[Toán 10]Bdt

[bigbang195]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương Chứng Minh :
[TEX]\frac{a+b+c}{ab+bc+ac} \ge \frac{a}{a^2+bc} + \frac{b}{b^2+ac} +\frac{c}{c^2+ab}[/TEX]

 

[rooney_cool]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương Chứng Minh :
[TEX]\frac{a+b+c}{ab+bc+ac} \ge \frac{a}{a^2+bc} + \frac{b}{b^2+ac} +\frac{c}{c^2+ab}[/TEX]

Giả sử [TEX]a\geq b \geq c[/TEX]
Ta cần chứng minh

[TEX]\frac{a}{{ab + bc + ac}} \ge \frac{a}{{a^2 + bc}}[/TEX] hay là [TEX]ab + bc + ac \leq a^2+bc \Leftrightarrow b + c \leq a^2 !!![/TEX]

 

[mathstarofvn]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương Chứng Minh :
[TEX]\frac{a+b+c}{ab+bc+ac} \ge \frac{a}{a^2+bc} + \frac{b}{b^2+ac} +\frac{c}{c^2+ab}[/TEX]

ta có:
[tex] \sum \frac{a}{ab+bc+ca}-\sum \frac{a}{a^2+2bc}=\sum \frac{a(a-b)(a-c)}{(ab+bc+ca)(a^2+2bc)}[/tex]
Giả sử:[tex] a \ge b \ge c \Rightarrow \frac{c(c-b)(c-a)}{(ab+bc+ca)(c^2+2ba)} \geq 0[/tex]
Giờ ta cần cm:[tex] \frac{a(a-b)(a-c)}{(ab+bc+ca)(a^2+2bc)}+\frac{b(b-c)(b-a)}{(ab+bc+ca)(b^2+2ca)}[/tex]
Qui đòng rùi phân tích cái này là đc tử số là 1 số ko âm!

 

[namtuocvva18]

columbia 2001

Cho các số thực x,y. Chứng minh:
[TEX]3(x+y+1)^2+1\geq 3xy[/TEX].

 

[namtuocvva18]

DH Ngoai Thương Hà Nội 1995

Cho x,y dương và [TEX]x+y\leq 1[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy[/TEX].

 

[rooney_cool]

Cho x,y là các số thực không âm thỏa mãn [TEX]x^2 + y^2 \leq 1[/TEX]

Tính MAX [TEX]64\sqrt{x}+\sqrt{y}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho x,y là các số thực không âm thỏa mãn [TEX]x^2 + y^2 \leq 1[/TEX]

Tính MAX [TEX]64\sqrt{x}+\sqrt{y}[/TEX]

Gọi [TEX]l[/TEX] là trọng số điều chỉnh .[TEX]l>0[/TEX]

[TEX]\left{a^4+a^4\le 1\\ T=64a+b[/TEX]

[TEX](a^4+b^4)(l^4+1)(l^4+1)(l^4+1)\ge (a.l^3+b)^4=(64a+b)^4[/TEX]

[TEX]\righ l=4[/TEX]

Suy ra gtln dễ dàng.

 

[rooney_cool]

Với a,b,c >0. CMR

[TEX]a + b + c + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 4\left( {\frac{a}{{1 + ab}} + \frac{b}{{1 + bc}} + \frac{c}{{1 + ac}}} \right)[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Hô hô bài này cũng không quá khó :
áp dụng Bất Đẳng thức:
[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq\frac{4}{x+y}[/tex]
với thay x=a và [tex]y=\frac{1}{b}[/tex]
tương tự với các cặp còn lại rùi cộng các BĐT vào suy dpcm

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh:
[TEX]a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho các số thực a,b,c và [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]. Tìm GTLN, GTNN của:
[TEX]P=a^3+b^3+c^3-3abc[/TEX].

 

[namtuocvva18]

De thi HSG quoc giá 1994

Cho các số thực a,b,c,d và [TEX]ad-bc=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX] a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\geq \sqrt{3}[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2+2bc}{b+c}+\frac{b^2+2ca}{c+a}+\frac{c^2+2ab}{a+b}\geq \frac{3(a+b+c)}{2}[/TEX].

 

[bigbang195]

Với a,b,c >0. CMR

[TEX]a + b + c + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 4\left( {\frac{a}{{1 + ab}} + \frac{b}{{1 + bc}} + \frac{c}{{1 + ac}}} \right)[/TEX]

Chứng mnh rất đơn giản = cauchy-Schwarz
[TEX]a+\frac{1}{b}=a(\frac{1}{1}+\frac{1}{ab})\ge a.\frac{4}{1+ab}[/TEX]

làm tương tự ta đc DPCM

 

[quyenuy0241]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2+2bc}{b+c}+\frac{b^2+2ca}{c+a}+\frac{c^2+2ab}{a+b}\geq \frac{3(a+b+c)}{2}[/TEX].

Bài này mình không chắc đúng nếu sai các bạn sửa giùm nha!!!! Thank !!
Không mất tính tổng quát giả sử
[tex] a \geq b\geq c[/tex] khi đó :
[tex]a^2+2bc\geq b^2+2ac \geq c^2+2ab[/tex]
[tex]\frac{1}{b+c}\geq\frac{1}{a+c}\geq\frac{1}{a+b}[/tex]
ÁP dụng BĐT Chebyshev
Suy ra [tex] 3 VT\geq(a+b+c)^2. (\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b})[/tex]
mà [tex]\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\geq\frac{1}{2.(a+b+c)}[/tex]
Từ đó suy ra đpcm

 

[rua_it]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh:
[TEX]a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0(1)[/TEX].

Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB,BC,CA lần lượt tại M,N,P
Đặt [TEX]\left{\begin{AM=AP=x}\\{BM=BN=y}\\{CN=CP=z}[/TEX]
[tex]\Rightarrow \left{\begin{BC=y+z}\\{AC=x+z}\\{AB=x+y}[/tex]
Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
[tex](y+z)^2.(x+z).(y-x)+(x+z)^2(x+y)(z-y)+(x+y)^2(y+z)(x-z) \geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow y^3z+z^3x+x^2y \geq x^2yz+y^2xz+z^2xy=xyz(x+y+z)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{z} \geq x+y+z(*)[/tex]
Mặt khác, theo Bunyakovsky, ta có:
[tex](x+y+z)^2 \leq (x+y+z)(\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{z})[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{z} \geq x+y+z[/tex]
[tex]\Rightarrow (*)[/tex] đúng \Rightarrow (1) đúng

 

[bigbang195]

Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB,BC,CA lần lượt tại M,N,P
Đặt [TEX]\left{\begin{AM=AP=x}\\{BM=BN=y}\\{CN=CP=z}[/TEX]
[tex]\Rightarrow \left{\begin{BC=y+z}\\{AC=x+z}\\{AB=x+y}[/tex]
Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
[tex](y+z)^2.(x+z).(y-x)+(x+z)^2(x+y)(z-y)+(x+y)^2(y+z)(x-z) \geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow y^3z+z^3x+x^2y \geq x^2yz+y^2xz+z^2xy=xyz(x+y+z)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{z} \geq x+y+z(*)[/tex]
Mặt khác, theo Bunyakovsky, ta có:
[tex](x+y+z)^2 \leq (x+y+z)(\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{z})[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{z} \geq x+y+z[/tex]
[tex]\Rightarrow (*)[/tex] đúng \Rightarrow (1) đúng

làm mấy cái như thế này
[TEX]y^3z+y^3z+x^2yz+x^2yz \ge 4x^2yz[/TEX]

 

[rua_it]

Cho các số thực a,b,c,d và [TEX]ad-bc=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX] a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\geq \sqrt{3}[/TEX].

Ta có:
[tex]\sqrt{1+(ac+bd)^2}=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} \leq \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 2.\sqrt{1+(ac+bd)^2}[/tex]
Do đó ta chỉ cần phải chứng minh [tex]2\sqrt{1+(ac+bd)^2}+ac+bd \geq \sqrt{3}(1)[/tex] là đủ.
Thật vậy, đặt [tex]x=ac+bd \Rightarrow (1) \Leftrightarrow 2.\sqrt{1+x^2}+x[/tex]
[tex]\Rightarrow (2.\sqrt{1+x^2}+x)^2=x^2+4+4x^2+4x.\sqrt{1+x^2}=(2x+\sqrt{1+x})^2+3 \geq 3 [/tex]
[tex]\Rightarrow 2.\sqrt{1+x^2}+x \geq \sqrt{3} \Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\geq \sqrt{3}(dpcm)[/tex]

 

[bigbang195]

Cho a,b,c duong. Chung minh:
[TEX]\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}\leq \frac{3}{4}[/TEX].

cần CM
[TEX]\sum \frac{3\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}} \le \frac{9}{4}[/TEX]
hay
[TEX] \sum \frac{a}{a+3\sqrt{bc}} \ge \frac{3}{4}[/TEX]
ta có
[TEX]\sum \frac{a}{a+3\sqrt{bc}} \ge \frac{(\sum \sqrt{a})^2}{(\sum \sqrt{a})^2+\sum \sqrt{ab}} \ge \frac{3}{4}[/TEX]

 

[rua_it]

Cho [tex]a,b,c >0[/tex] và [tex]a+b+c =1[/tex]
[tex]\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+ \frac{1}{ca}\geq 30[/tex]