[Toán 10]Bdt

Status
Không mở trả lời sau này.
B

bigbang195

Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]a+b+c=1[/TEX]
CMR
ab+ac+bca2.b2+a2.c2+b2.a2≥27(a2+b2+c2)\frac{ab+ac+bc}{a^2.b^2+a^2.c^2+b^2.a^2}\geq 27(a^2+b^2+c^2)
 
Last edited by a moderator:
Q

quyenuy0241

bigbang195 said:
hay quá anh.Anh cho thêm bài cho topic đi anh, giờ em phải đi học ùi
[TEX]a,b,c>0,a+b+c=3[/TEX]
chứng minh:
[TEX]\sum \frac{1}{2+a^2+b^2} \ge \frac{3}{4}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Sax hình như đề sai em à !!!!
Phải là ≤34\leq\frac{3}{4} Chứ:eek:\:khi (15):

Nếu là dấu≤\leq thì CM tổng quát bài toán sau với a+b+c=3 và r≥1r\geq 1
ta luôn có:

[TEX]\sum {\frac{1}{r+a^2+b^2}}\le \frac{3}{r+2}[/TEX]
rr+b2+c2=1−b2+c2r+b2+c2\frac{r}{r+b^2+c^2}=1-\frac{b^2+c^2}{r+b^2+c^2}
DPCM tương đương với
∑b2+c2r+b2+c2≥6r+2\sum{\frac{b^2+c^2}{r+b^2+c^2}}\geq\frac{6}{r+2}
Ta luôn có b2+c2r+b2+c2≥(b+c)22r+(b+c2)\frac{b^2+c^2}{r+b^2+c^2}\geq\frac{(b+c)^2}{2r+(b+c^2)}
chỉ cần cm
∑(b+c)2r+(b+c)2≥6r+2\sum{\frac{(b+c)^2}{r+(b+c)^2}}\geq\frac{6}{r+2}
theo cauchy-schawarz ta có
∑(b+c)2r+(b+c)2≥4(a+b+c)26r+∑(b+c)2≥2(a+b+c)2a2+b2+c2+(r+1)(ab+bc+ac(1)=62+r+r−1r+2.a2+b2+c2−ab−bc−aca2+b2+c2+(r+1)(ab+bc+ac≥6r+2\sum{\frac{(b+c)^2}{r+(b+c)^2}}\geq\frac{4(a+b+c)^2}{6r+\sum{(b+c)^2}}\geq\frac{2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+(r+1)(ab+bc+ac}(1)=\frac{6}{2+r}+\frac{r-1}{r+2}.\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac}{a^2+b^2+c^2+(r+1)(ab+bc+ac}\geq \frac{6}{r+2}
(1)đúng do (ab+bc+ac)≤(a+c+b)23=3(ab+bc+ac)\leq\frac{(a+c+b)^2}{3}=3
 
Last edited by a moderator:
Q

quyenuy0241

namtuocvva18 said:
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh:
[TEX]a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0[/TEX].
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên :
2 bộ dãy đơn điệu ngược chiều:
a2+bc,b2+ac,c2+bca^2+bc, b^2+ac, c^2+bc
1a,1b,1c\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}

Theo bất đẳng thức hoán vị ta có:
a2+bca+b2+acb+c2+abc≤a2+bcc+b2+aca+c2+abb\frac{a^2+bc}{a}+\frac{b^2+ac}{b}+\frac{c^2+ab}{c}\leq\frac{a^2+bc}{c}+\frac{b^2+ac}{a}+\frac{c^2+ab}{b}

Tới đây rút gọn xong quy đồng rùi suy ra đpcm
:khi (45):
:khi (99):
 
Last edited by a moderator:
T

tohsaka1694

Bài 1 Cho  ab+bc+ca=3\ ab + bc + ca = 3
CM :  a3+b3+c3>=3\ a^3 + b^3 + c^3 >= 3

Bài 2 Cho  abcd=1\ abcd = 1 CM
a4b2+c2+d2+b4c2+d2+a2+c4d2+a2+b2+d4a2+b2+c2>=1\frac{a^4}{b^2 + c^2 + d^2} + \frac{b^4}{c^2 + d^2 + a^2} + \frac{c^4}{d^2 + a^2 + b^2} + \frac{d^4}{a^2 + b^2 + c^2} >= 1
 
B

bigbang195

tohsaka1694 said:
Bài 1 Cho  ab+bc+ca=3\ ab + bc + ca = 3
CM :  a3+b3+c3>=3\ a^3 + b^3 + c^3 >= 3

Bài 2 Cho  abcd=1\ abcd = 1 CM
a4b2+c2+d2+b4c2+d2+a2+c4d2+a2+b2+d4a2+b2+c2>=1\frac{a^4}{b^2 + c^2 + d^2} + \frac{b^4}{c^2 + d^2 + a^2} + \frac{c^4}{d^2 + a^2 + b^2} + \frac{d^4}{a^2 + b^2 + c^2} >= 1
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài 1 :
[TEX]a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ac=3[/TEX]
ta có
[TEX]\sum[ a^3+ a^3+1 ]\ge 3\sum a^2[/TEX]
hay
[TEX]2\sum a^3+3 \ge 3\sum a^2[/TEX]\Leftrightarrow
[TEX]2\sum a^3 \ge 3\sum a^2-3 \ge 2\sum a^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\sum a^3 \ge \sum a^2 \ge 3[/TEX]

Bài 2 sai đề bài
 
B

bigbang195

a,b dương thỏa mãn
[TEX]a^2+b^3 \ge a^3+b^4[/TEX]
chứng minh
[TEX]a^3+b^3 \le 2[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
V

vodichhocmai

tohsaka1694 said:
Bài 2 Cho  abcd=1\ abcd = 1 CM
a4b2+c2+d2+b4c2+d2+a2+c4d2+a2+b2+d4a2+b2+c2>=1\frac{a^4}{b^2 + c^2 + d^2} + \frac{b^4}{c^2 + d^2 + a^2} + \frac{c^4}{d^2 + a^2 + b^2} + \frac{d^4}{a^2 + b^2 + c^2} >= 1
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX] \sum_{cyclic}\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\ge \frac{a2+b2+c2+d2a^2+b^2+c^2+d^2^2}{3\(a^2+b^2+c^2+d^2)} \ge \frac{4\sqrt[4]{(abcd)^2}}{3}[/TEX]

[TEX]\righ LHS\ge \frac{4}{3}\ge 1[/TEX]
 
D

dandoh221

Bài giải trên có vấn đề thì phải :).
Theo Cauchy-Schwarz và AM-GM ineq :
gif.latex

gif.latex

Cộng lại ta được
gif.latex
 
Q

quyenuy0241

Làm bài này nha
Đề ĐH Ngoại Thương
với n>2 CMR
(n+1n)n<3(n+\frac{1}{n})^n <3
 
V

vodichhocmai

poster by :khanhsy

Cho ba số thực kgo6ng âm [TEX]a,b,c[/TEX] thoả mãn điều kiện [TEX]a+b+c=1[/TEX]

Chứng minh rằng khi đó ta luôn có:

[TEX]\sqrt{13}\le \sum_{cyclic} \sqrt{a^2+a+1}\le \sqrt{3}+2[/TEX]
 
V

vodichhocmai

quyenuy0241 said:
Làm bài này nha
Đề ĐH Ngoại Thương
với n>2 CMR
(n+1n)n<3(n+\frac{1}{n})^n <3
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]n=100000000000000000....50kt...................[/TEX]:(

Thì bó chi

quyenuy0241 said:
Làm bài này nha
Đề ĐH Ngoại Thương
với n>2 CMR
(n+1n)n<3(n+\frac{1}{n})^n <3
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

(1+1n)n<3    ∀n≥1(1+\frac{1}{n})^n <3\ \ \ \ \forall n\ge 1

thì còn có lí một tí
 
Last edited by a moderator:
Status
Không mở trả lời sau này.
Top Bottom