[Toán 11]luyện giới hạn

[namtuocvva18]

Tính giói han:
[TEX]\lim_{x\to0}{\frac{(1+2009x)^{2010}-(1+2010x)^{2009}}{x^2}[/TEX].

.
Ta có:
[TEX](1+2009x)^{2010}=C^0_{2010}+2009C^1_{2010}x+2009^2C^2_{2010}x^2+......+2009^{2010}C^{2010}_{2010}x^{2010}[/TEX]
[TEX](1+2010x)^{2009}=C^0_{2009}+2010C^1_{2009}x+2010^2C^2_{2009}x^2+.......+2010^{2009}C^{2009}_{2009}x^{2009}[/TEX]
Lay (1)-(2) ta được:
[TEX](1+2009x)^{2010}-(1+2010x)^{2009}=(2009^2C^2_{2010}-{2010}^2C^2_{2009})x^2+x^3(.......)[/TEX]
Từ đó:
[TEX] \lim_{x\to0}{\frac{(1+2009x)^{2010}-(1+2010x)^{2009}}{x^2}=(2009^2C^2_{2010}-2010^2C^2_{2009})=\frac{2010.2009}{2} [/TEX].

 

[namtuocvva18]

Tính gioi han:

[TEX]\lim_{x\to0}_{\frac{4sin(\frac{\Pi}{6}+x)sin(\frac{\Pi}{6}+2x)-1}{sinx}[/TEX].

 

[quyenuy0241]

Tính gioi han:

[TEX]\lim_{x\to0}_{\frac{4sin(\frac{\Pi}{6}+x)sin(\frac{\Pi}{6}+2x)-1}{sinx}[/TEX].

[TEX]\lim_{x\to0}_{\frac{2cosx-2cos (\frac{\pi}{3}+3x)-1}{sinx}[/TEX]
[TEX]\lim_{x\to0}_{\frac{2cosx-2+1-2cos ( \frac{ \pi}{3}+3x)}{sinx}[/TEX]
[TEX]\lim_{x\to0}_{\frac{2(cosx-1)}{sinx}+2. \frac{ cos {\frac{\pi}{3}}-cos (\frac{\pi}{3}+3x)}{sin x}}[/TEX]
[TEX]=\lim_{x\to 0}_{\frac{-4sin^2{\frac{x}{2}}}{sin x}-\frac{4.sin {\frac{3x}{2}}.sin {(\frac{\pi}{3}+\frac{3x}{2})}}{sinx}[/TEX]
[TEX]=\lim_{x\to 0}_{\frac{-4sin^2{\frac{x}{2}}}{sin x}-\frac{4.sin {\frac{3x}{2}}.sin {(\frac{\pi}{3}+\frac{3x}{2})}.x.\frac{3}{2}}{sinx.\frac{3x}{2}}= -3.\sqrt{3}[/TEX]
Chẳng bít có đúng hay không nữa !!! biến đổi ko bít có đúng không nữa!!!

 

[namtuocvva18]

Tính gioi han
[TEX]\lim_{n\to+\infty}{sin^2(\Pi.\sqrt{n^2+n})[/TEX].
.....

 

[namtuocvva18]

Tính gioi han:
[TEX]\lim_{x\to\frac{\Pi}{6}}{\frac{cos(\frac{2\Pi}{3}-x)}{\sqrt{3}-2cosx}[/TEX].

 

[ngomaithuy93]

Tính gioi han
[TEX]\lim_{n\to+\infty}{sin^2(\Pi.\sqrt{n^2+n})[/TEX].
.....

[TEX] \lim_{n\to+\infty}{sin^2(\pi\sqrt{n^2+n})}[/TEX]
[TEX]=\lim_{n\to+\infty}{\pi^2(n^2+n)}[/TEX]
[TEX]= \pi^2[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Tính gioi han:
[TEX]\lim_{x\to\frac{\Pi}{6}}{\frac{cos(\frac{2\Pi}{3}-x)}{\sqrt{3}-2cosx}[/TEX].

Đặt [tex]y=\frac{\pi}{6}-x \Rightarrow y\to0[/tex]
[TEX]\lim_{y\to0}{\frac{cos(\frac{\Pi}{2}+y)}{\sqrt{3}-2cos(\frac{\pi}{6}-y)}[/TEX].
[TEX]\lim_{y\to0}\frac{-siny}{2cos{\frac{\pi}{6}}-2cos(\frac{\pi}{6}-y)}[/TEX]
[tex]\lim_{y\to0}\frac{-siny}{4sin{\frac{y}{2}}.sin{\frac{\frac{\pi}{3}-y}{2}}}=\frac{-1}{4}[/tex]

 

[albee_yu]

[TEX]=\lim_{x\to0}{\frac{\sqrt{1+2x}-(x+1)+(x+1)-\sqrt[3]{1+3x}}{x^2}}[/TEX]
[tex]=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^2.(\sqrt{2x+1}+x+1}+ \frac{x^2.(x+3)}{x^2.( \sqrt[3]{(3x+1)^2}+(x+1).\sqrt[3]{3x+1}+(x+1)^2)}=\frac{1}{2}+1[/tex]

Có lẽ là vậy chắc không sai đâu nhỷ
:khi (186)::khi (186)::khi (186):

Đáp án là 1/2! bạn xem lại đi!
Có lẽ bạn hơi nhầm lẫn ở dòng thứ 2!!!:|

 

[ngomaithuy93]

có phai? bạn sử dụng công thưc nay` khong?
2sin^2(ax/2)=a^2. bạn layý nó ở đâu vậy. phiền bạn co thể chứng minh công thưc do đươc không?

[TEX]2sin^2\frac{ax}{2}=a^2 [/TEX]???
Tớ chưa thấy CT này bao giờ cả! :|

 

[namtuocvva18]

Ban quyenuy su dụng CT
[TEX]\lim_{x\to0}{\frac{sinx}{x}=1[/TEX].

 

[namtuocvva18]

De thi HSG lớp 11

Gioi han day so:
Đặt [TEX]f(n)=(n^2+n+1)^2+1[/TEX]
[TEX]U_n=\frac{f(1).f(3).....f(2n-1)}{f(2).f(4).....f(2n)}[/TEX] với [TEX]n\in{N}[/TEX].
Tính [TEX]\lim_{n\to+\infty}{n\sqrt{U_n}[/TEX].

 

[namtuocvva18]

De thi HSG tinh lớp 11

Cho m dương và các số thực a,b,c thoả mãn:
[TEX]\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1}+\frac{c}{m}=0[/TEX].
Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm :
[TEX]ax^2+bx+c=0[/TEX].

 

[silvery21]

Tính gioi han:

[TEX]\lim_{x\to+\infty}{(sin{\sqrt{x+1}}-sin{\sqrt{x}})[/TEX].

bài này giải chuối quá

Đặt [TEX]t=\frac{1}{x}[/TEX]. Khi [TEX]x\to+\infty[/TEX] thì [TEX]t\to0[/TEX]

[TEX] \lim_{t\to0}{(sin.\sqrt{\frac{1}{t}+1}-sin.\sqrt{\frac{1}{t}})[/TEX]
[TEX] = \lim_{t\to0}(\frac{sin.\sqrt{\frac{1}{t}+1}}{\sqrt{\frac{1}{t}+1}}-\frac{sin.\sqrt{\frac{1}{t}}}{.\sqrt{\frac{1}{t}}})[/TEX]
[TEX] = \lim_{t\to0}(\sqrt{\frac{1}{t}+1}-\sqrt{\frac{1}{t}})[/TEX]
[TEX] = \lim_{t\to0}\frac{\sqrt{t+1}-1}{\sqrt{t}}[/TEX]

giải lại

ta có [TEX]|sin{\sqrt{x+1}}-sin{\sqrt{x}}| = | 2 sin (\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}}). cos( \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}})| < \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}[/TEX]

mà [TEX]\lim_{x\to+\infty}{\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}= 0[/TEX]

nên [TEX]\lim_{x\to+\infty}{(sin{\sqrt{x+1}}-sin{\sqrt{x}})=0[/TEX]

 

[silvery21]

tính g/h

[tex] \lim_{x\to +\infty} ( sin {\frac{\pi}{n}}+ sin {\frac{2\pi}{n}}+.+ sin {\frac{(n-1)\pi}{n}})[/TEX]

 

[713075]

giúp hộ mình bài này
lim_[TEX]2^n\sqrt{2-\sqrt{2+sqrt{2+\sqrt{2+....}}}[/TEX]
có n dấu căn

 

[doremon.]

tính g/h

[tex] \lim_{x\to +\infty} ( sin {\frac{\pi}{n}}+ sin {\frac{2\pi}{n}}+.+ sin {\frac{(n-1)\pi}{n}})[/tex]

Ta có
[tex] sin {\frac{\pi}{2n}}[ ( sin {\frac{\pi}{n}}+ sin {\frac{2\pi}{n}}+.+ sin {\frac{(n-1)\pi}{n}})]=cos{\frac{\pi}{2n}}[/tex]

\Rightarrow [tex] ( sin {\frac{\pi}{n}}+ sin {\frac{2\pi}{n}}+.+ sin {\frac{(n-1)\pi}{n}})=cot{\frac{\pi}{2n}}[/tex]

\Rightarrow[tex] \lim_{x\to +\infty} cot{\frac{\pi}{2n}}=\frac{2n}{\pi}[/tex]

 

[713075]

Cho m dương và các số thực a,b,c thoả mãn:
[TEX]\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1}+\frac{c}{m}=0[/TEX].
Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm :
[TEX]ax^2+bx+c=0[/TEX].

ban đầu
cm: a.f(m/m+1)<0 (dễ thôi>-)
cm tiếp: f(1)<0 với a>0,c<0
cm Pt có nghiệm thuộc khoảng (0,1)
Xét từng trường hợp 1
+a=0
+a#0
.a>0: _c<0
_ c=0
_c>0
.a>0: cũng như trên

 

[doremon.]

giúp hộ mình bài này
lim_[TEX]2^n\sqrt{2-\sqrt{2+sqrt{2+\sqrt{2+....}}}}(1)[/TEX]
có n dấu căn

Cái đề thiếu
dự đoán [TEX]\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+........+\sqrt{2}}}}=2.cos{\frac{\pi}{2^n}[/TEX](*)

Ta có với n=2 \Rightarrow[TEX]\sqrt{2}=2.2.cos{\frac{\pi}{2^2}[/TEX] \RightarrowCT(*) luôn đúng với n=2

Giả sử CT (*) đúng với n=k tức là :
[TEX]\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+........+\sqrt{2}}}}=2.cos{\frac{\pi}{2^k}[/TEX]

Thì cũng đúng với n=k+1 cần cm
[TEX]\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+........+\sqrt{2}}}}}=2.cos{\frac{\pi}{2^{k+1}}[/TEX]

Thật vậy

ta có [TEX]\sqrt{2+2.cos{\frac{\pi}{k^2}}}=2.cos{\frac{\pi}{2^{k+1}}}[/TEX]

\RightarrowCT(*) luôn đúng \foralln

\Rightarrow
(1) \Leftrightarrow[TEX]lim_{n \to +\infty}{2^n.\sqrt{2-2.cos{\frac{\pi}{2^n}}}}=\pi[/TEX]

 

[doremon.]

Gioi han day so:
Đặt [TEX]f(n)=(n^2+n+1)^2+1[/TEX]
[TEX]U_n=\frac{f(1).f(3).....f(2n-1)}{f(2).f(4).....f(2n)}[/TEX] với [TEX]n\in{N}[/TEX].
Tính [TEX]\lim_{n\to+\infty}{n\sqrt{U_n}[/TEX].

Ta có

[TEX]U_n=\frac{1.5.13........(8n^4-8n^3+6n^2-2n+1)}{5.13.25.........(8^4+8n^3+6n^2+2n+1)}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]U_n=\frac{1}{8^4+8n^3+6n^2+2n+1}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]\lim_{n\to+\infty}{n\sqrt{U_n}[/TEX]

=[TEX]\lim_{n\to+\infty}{n\sqrt{\frac{1}{8^4+8n^3+6n^2+2n+1}}[/TEX]

=0

 

[silvery21]

Ta có
[tex] sin {\frac{\pi}{2n}}[ ( sin {\frac{\pi}{n}}+ sin {\frac{2\pi}{n}}+.+ sin {\frac{(n-1)\pi}{n}})]=cos{\frac{\pi}{2n}}[/tex]

xem lại chỗ này ;

[tex] sin {\frac{\pi}{2n}}[ ( sin {\frac{\pi}{n}}+ sin {\frac{2\pi}{n}}+.+ sin {\frac{(n-1)\pi}{n}})]=\frac{cos{\frac{\pi}{2n}}- cos{\frac{( 2n -1)\pi}{2n}}}{2}[/tex]