[Toán 10]Bdt

[duynhan1]

Cho [tex]a,b,c >0[/tex] và [tex]a+b+c =1[/tex]
[tex]\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+ \frac{1}{ca}\geq 30[/tex]

Từ điều kiện ta suy ra :
[TEX] \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} = \frac{1}{abc} \geq 27[/TEX] (do [TEX]1 \geq 3 \sqrt[3]{abc}[/TEX] )
[TEX] \frac{2}{3ab} + \frac{2}{3bc} + \frac{2}{3ca} \geq 18 [/TEX]

Áp dụng BDT :
[TEX]\frac{a_1 ^2}{b_1} + \frac{a_2 ^2}{b_2} + .....+ \frac{a_n ^2}{b_n} \geq \frac{(a_1 + a_2 +.......+ a_n)^2}{b_1+b_2+.....+b_n} [/TEX]
Cho các số [tex]\frac{1}{a^2+b^2+c^2} ; \frac{1}{3ab} ; \frac{1}{3bc} ; \frac{1}{3ca}[/tex] Ta dễ dàng có điều phải chứng minh.
[tex]\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+ \frac{1}{3ca}\geq \frac{16}{1+ab+bc+ca} \geq \frac{16}{1+\frac{1}{3}(a+b+c)^2} \geq 12 [/tex]
Bài này cũng dễ nhưng phải chú ý đến điểm rơi.
Ở đây ta dự đoán điểm rơi của bài toán là [tex] a=b=c= \frac{1}{3} [/tex] nên ta mới áp dụng BDT như trên.

 

[quyenuy0241]

Các bạn làm bài này nhé:
Cho a,b,c>o với ab+bc+ac=3 CMR
[tex]\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\le1 [/tex]

 

[vodichhocmai]

Các bạn làm bài này nhé:
Cho a,b,c>o với ab+bc+ac=3 CMR
[tex]\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\le1 [/tex]

[TEX]\Leftrightarrow\left{x,y,z>0\\x+y+z=3\\x^2+y^2+z^2+xyz\ge 4[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Các bạn làm bài này nhé:
[tex]\frac{a^2+bc}{(b+c)^2}+\frac{b^2+ac}{(a+c)^2}+ \frac{c^2+ab}{(a+b)^{2}} \geq\frac{3}{2}[/tex]

 

[bigbang195]

Các bạn làm bài này nhé:
[tex]\frac{a^2+bc}{(b+c)^2}+\frac{b^2+ac}{(a+c)^2}+ \frac{c^2+ab}{(a+b)^{2}} \geq\frac{3}{2}[/tex]

giả sử [TEX]a \ge b \ge c[/TEX]
ta chỉ cần CM
[TEX]\sum \frac{2a^2-b^2-c^2}{(b+c)^2} \ge 0[/TEX]
sử dụng BDT chebyshev với 2 bộ

[TEX]2a^2-b^2-c^2 \ge 2b^2-a^2-c^2 \ge 2c^2-a^2-b^2 [/TEX]
[TEX]\frac{1}{(b+c)^2} \ge \frac{1}{(a+c)^2} \ge \frac{1}{(a+b)^2}[/TEX]
ta đc ĐCPM
anh add nick em nhá :taolavanson@yahoo.com

 

[bigbang195]

Cho [tex]a,b,c >0[/tex] và [tex]a+b+c =1[/tex]
[tex]\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+ \frac{1}{ca}\geq 30[/tex]

[TEX]VT \ge \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{7}{ab+bc+ac[/TEX]
[TEX]\ge \frac{9}{(a+b+c)^2}+\frac{21}{(a+b+c)^2} =30[/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]\Leftrightarrow\left{x,y,z>0\\x+y+z=3\\x^2+y^2+z^2+abc\ge 4[/TEX]

Chính là cái cần CM khi quy đồng lên.BDT ngắn Quy Đồng cũng sướng ,hihi
[TEX]a^2+b^2+c^2+abc =(a+b)^2 +c^2 +ab(c-2) \ge_{c=min{{(a,b,c)}}-->c < 2} (3-c)^2+c^2+\frac{(a+b)^2}{4}(c-2) =(3-c)^2+c^2+\frac{(3-c)^2}{4}(c-2) \ge 4 [/TEX]đúng !

 

[dandoh221]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2+2bc}{b+c}+\frac{b^2+2ca}{c+a}+\frac{c^2+2ab}{a+b}\geq \frac{3(a+b+c)}{2}[/TEX].

hic. sai mất oy`. Thôi lần cuối :
Bổ tung ra được BDT tương đương sau :

ĐÚng theo Schur bậc 4 và AM-GM :

 

[bigbang195]

Chính là cái cần CM khi quy đồng lên.BDT ngắn Quy Đồng cũng sướng ,hihi
[TEX]a^2+b^2+c^2+abc =(a+b)^2 +c^2 +ab(c-2) \ge_{c=min{{(a,b,c)}}-->c < 2} (3-c)^2+c^2+\frac{(a+b)^2}{4}(c-2) [/TEX]
[TEX]=(3-c)^2+c^2+\frac{(3-c)^2}{4}(c-2) \ge 4[/TEX]
đúng !

Cách 2
nó chính là bài quen thuộc
[TEX]a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)[/TEX]
suy ra [TEX] 2a^2+2b^2+2c^2+2abc\geq (a+b+c)^2-1[/TEX]
và điều kiện nữa là xong

 

[bigbang195]

Dùng Cauchy-Schwarz :

giờ ta cần CM :

Đây chính là Bdt Schur mà

[TEX]\Leftrightarrow2(a+b+c)^3 \ge 9\sum ab(a+b)[/TEX]

[TEX]2(\sum a^3+3\sum ab(a+b)+6abc \ge 9\sum ab(a+b)[/TEX]
hay
[TEX]2\sum a^3+6abc \ge 5\sum ab(a+b)[/TEX]
[TEX]SCHUR???[/TEX]

 

[bigbang195]

BĐT _đề tài vô hạn

đây là thi chọn đội tuyển học sinh giỏi
1.Cho 3 số thực nguyên dương x,z,y thoả mãn x+y+z+1=4xyz
CMR:xy+yz+xy[tex]\geq x+y+z[/tex]

2.cho a,b,c là số nguyên khác 0 thoả mãn
[TEX]\left{\begin{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \in Z}\\{\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{A}\in Z} [/TEX]
CMR:[tex]\frac{3a^4}{b^2}+\frac{2b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}-4|a|-3|b|-2|c|\geq 0[/tex]

3.Cho a,b,c >0
CMR:[tex]\frac{(a-b-c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(b-c-a)^2}{2b^2+(a+c)^2}+\frac{(c-a-b)^2}{2c^2+(b+a)^2}\geq \frac{1}{2}[/tex]


4.Cho a,b,c là các số không âm phân biệt
CMR:[tex](a^2+b^2+c^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]\geq \frac{11+5\sqrt{5}}{2}[/tex]


5.Cho a,b,c>0
CMR:
[tex]\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2[/tex]


6.Cho [tex]x,y,z \geq 0[/tex] thoả mãn x+y+z=1
Tìm Min
P=[tex]\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1-y}{1+y}}+\sqrt{\frac{1-z}{1+z}}[/tex]


7.Cho a,b,c là 3 số nguyên dương thay đổi
tìm Max
P=[tex]\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ac}}{b+3\sqrt{ac}}+\frac{\sqrt{ba}}{c+3\sqrt{ba}}[/tex]


8.cho a,b,c là những số thực dương sao cho a+b+c=3
Tìm Min
P=[tex]\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}[/tex]

9.cho các số thực thoả mãn
[TEX]\left{\begin{x\geq y\geq x\geq 1}\\{2y+3z \geq 6}\\{11x+27z \geq 54} [/TEX]
Tìm Max
P=[tex]\frac{1}{x^2}+\frac{2008}{y^2}+\frac{2009}{z^2}[/tex]


10.cho x,y,z>0
Tìm Min
P=[tex]\frac{x^7z}{x^5y^2z+2y^6}+\frac{y^7x^6}{y^5z^4+2x}+\frac{1}{z^2x^2+2x^6y^7}[/tex]

Lục cái này lên =))=))=))
Bài 1:
[TEX]x+y+z+1=4xyz \Rightarrow 2x+2y+2z+2=(2x).(2y).(2z)[/TEX]
đặt [TEX]2x=a,2y=b,2z=c [/TEX] ta có [TEX]a+b+c+2=abc [/TEX]nên
[TEX](a+1)(b+1)+(a+1)(c+1)+(b+1)(c+1)=(a+1)(b+1)(c+1)[/TEX]
hay
[TEX]\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1[/TEX]
đặt[TEX] \frac{1}{a+1}=m,\frac{1}{b+1}=n,\frac{1}{c+1}=1=p[/TEX]nên từ [TEX]\frac{1}{a+1}=m \Rightarrow am+m=1\Rightarrow a=\frac{1-m}{m}=\frac{n+p}{m}[/TEX]
tương tự [TEX]b=\frac{m+n}{p},c=\frac{m+p}{n}[/TEX]
lắp vào CM BDT ban đầu

 

[bigbang195]

Bài 6 áp dụng Am-G trực tiếp ta đc
[TEX](m+n)(p+n)(m+p) \ge 8mnp [/TEX]>-

 

[bigbang195]

Bài dễ mà lại khó nè, giải Cực hay luôn
[TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX](a+b)(b+c)(a+c)=8[/TEX]
chứng minh
[TEX]\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[27]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}[/TEX]

 

[bigbang195]

Bài dễ mà lại khó nè, giải Cực hay luôn
[TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX](a+b)(b+c)(a+c)=8[/TEX]
chứng minh
[TEX]\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[27]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}[/TEX]

Giải luôn vậy
ta có :
[TEX](a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+24=(a^3+b^3+c^3)+3+3+...3\ge \sqrt[9]{(a^3+b^3+c^3).3^8}[/TEX]
ĐPCM
dễ ko )))
mọi ngươi thanks nhá))

 

[bigbang195]

cho [TEX]a,b,c>0[/TEX]
và [TEX]a+b+c=3[/TEX] chứng minh
[TEX]\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1} \ge \frac{3}{2}[/TEX]

 

[quyenuy0241]

cho [TEX]a,b,c>0[/TEX]
và [TEX]a+b+c=3[/TEX] chứng minh
[TEX]\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1} \ge \frac{3}{2}[/TEX]

ta có
[tex]\frac{a}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}[/tex] (AM-GM)
Tương tự với Cm những bđt khác
do [tex]3(ab+bc+ac) \leq(a+b+c)^2[/tex]
Cộng các BĐT suy ra DPcm

 

[bigbang195]

ta có
[tex]\frac{a}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}[/tex] (AM-GM)
Tương tự với Cm những bđt khác
do [tex]3(ab+bc+ac) \leq(a+b+c)^2[/tex]
Cộng các BĐT suy ra DPcm

hay quá anh.Anh cho thêm bài cho topic đi anh, giờ em phải đi học ùi
[TEX]a,b,c>0,a+b+c=3[/TEX]
chứng minh:
[TEX]\sum \frac{1}{2+a^2+b^2} \ge \frac{3}{4}[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Làm bài này nhé
Cho a,b,c>o và a+b+c=1
CMR
[tex]\frac{ab+ac+bc}{a^2.b^2+a^2.c^2+b^2.a^2}\geq 8(a^2+b^2+c^2)[/tex]

 

[vodichhocmai]

Làm bài này nhé
Cho a,b,c>o và a+b+c=1
CMR
[tex]\frac{ab+ac+bc}{a^2.b^2+a^2.c^2+b^2.a^2}\geq 8(a^2+b^2+c^2)[/tex]

Con số [TEX]8[/TEX] trong đề hơi yếu thì phải ............,,,,,,,,,,,,,,,,

 

[bigbang195]

Làm bài này nhé
Cho a,b,c>o và a+b+c=1
CMR
[tex]\frac{ab+ac+bc}{a^2.b^2+a^2.c^2+b^2.a^2}\geq 8(a^2+b^2+c^2)[/tex]

[TEX]\left\{\\ a+b+c=1\\ ab+bc+ac=q\\ (ab)^2+(bc)^2+(ac)^2=q^2-2abc(a+b+c)=q^2-2abc\\a^2+b^2+c^2=1-2q[/tex]
cần CM
ta có [TEX]q^2 \ge q^2-2abc [/TEX]nên chỉ cần CM
[TEX]q \ge 8q^2(1-2q) \Leftrightarrow 1 \ge 8q(1-2q) \Leftrightarrow 16q^2-8q+1 \ge 0\Leftrightarrow (4q-1)^2 \ge 0 [/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi
[TEX]a=b=\frac{1}{2},c=0[/TEX] và các hoán vị