[Toán 10]Bdt

[bigbang195]

xét biểu thức
[TEX]S=f(a,b,c)=S_a(b-c)^2+S_b(a-c)^2+S_c(a-b)^2[/TEX]

trong đó [TEX]S_a,S_b,S_c[/TEX] là các hàm số của [TEX]a,b,c[/TEX]

. Chứng minh

1.Nếu [TEX]S_a,S_b,S_c \ge 0[/TEX] thì [TEX]S \ge 0[/TEX]

2.nếu [TEX]a \ge b \ge c[/TEX] thì [TEX]S_b , S_b+S_c , S_b+S_a \ge 0[/TEX] thì [TEX]S \ge 0[/TEX]

3.nếu [TEX]a \ge b \ge c[/TEX] và [TEX]S_a , S_c, S_a+2S_b , S_c+2S_b \ge 0[/TEX] thì [TEX]S \ge 0[/TEX]

4.nếu [TEX]a \ge b \ge c [/TEX]và [TEX]S_b,S_c \ge 0,a^2S_b+b^2S_a \ge 0[/TEX] thì [TEX]S \ge 0[/TEX]

5. nếu [TEX]\sum S_a \ge 0 [/TEX]và [TEX]\sum S_aS_b \ge 0[/TEX] thì [TEX]S \ge 0[/TEX]

Help Me !

vậy cái em chép trong STBDT là thiếu à anh.
ở định lí 3 thì phải có [tex]S_b \le 0[/tex] ạ

 

[bigbang195]

[TEX]a^2+a+1 = (a+1)^2+\frac{3}{4}[/TEX] .

xong dùng MINCOPKI

 

[quyenuy0241]

Anh nói là em sai đề . Còn Minh Nhiên giải là đề khác . Em coi lại Topic em lập ra đi
uh đúng roài cảm ơn anh nha
Bài đó em giải có đúng không nhỷ!!!!!!!

 

[quyenuy0241]

Anh nói là em sai đề . Còn Minh Nhiên giải là đề khác . Em coi lại Topic em lập ra đi
uh đúng roài cảm ơn anh nha
Bài đó em giải có đúng không nhỷ!!!!!!!

mà nếu có cách khác thì anh post lên nha
thank You!!!!:khi (4):

 

[bigbang195]

Cho ba số thực kgo6ng âm [TEX]a,b,c[/TEX] thoả mãn điều kiện [TEX]a+b+c=1[/TEX]

Chứng minh rằng khi đó ta luôn có:

[TEX]\sqrt{13}\le \sum_{cyclic} \sqrt{a^2+a+1}\le \sqrt{3}+2[/TEX]

[TEX]\sqrt{a^2+a+1} \le \sqrt{\frac{13}{9}}+k(a-\frac{1}{3})[/TEX]
kiểu này à anh=((

 

[vodichhocmai]

xét biểu thức
[TEX]S=f(a,b,c)=S_a(b-c)^2+S_b(a-c)^2+S_c(a-b)^2[/TEX]

Chỉ giải phần đối xứng còn hoán vị thì them một trường hợp nữa.

[TEX]gs:\ \ x\ge y\ge z[/TEX] Chỉ giải phần đối xứng còn hoán vị thì them một trường hợp nữa [TEX]z\ge y\ge z[/TEX].
[TEX]gs:\ \ x\ge y\ge z[/TEX]

Nếu:

[TEX]S_a\ge 0\ \ S_b\ge 0 \ \ S_c\ge 0\righ f(a,b,c)\ge 0[/TEX] luôn đúng cái này thì OK

Nếu:

[TEX]S_aS_b\ge 0\ \ S_bS_c\ge 0\ \ S_cS_a\ge 0\ \ S_a+S_b+S_c\ge0 \righ f(a,b,c)\ge 0[/TEX]luôn đúng theo dấu của tam thức bậc hai

Nếu [TEX]S_b\ge 0[/TEX] ta có

[TEX]a\ge b\ge c\righ (a-c)^2\ge (a-b)^2+(b-c)^2[/TEX]

[TEX]\righ S_b(a-c)^2\ge S_b(a-b)^2+S_b(b-c)^2[/TEX]

[TEX]\righ f(a,b,c)\ge S_a(b-c)^2+S_b(a-b)^2+S_b(b-c)^2+S_c(a-b)^2=(S_a+S_b)(b-c)^2+(S_c+S_b)(a-b)^2[/TEX]

Do đó ta cần chứng minh.

[TEX]\left{S_a+S_b\ge 0 \\ S_c+S_b\ge 0[/TEX]

Nếu điều đó đúng thì suy ra [TEX]f(a,b,c)\ge 0[/TEX] đúng

Nếu [TEX]S_b\le 0[/TEX] ta có

[TEX]a\ge b\ge c\righ (a-c)^2\le 2 (a-b)^2+2(b-c)^2[/TEX]

[TEX]\righ S_b(a-c)^2\ge 2S_b (a-b)^2+2S_b(b-c)^2[/TEX]

[TEX]\righ f(a,b,c)\ge S_a(b-c)^2+2S_b(a-b)^2+2S_b(b-c)^2+S_c(a-b)^2=(S_a+2S_b)(b-c)^2+(S_c+2S_b)(a-b)^2[/TEX]

[TEX]\left{S_a+2S_b\ge 0 \\ S_c+2S_b\ge 0[/TEX]

Nếu điều đó đúng thì suy ra [TEX]f(a,b,c)\ge 0[/TEX] đúng

Vậy hoàn thiện bài toán.

 

[namtuocvva18]

Cho cac số thực a,b,c đôi một khác nhau. Chứng minh:
[TEX]\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+\frac{(b+c)^2}{(b-c)^2}+\frac{(c+a)^2}{(c-a)^2}\geq 2[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c không âm và [TEX]ab+bc+ca=1[/TEX]. Tìm GTLN của:
[TEX]P=\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}[/TEX].

 

[bigbang195]

Các bạn làm bài này nhé:
Cho a,b,c>o với ab+bc+ac=3 CMR
[tex]\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\le1 [/tex]

2 bài giống nhau à .

 

[namtuocvva18]

Cho x,y,z dương và [TEX]x^2+y^2+z^2+2xyz=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]x+y+z\leq \frac{3}{2}[/TEX]

 

[namtuocvva18]

Cho x,y,z dương và [TEX]xyz=x+y+z+2[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \frac{3}{2}.\sqrt{xyz}[/TEX].

 

[bigbang195]

xét biểu thức
[TEX]S=f(a,b,c)=S_a(b-c)^2+S_b(a-c)^2+S_c(a-b)^2[/TEX]

trong đó [TEX]S_a,S_b,S_c[/TEX] là các hàm số của [TEX]a,b,c[/TEX]

. Chứng minh

1.Nếu [TEX]S_a,S_b,S_c \ge 0[/TEX] thì [TEX]S \ge 0[/TEX]

2.nếu [TEX]a \ge b \ge c[/TEX] thì [TEX]S_b , S_b+S_c , S_b+S_a \ge 0[/TEX] thì [TEX]S \ge 0[/TEX]

3.nếu [TEX]a \ge b \ge c[/TEX] và [TEX]S_a , S_c, S_a+2S_b , S_c+2S_b \ge 0[/TEX] thì [TEX]S \ge 0[/TEX]

4.nếu [TEX]a \ge b \ge c [/TEX]và [TEX]S_b,S_c \ge 0,a^2S_b+b^2S_a \ge 0[/TEX] thì [TEX]S \ge 0[/TEX]

5. nếu [TEX]\sum S_a \ge 0 [/TEX]và [TEX]\sum S_aS_b \ge 0[/TEX] thì [TEX]S \ge 0[/TEX]

Help Me !

vậy cái em chép trong STBDT là thiếu à anh.
ở định lí 3 thì phải có [tex]S_b \le 0[/tex] ạ

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương và [TEX]ab+bc+ca=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{3a^2b^2+1}{c^2+1}+\frac{3b^2c^2+1}{a^2+1}+ \frac{3c^2a^2+1}{b^2+1}\geq 3[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương và [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2}{1+b-a}+\frac{b^2}{1+c-b}+\frac{c^2}{1+a-c}\geq 1[/TEX].

 

[quyenuy0241]

Cho cac số thực a,b,c đôi một khác nhau. Chứng minh:
[TEX]\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+\frac{(b+c)^2}{(b-c)^2}+\frac{(c+a)^2}{(c-a)^2}\geq 2[/TEX].

Đặt
[TEX]\frac{a+b)}{a-b}=x[/tex]
[TEX]\frac{b+c}{b-c}=y[/TEX]
[tex]\frac{c+a}{c-a}=z[/TEX]
Suy ra được:
[tex]\frac{a}{b}=\frac{1+x}{x-1}[/tex]
tương tự: sau đó nhân các BĐT với nhau [tex] \Rightarrow [/tex]ta có
[tex](x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)\Leftrightarrow xy+yz+xz=-1[/tex](1)
Cần CM[tex] x^2+y^2+z^2\ge 2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge -2(xy+yz+xz)[/tex]
Hay [tex](x+y+z)^2\ge 0[/tex](Luôn đúng)

 

[vodichhocmai]

Cho x,y,z dương và [TEX]x^2+y^2+z^2+2xyz=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]x+y+z\geq \frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]\left{x\to 0\\y\to 0\\z\to 1 [/TEX]

[TEX]\righ (x+y+z)\to 1[/TEX]

Suy ra đề sai..............

 

[vodichhocmai]

Cho x,y,z dương và [TEX]x^2+y^2+z^2+2xyz=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]x+y+z\le \frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]x^2+y^2+z^2+2xyz=1[/TEX]

[TEX]\righ x=-yz+\sqrt{(1-y^2)(1-z^2)}\le \frac{2-(y+z)^2}{2} [/TEX]

[TEX]\righ x+y+z\le \frac{2-(y+z)^2+2(x+y)}{2}=\frac{-[(x+y)-1]^2+3}{2}\le \frac{3}{2}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho cac số thực a,b,c đôi một khác nhau. Chứng minh:
[TEX]\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+\frac{(b+c)^2}{(b-c)^2}+\frac{(c+a)^2}{(c-a)^2}\geq 2[/TEX].

[TEX]\left{\frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a}=-1\\x^2+y^2+z^2\ge -2(xy+yz+zx)[/TEX]

P/s anh không thấy bài em Sory

 

[vodichhocmai]

[TEX]a^2+a+1 = (a+1)^2+\frac{3}{4}[/TEX] .

Cho ba số thực không âm [TEX]a,b,c[/TEX] thoả mãn điều kiện [TEX]a+b+c=1[/TEX]

Chứng minh rằng khi đó ta luôn có:
[TEX]\sqrt{13}\le \sum_{cyclic} \sqrt{a^2+a+1}\le \sqrt{3}+2[/TEX]

[TEX]\sqrt{\(x+y+z+\frac{3}{2}\)^2+\(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)^2}\le \sum_{cyclic} \sqrt{a^2+a+1}\le \sum_{cyclic} \[\(\sqrt{3}-1\)a+1\][/TEX]

[TEX]Done!![/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho a,b,c không âm và [TEX]ab+bc+ca=1[/TEX]. Tìm GTLN của:
[TEX]P=\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}[/TEX].

[TEX]a=tan(A/2)\ \ b=tan(B/2)\ \ tan(C/2)[/TEX] hoăc giải theo cách .

[TEX]\frac{1}{a^2+2}\le t\(x-\frac{1}{sqrt{3}}\)+\frac{3}{7}[/TEX]

Hoặc quy đồng mẫu số