow \exists x \in\ (0;1): f'(x) =0[/tex]

[tex]\rightarrow ax^{n+1}+bx^n+c^{n-1}=0[/tex]

[tex]\rightarrow ax^2+bx+c=0[/tex]

Hay phương trình [tex]ax^2+bx+c=0 \exists x_0 \in\ (0,1)(dpcm)[/tex]

 

[silvery21]

Gioi han day so:
Đặt [TEX]f(n)=(n^2+n+1)^2+1[/TEX]
[TEX]U_n=\frac{f(1).f(3).....f(2n-1)}{f(2).f(4).....f(2n)}[/TEX] với [TEX]n\in{N}[/TEX].
Tính [TEX]\lim_{n\to+\infty}{n\sqrt{U_n}[/TEX].

Có [TEX]f(n)= [(n^2+1)+n]^2= (n^2+1)^2+2n(n^2+1)+n^2+1= (n^2+1)[(n+1)^2+1] [/TEX]Suy ra [TEX]\frac{f(2n-1)}{f(2n)}= \frac{(2n-1)^2+1}{(2n+1)^2+1}[/TEX]

Từ đó [TEX]U_n= \frac{1^2+1}{3^2+1}.\frac{3^2+1}{5^2+1}. ... . \frac{(2n-1)^2+1}{(2n+1)^2+1}= \frac{1}{2n^2+2n+2}[/TEX]

Suy ra [TEX]n\sqrt{u_n}= \frac{n}{\sqrt{2n^2+2n+1}[/TEX]

[TEX]\lim _{n \to + \infty } n\sqrt{u_n}= \frac{\sqrt{2}}{2}[/TEX]

 

[boon_angel_93]

1. lim (3sin.n +4 cos.n)/ (n+1)

..................................................

cam on thay vo dich hm nhiu !!!!!!!!!!!!!!!!!....................................................

 

[vodichhocmai]

1.[TEX] \I=lim (3sin.n +4 cos.n)/ (n+1)[/TEX]

..................................................

[TEX]\frac{-5}{n+1}\le \frac{3sin n+4co sn}{n+1}\le \frac{5}{n+1}[/TEX]

[TEX]\left{lim\frac{-5}{n+1}=0\\ lim\frac{5}{n+1}=0 [/TEX]

[TEX]\righ lim \frac{3sin n+4co sn}{n+1}=0[/TEX]

Giới hạn kẹp bởi [TEX]Zero[/TEX]

 

[quyenuy0241]

giúp hộ mình bài này
lim_[TEX]A=2^n\sqrt{2-\sqrt{2+sqrt{2+\sqrt{2+....}}}[/TEX]
có n dấu căn

Chẳng bít có ai lèm bài này chưa!!!!!! Nếu trùng thì cho mình xin lỗi nhé!!
[tex]\sqrt{3}=2cos {\frac{\pi}{2^2}}[/tex]
Nên
[tex]\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+....}}}=2cos {\frac{\pi}{2^n}} [/tex] n-1 dấu Căn
Nên [tex]\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}+......}}[/tex] n dấu căn
[tex]=\sqrt{2-2cos{\frac{\pi}{2^n}}}=2.sin{\frac{\pi}{2^{n+1}}[/tex]
Nên[tex] A=2^{n+1}.sin{\frac{\pi}{2^{n+1}}=\pi[/tex]

 

[rua_it]

39,ĐHSP Vinh 1999
[TEX]\lim_{x\to0}{\frac{1-sin2x-cos2x}{1+sin2x-cos2x}[/TEX].

[tex]\lim_{x\to0} \frac{1-sin2x-cos2x}{1+sin2x-cos2x}[/tex]

[tex]=\lim_{x\to0} \frac{1-cos2x-sin2x}{1-cos2x+sìn2x}[/tex]

[tex]=\lim_{x\to0} \frac{2sin^2x-2sinx.cosx}{2sin^2x+2sinx.cosx}[/tex]

[tex]=\lim_{x\to0} \frac{sinx-cosx}{sinx+cosx}[/tex]

[tex]=-1[/tex]

 

[quyenuy0241]

[tex]\lim\frac{(2n-1)!!}{2n!!}[/tex]
Với[tex] (2n-1)!![/tex] là giai thừa các số lẻ[tex] (2n-1)!!=1.3.5.7......(2n-1)[/tex]
[tex]2n!![/tex] là giai thừa các số chẵn [tex]2n!!=2.4.6...2n[/tex]

 

[rua_it]

11,ĐHGT HN 1998
[TEX]\lim_{x\to0}{\frac{1-\sqrt{2x+1}+sinx}{\sqrt{3x+4}-2-x}}[/TEX]

[tex]\lim_{x \to 0}{\frac{1-\sqrt{2x+1}+sinx}{\sqrt{3x+4}-2-x}}[/tex]

[tex] =\lim_{x \to 0} \frac{1-\sqrt{2x+1}+sinx}{x}:\frac{\sqrt{3x+4}-2-x}{x}[/tex]

[tex]=\lim_{x \to 0} (\frac{1-\sqrt{2x+1}}{x}+\frac{sinx}{x}):(\frac{\sqrt{3x+4}-2}{x}-1)[/tex]

[tex]=\lim_{x\to0} \frac{-2}{\sqrt{2x+1}+1}: (\frac{3}{2+\sqrt{2x+4}}-1)[/tex]

[tex]=0[/tex]

 

[rua_it]

15,ĐHTM 1999
[TEX] \lim_{x\to0}{\frac{\sqrt{1+x^2}-cosx}{x^2}}[/TEX].

[TEX] \lim_{x\to0}{\frac{\sqrt{1+x^2}-cosx}{x^2}}[/TEX]

[tex]=\lim_{x \to 0} \frac{x^2-cos^x+1}{x^2.(\sqrt{x^2+1}+cosx)}[/tex]

[tex]=\lim_{x \to 0}(\frac{sin^2x}{x^2}+1).\frac{1}{cosx+\sqrt{x^2+1} [/tex]

[tex]=1[/tex]

 

[rua_it]

12,HV Bưu Chính Vien Thông HN 1999
[TEX] \lim_{x\to\infty}{\frac{x-sinx}{x+sinx}}[/TEX].

Ta cóa: [tex]\lim_{x \to \infty} \frac{x-sinx}{x+sinx}[/tex]

[tex]=\lim_{x \to \infty} \frac{1-\frac{sinx}{x}}{1+\frac{sinx}{x}}[/tex]

Mặt khác, [tex] -|\frac{1}{x}| \leq \frac{sinx}{x} \leq |\frac{1}{x}| [/tex] với mọi x thuộc lân cận 0

[tex] \Rightarrow \lim_{x \to \infty} (-|\frac{1}{x}|=\lim_{x \to \infty} |\frac{1}{x}|=0[/tex]

Theo nguyên lý kẹp [tex] \Rightarrow \lim_{x \to \infty} \frac{sinx}{x}=0[/tex]

Vậy [tex]\lim_{x \to \infty} \frac{x-sinx}{x+sinx}=1[/tex]

 

[rua_it]

14,HVNH HN 1998
[TEX] \lim_{x\to1}{\frac{\sqrt{2x-1}-\sqrt{x}}{X-1}}[/TEX].

[TEX] \lim_{x\to1}{\frac{\sqrt{2x-1}-\sqrt{x}}{X-1}}[/TEX]

[tex]=\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1).(\sqrt{x}+\sqrt{2x-1})[/tex]

[tex]=\lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-1}}[/tex]

[tex]=\frac{1}{2}[/tex]

 

[rua_it]

16,ĐH Dân Lập HP 2000
[TEX]\lim_{x\to1}{\frac{\sqrt{x+3}-2x}{tan(x-1)}}[/TEX]

[TEX]\lim_{x\to1}{\frac{\sqrt{x+3}-2x}{tan(x-1)}}[/TEX]

[tex]=\lim_{x \to 1} \frac{-4x^2+x+3}{tan(x-1).(\sqrt{x+3}+2x)}[/tex]

[tex]=\lim_{x \to 1} \frac{(x-1).(-4x-3)}{tan(x-1).(\sqrt{x+3}+2)}[/tex]

[tex]=\frac{-7}{4}[/tex]

 

[rua_it]

TỔNG HỢP MỘT SỐ BÀI GIỚI HẠN TRONG CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC

20-21/2/2010
NGUOI VIET: NAMTUOCVVA18

8,ĐH Hàng Hải HP 2000
[TEX]\lim_{x\to0}{\frac{\sqrt{1+tanx}-\sqrt{1+sinx}}{x^3}}[/TEX].

[TEX]\lim_{x\to0}{\frac{\sqrt{1+tanx}-\sqrt{1+sinx}}{x^3}}[/TEX]

[tex]=\lim_{x \to 0} \frac{tanx.(1-cosx)}{x^3.(\sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx})}[/tex]

[tex]=\lim_{x \to 0} \frac{2sin^2.\frac{x}{2}.tanx}{x^3.(\sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx})}[/tex]

[tex]=\lim_{x\to 0} (\frac{tanx.sin^2.\frac{x}{2}}{x.(\sqrt{1+tanx}+ \sqrt{1+sinx}).\frac{x^2}{4}.4}[/tex]

[tex]=\frac{1}{4}[/tex]

 

[rua_it]

18,ĐH An Ninh 2000
[TEX]\lim_{x\to0}{\frac{98}{83}(\frac{1-cos3x.cos5x.cos7x}{sin^27x})}[/TEX].

[TEX]\lim_{x\to0}{\frac{98}{83}(\frac{1-cos3x.cos5x.cos7x}{sin^27x})}[/TEX]

[tex]=\lim_{x \to 0} \frac{98}{83} (1-\frac{cos7x.cos8x+cos7x.cos2x}{2}):sin^27x[/tex]

[tex]=\lim_{x \to 0} \frac{98}{83}.( 1-\frac{cos15x+cos9x+cos5x+cosx}{4}): sin^27x[/tex]

[tex]=\lim_{x\to 0} \frac{98}{83} .(\frac{sin^2.\frac{15}{2}.x+sin^2.\frac{9}{2}.x+sin^2.\frac{5}{2}.x+sin^2.\frac{1}{2}.x}{2}) :sin^27x[/tex]

[tex]=\lim_{x\to 0} \frac{98}{166} \lim_{x \to 0} (\frac{225}{4}+\frac{81}{4}+\frac{25}{4}+\frac{1}{4}):49[/tex]

[tex]=1[/tex]

Cách cổ truyền vậy:

[tex]1-cos3xcos5xcos7x=cos3xcos5x(1-cos7x)+cos3x(1-cos5x)+1-cos3x[/tex]



[tex]=2cos3xcos5xsin^2{\frac{7x}{2}}+2cos3xsin^2{\frac{5x}{2}}+2sin^2{\frac{3x}{2}}[/tex]

[TEX]\lim_{x\to 0} \frac{98}{83} (\frac{1- cos 3x cos 5x co s 7x}{sin^27x})=\lim_{x\to0}\frac{98}{83}.(\frac{2cos3xcos5xsin^2{\frac{7x}{2}}}{sin^27x}+\frac{2cos3xsin^2{\frac{5x}{2}}}{sin^27x}+\frac{2sin^2{\frac{3x}{2}}}{sin^27x})=\frac{98}{83}(8+\frac{8.49}{25}+\frac{8.49}{9}[/TEX]

Anh quyenuy0241 làm sai rồi nè

 

[713075]

Ta cóa: [tex]\lim_{x \to 0} \frac{x-sinx}{x+sinx}[/tex]

[tex]=\lim_{x \to 0} \frac{1-\frac{sinx}{x}}{1+\frac{sinx}{x}}[/tex]

Mặt khác, [tex] -|\frac{1}{x}| \leq \frac{sinx}{x} \leq |\frac{1}{x}| [/tex] với mọi x thuộc lân cận 0

[tex] \Rightarrow \lim_{x \to 0} (-|\frac{1}{x}|=\lim_{x \to 0} |\frac{1}{x}|=0[/tex]

Theo nguyên lý kẹp [tex] \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x}=0[/tex]

Vậy [tex]\lim_{x \to 0} \frac{x-sinx}{x+sinx}=1[/tex]

sai rồi
[tex] \lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x}=1[/tex] cơ mà .

 

[keosuabeo_93]

1.cho dãy số U1 xác định như sau:
U1=1
[TEX]U_n+1=(U_n^2/2007)+Un ,n=1,2,3...[/TEX]
tìm [TEX]\lim_{x\to \infty }(\frac{U_1}{U_2}+\frac{U_2}{U_3}+...+\frac{U_n}{U_{n+1}})[/TEX]

2.cho dãy số Un thoả mãn đk
0<U1<1
[TEX]U_n+1(1-Un)>1/4, n=1,2...[/TEX]
tìm [TEX]\lim_{x\to 0} Un[/TEX]

 

[rua_it]

19,ĐH Luat HN 1998

[TEX] \lim_{x\to0}{[\frac{2}{sin2x}-cotx]}[/TEX]

[TEX] \lim_{x\to0}{[\frac{2}{sin2x}-cotx]}[/TEX]

[tex]=\lim_{x \to 0} \frac{1-cos^2x}{sinx.cosx}[/tex]

[tex]=\lim_{x \to 0} \frac{sin^2x}{sinx.cosx}[/tex]

[tex]=0[/tex]

sai rồi
[tex] \lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x}=1[/tex] cơ mà

[tex]\lim_{x \to \infty } \frac{sinx}{x}=0[/tex] ạ

Đã sửa

 

[rua_it]

30,ĐHQG HN 1998 Khối A
[TEX] \lim_{x\to1}{\frac{x^3-\sqrt{3x-2}}{x-1}}[/TEX].

[TEX] \lim_{x\to1}{\frac{x^3-\sqrt{3x-2}}{x-1}}[/TEX]

[tex]=\lim_{x \to 1} \frac{x^6-3x+2}{(x^3+\sqrt{3x-2}).(x-1)}[/tex]

[tex]=\lim_{x \to 1} \frac{x^5+x^4+x^3+x^2+x-2}{x^3+\sqrt{3x-2}}[/tex]

[tex]= \frac{3}{2}[/tex]

 

[quyenuy0241]

.
.
.
30,ĐHQG HN 1998 Khối A
[TEX] \lim_{x\to1}{\frac{x^3-\sqrt{3x-2}}{x-1}}[/TEX].

[TEX] \lim_{x\to1}{\frac{x^3-1-(\sqrt{3x-2}-1)}{x-1}}[/TEX]
[tex] \lim_{x\to1}{\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}-\frac{3(x-1)}{(x-1)(\sqrt{3x-2}+1)}=3-\frac{3}{2}[/tex]