[Toán 10]Bdt

[vuanoidoi]

1/ Bài này cũng khó lắm nè:
Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn x+y+z=3
CM:6xyz+5([TEX]x^2+y^2+z^2)\geq21[/TEX]

Giả sử:$$x \ge y \ge z$$
$$f(x,y,z) \ge f(t,t,z)$$ với $$t=\frac{x+y}{2}$$
đến đây thay $$x+y=3-z$$ để CM $$f(t,t,z) \ge 21$$

 

[ivory]

cho $$a,b,c$$ là các số thực thoả mãn:$$a,b,c\in [0,\sqrt{3}-1]$$ và $$a^2+b^2+c^2+2abc=1$$. Chứng minh:
$$3(a+b+c)-4abc \ge 4$$

 

[legendismine]

Cho 3 số thực a,b,c.C/m:
[TEX]\sum_{cyc}\frac {a^2}{b+c}\ge \frac {\sqrt {3(a^2+b^2+c^2)}}{2}[/TEX]

 

[legendismine]

Cho [TEX]x1,x2,x3.....[/TEX] la n số dương thoả mãn dk:
[TEX]\sum_{cyc}\frac{1}{1+x1^2}=1[/TEX]
Chứng minh rằng:
[TEX]\sum_{cyc}x1\ge (n-1)(\sum_{cyc}\frac {1}{x1})[/TEX]

 

[vuanoidoi]

Cho 3 số thực a,b,c.C/m:
[TEX]\sum_{cyc}\frac {a^2}{b+c}\ge \frac {\sqrt {3(a^2+b^2+c^2)}}{2}[/TEX]

chuẩn hoá:$$a^2+b^2+c^2=3$$
ta chỉ cần CM: [TEX]\sum_{cyc}\frac {a^2}{b+c}\ge \frac{3}{2} [/tex] với :$$a^2+b^2+c^2=3$$
DONE!

 

[quyenuy0241]

bạn có thể giải cụ thể hơn không ghi như thế này mình không hiểu cho lắm cũng như các bạn đọc

Giả sử : $$a \ge b \ge c \Rightarrow \frac{1}{c+b} \ge \frac{1}{a+c} \ge \frac{1}{a+b}$$.

Áp Dụng BDT Chebyshev:

$$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b} \ge \frac{1}{3}.(a^2+b^2+c^2).(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \ge \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{2(a+b+c)} \ge \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}$$

 

[legendismine]

Giả sử : $$a \ge b \ge c \Rightarrow \frac{1}{c+b} \ge \frac{1}{a+c} \ge \frac{1}{a+b}$$.

Áp Dụng BDT Chebyshev:

$$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b} \ge \frac{1}{3}.(a^2+b^2+c^2).(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \ge \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{2(a+b+c)} \ge \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}$$

Ui zoi anh pro wa chém thêm bài nữa anh.Cho a,b,c la các số thực dương C/m:
[TEX]\sum_{cyc}\frac{\sqrt {a+b}}{c}\ge \frac {4(a+b+c)}{\sqrt{\prod_{i=1}^{n}(a+b)}}[/TEX]

 

[vuanoidoi]

cho $$a,b,c$$ là các số thực thoả mãn:$$a,b,c\in [0,\sqrt{3}-1]$$ và $$a^2+b^2+c^2+2abc=1$$(*). Chứng minh:
$$3(a+b+c)-4abc \ge 4$$

đặt : $$a+b+c=p;ab+ac+bc=q;abc=r$$
$$(*)=>p^2-2q+2r=1(**)$$
$$<=> \frac{2}{27}p^3+\frac{p^2}{3} \ge p^2-2q+2r=1$$
$$<=> (p-\frac{3}{2})(p+3)^2 \ge 0$$
$$<=> p \ge \frac{3}{2}$$
.....$$3p-4r= 3(a+b+c)-4abc \ge 4$$
$$<=>3p-4q+2p^2-2 \ge 4$$ (do (**))
$$<=> 3p-4q+2p^2-2 \ge \frac{2}{3}p^2+3p \ge 4$$
$$<=> \frac{2}{3}p^2+3p-6 \ge 0$$
$$<=> (p-\frac{3}{2})(p+6) \ge 0$$ (luôn Đ!)
DONE!!

bạn giải sai rồi xem lại đi có thể bạn đã nhầm hãy giải lại đi

với bước chuẩn hoá ta chưa trải qua dấu $$\ge$$ nào nên ko sai
đến đó mình cũng chưa thử nhưng chắc BĐT mới sẽ đúng nế ko đề sai
hình như cái đoá áp dụng SOS hoặc CS thì phải

 

[quyenuy0241]

$$<=> (p-\frac{3}{2})(p+6) \ge 0$$ (luôn Đ!)

DONE!!

$$p \ge \frac{3}{2}$$



Sai!.

Nếu em học lượng giác roài thì từ điều kiện có thể đặt: $$a=cosA\\b=cosB\\c=cosC$$

$$p=a+b+c=cosA+cosB+cosC \le \frac{3}{2}$$

 

[deltano.1]

Cho [TEX]a+b\geq{1}[/TEX]
cm:[TEX]a^3+b^3\geq{\frac{1}{4}}[/TEX]
giai dum bai nay di thanks nhiu

2. Chứng minh bất đẳng thức
cho [TEX]a+b\geq{1}[/TEX]
cm :[TEX]a^8+b^8\geq\frac{1}{128}[/TEX]

 

[legendismine]

Cho [TEX]a+b\geq{1}[/TEX]
cm:[TEX]a^3+b^3\geq{\frac{1}{4}}[/TEX]
giai dum bai nay di thanks nhiu

[TEX] a+b\ge 1<=>a\ge 1-b<=>a^3+b^3\ge 3b^2-3b+1\ge \frac {1}{4}[/TEX]

2. Chứng minh bất đẳng thức với a,b,c >0 và a,b,c <1
[TEX]\frac{a}{b^3+c^3+7} + \frac{b}{c^3+a^3+7} + \frac{c}{b^3+a^3+7}\leq \frac{1}{3}[/TEX]

Đề sai rồi bạn ơi.... dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1.........................

 

[0915549009]

Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]a+b+c=1[/TEX]
CMR: [TEX]a^3+b^3+c^3\geq(a^2+b^2+c^2)^2[/TEX]

 

[son_9f_ltv]

Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]a+b+c=1[/TEX]
CMR: [TEX]a^3+b^3+c^3\geq(a^2+b^2+c^2)^2[/TEX]

[TEX]cauchy-schwarz LHS=(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\ge (a^2+b^2+c^2)^2[/TEX]

 

[legendismine]

Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]a+b+c=1[/TEX]
CMR: [TEX]a^3+b^3+c^3\geq(a^2+b^2+c^2)^2[/TEX]

Bài này dùng bunhia thôi ma`:S [TEX](\sum_{cyc}a^3)(\sum_{cyc}a)\ge (\sum_{cyc}a^2)[/TEX]

 

[duynhan1]

Cho [TEX]a+b\geq{1}[/TEX]
cm:[TEX]a^3+b^3\geq{\frac{1}{4}}[/TEX]
giai dum bai nay di thanks nhiu

2. Chứng minh bất đẳng thức
cho [TEX]a+b\geq{1}[/TEX]
cm :[TEX]a^8+b^8\geq\frac{1}{128}[/TEX]

[TEX]a^3 + \frac18 + \frac18 \geq {\frac34} a[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a^3 + b^3 \geq \frac34 (a+b) - \frac12 = \frac14 [/TEX]

Bài 2 tương tự :

[TEX]a^8 + \frac{7}{2^8} \geq \frac{8}{2^7} a = \frac{1}{2^4} a[/TEX]

.....

 

[quyenuy0241]

Cho [TEX]a+b\geq{1}[/TEX]
cm:[TEX]a^3+b^3\geq{\frac{1}{4}}[/TEX]
giai dum bai nay di thanks nhiu

2. Chứng minh bất đẳng thức
cho [TEX]a+b\geq{1}[/TEX]
cm :[TEX]a^8+b^8\geq\frac{1}{128}[/TEX]

$$a^8+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^8}+ \frac{1}{2^8}+ \frac{1}{2^8}+ \frac{1}{2^8} + \frac{1}{2^8}\ge \frac{8a}{2^7}$$

$$b^8+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^8}+ \frac{1}{2^8}+ \frac{1}{2^8}+ \frac{1}{2^8}+ \frac{1}{2^8} +\frac{1}{2^8 }\ge \frac{8b}{2^7}$$

Cộng Vế suy ra đc điều phải chứng minh

 

[legendismine]

$$a^8+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^8}+ \frac{1}{2^8}+ \frac{1}{2^8} + \frac{1}{2^8}\ge \frac{8a}{2^7}$$

$$b^8+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^8}+ \frac{1}{2^8}+ \frac{1}{2^8} \ge \frac{8b}{2^7}$$

Cộng Vế suy ra đc điều phải chứng minh

anh thử làm mu~ 1000 đi bài này c/m dạng tổng wat rồi làm cho nhanh a a`.Dạng tổng wat co dag:
[TEX]a^k+b^k\ge \frac {(a+b)^k}{(2)^{k-1}}[/TEX]

 

[duynhan1]

anh thử làm mu~ 1000 đi bài này c/m dạng tổng wat rồi làm cho nhanh a a`.Dạng tổng wat co dag:
[TEX]a^k+b^k\ge \frac {(a+b)^k}{(2)^{k-1}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (2^{k-1})(a^k + b^k) \geq (a+b)^k [/TEX]

Áp dụng [TEX]Holder[/TEX] cho [TEX]k-1[/TEX] bộ số [TEX](1;1)[/TEX] và bộ số [TEX](a^k; b^k)[/TEX] ta có điều phải chứng minh

 

[vuanoidoi]

$$p \ge \frac{3}{2}$$



Sai!.

Nếu em học lượng giác roài thì từ điều kiện có thể đặt: $$a=cosA\\b=cosB\\c=cosC$$

$$p=a+b+c=cosA+cosB+cosC \le \frac{3}{2}$$

hi` hi` e hơi lộn :"> :"> :"> :"> :"> :"> ..................
@:e còn dag vỡ mặt vs véc tơ

 

[deltano.1]

1.Cho[TEX]a,b,c\geq{1}[/TEX].CMR
[TEX]\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leq\sqrt{c(ab+1)}[/TEX]
2.Cho a,b,c là các số thực dương thoã mãn đk abc=1.CMR
[TEX]\frac{1+ab^2}{c^3}+\frac{1+bc^2}{a^3}+\frac{1+ca^2}{b^3}\geq\frac{18}{a^3+b^3+c^3}[/TEX]