Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm:
[TEX]x^3+ax^2+bx+c=0[/TEX].
Quy bài toán về biện luận pt [tex]x^3+ax^2+bx+c=0(1)[/tex]
[tex]Dat: x=y-\frac{a}{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow Pt(1) \Leftrightarrow (y-\frac{a}{3})^3+a.(y-\frac{a}{3})+b.(y-\frac{a}{3})+c=0[/tex]
Khai triển biểu thức
[tex]Dat: \left{\begin{q=-\frac{2a^3}{27}+\frac{ab}{3}-c}\\{p=\frac{a^2}{3}-b}[/tex]
[tex]\Rightarrow y^3-p.y-q=0(1)[/tex]
-Nếu [tex]p=0[/tex] thì dễ thấy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là [tex]y=\sqrt[3]{q}[/tex]
-Nếu [tex]p>0[/tex] khi đó
[tex]Dat: y=2k.\sqrt{\frac{p}{3}}[/tex]
[tex]\Rightarrow 4x^3-3x-\frac{3.\sqrt{3}.q}{2.\sqrt{p^3}}[/tex]
[tex]Xet: |\frac{3.\sqrt{3}.q}{2.\sqrt{p^3}}| >1[/tex]
[tex]Dat: t=\frac{1}{2}.(d^3+\frac{1}{d^3}) \Rightarrow \left[\begin{d^3=m+\sqrt{m^2-1}}{d^3=m-\sqrt{m^2-1}}[/tex]
\Rightarrow Phương trình có nghiệm duy nhất: [tex]x=\frac{1}{2}.(\sqrt[3]{m+\sqrt{m^2-1}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}}[/tex]
[tex]Xet: |\frac{3.\sqrt{3}.q}{2.\sqrt{p^3}}| \leq 1[/tex]
[tex]Dat: \frac{3.\sqrt{3}.q}{2.\sqrt{p^3}}=cos\alpha [/tex]
\Rightarrow Phương trình (1) có 3 nghiệm [tex]\left{\begin{k=cos\alpha}\\{k=cos\frac{\alpha+2.\pi}{3}}\\{k=cos\frac{\alpha+2.\pi}{3}}[/tex]
-Nếu [tex]p<0[/tex] khi đó
[tex]Dat: y=2.\sqrt{-\frac{p}{3}}[/tex]
[tex]\Rightarrow 4x^3+3x-m=0[/tex] [tex]m=\frac{1}{2}(d^3+\frac{1}{d^3})[/tex]
[tex]\left{\begin{d^3=m+\sqrt{m^2+1}}\\{d^3=m+\sqrt{m^2+1}}[/tex]
\Rightarrow Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất [tex]x=\frac{1}{2}.(\sqrt[3]{m+\sqrt{m^2+1}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2+1})[/tex]
Vậy phương trình [tex]x^3+ax^2+bx+c=0[/tex] luôn luôn có nghiệm.
