[Toán 10]Bdt

[duynhan1]

Đặt: [tex] \frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z[/tex]
ta cần CM:[tex]\sum\frac{1}{x}+\sum{x^2}+15 \ge 4\sum\frac{1}{xy} [/tex]
Có lẽ công việc CM giảm đi 50% rồi nhỉ |

ta cần CM :
[tex]\sum\frac{1}{x}+\sum{x^2}+15 \ge 4\sum\frac{y}{x} [/tex] chứ nhỉ, mà cái này giống ban đầu

 

[deltano.1]

1/Cho a,b,c>0 .CMR
[TEX](\frac{a}{a+b})^2+(\frac{b}{b+c})^2+(\frac{c}{c+a})^2\geq\frac{3}{4}+\frac{a^2b+b^2c+c^2a-3abc}{(a+b)(a+c)(b+c)}[/TEX]
2/Cho tam giác ABC(p là nửa chu vi).CMR:
[TEX]\frac{a}{p-a}+\frac{b}{p-b}+\frac{c}{p-c}\geq\sqrt{\frac{a+b}{p-c}}+\sqrt{\frac{b+c}{p-a}}+\sqrt{\frac{a+c}{p-b}}[/TEX]

 

[duynhan1]

2/Cho tam giác ABC(p là nửa chu vi).CMR:
[TEX]\frac{a}{p-a}+\frac{b}{p-b}+\frac{c}{p-c}\geq\sqrt{\frac{a+b}{p-c}}+\sqrt{\frac{b+c}{p-a}}+\sqrt{\frac{a+c}{p-b}}[/TEX]

[TEX]x = p-a ; y = p - b ; z = p-c[/TEX]

[TEX]BDT \Leftrightarrow \sum \frac{y+z}{x} \geq \sum \sqrt{\frac{x+y+2z}{z}}[/TEX]

[TEX]Set : P = VT \Rightarrow P \geq 6[/TEX]

[TEX]VP \leq \sqrt{3(P + 6 )} [/TEX]

Cần chứng minh :

[TEX]P^2 \geq 3 P + 18 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (P-6)(P+3) \geq 0[/TEX]( Luôn đúng)

BDT được chứng minh

 

[vuanoidoi]

1/Cho a,b,c>0 .CMR
[TEX](\frac{a}{a+b})^2+(\frac{b}{b+c})^2+(\frac{c}{c+a})^2\geq\frac{3}{4}+\frac{a^2b+b^2c+c^2a-3abc}{(a+b)(a+c)(b+c)}[/TEX]

Đặt:[tex] \frac{a}{a+b}=x;\frac{b}{b+c}=y;\frac{c}{c+a}=z [/tex]
BĐT:[tex] <=> x^2+y^2+z^2 \ge \frac{3}{4} +xy+yz+xz -6xyz [/tex]
có lẽ công việc CM giảm đi 50% |

 

[vuanoidoi]

ta cần CM :
[tex]\sum\frac{1}{x}+\sum{x^2}+15 \ge 4\sum\frac{y}{x} [/tex] chứ nhỉ, mà cái này giống ban đầu

a` a` em hơi lộn 1 chút chút :">
e e nghĩ đặt như thế chắc quy đồng sẽ tiện tiện lợi lợi hơn )

ta cần CM :
[tex]\sum\frac{1}{x}+\sum{x^2}+15 \ge 4\sum\frac{y}{x} [/tex] chứ nhỉ, mà cái này giống ban đầu

nó nó khác khác cái cái ban ban đầu đầu đấy đấy chứ chứ a a

 

[duynhan1]

1,
[TEX]a,b,c > 0 ; abc \geq 1[/TEX]

[TEX]CM: \ \ a+b+c \ge \frac{1+a}{1+b} + \frac{1+b}{1+c} + \frac{1+c}{1+a}[/TEX]

2,
[TEX]x,y,z>0[/TEX]

[TEX]CM: \ \ xyz+2(x^2 + y^2 + z^2 ) +8 \geq 5(x+y+z)[/TEX]

 

[legendismine]

1,
[TEX]a,b,c > 0 ; abc \geq 1[/TEX]

[TEX]CM: \ \ a+b+c \ge \frac{1+a}{1+b} + \frac{1+b}{1+c} + \frac{1+c}{1+a}[/TEX]

2,
[TEX]x,y,z>0[/TEX]

[TEX]CM: \ \ xyz+2(x^2 + y^2 + z^2 ) +8 \geq 5(x+y+z)[/TEX]

Bài 1 :
Sau khi wu đồng ta có:
[TEX]a^2b+b^2c+c^2a\ge 3[/TEX]mà [TEX]abc\ge 1[/TEX]=>Done!!!!

 

[dandoh221]

1,
[TEX]a,b,c > 0 ; abc \geq 1[/TEX]

[TEX]CM: \ \ a+b+c \ge \frac{1+a}{1+b} + \frac{1+b}{1+c} + \frac{1+c}{1+a}[/TEX]

2,
[TEX]x,y,z>0[/TEX]

[TEX]CM: \ \ xyz+2(x^2 + y^2 + z^2 ) +8 \geq 5(x+y+z)[/TEX]

Bài 2 này :-? nên dùng pqr hay biến đổi thành đồng bậc đây :-?:-?

 

[tell_me_goobye]

1,
[TEX]a,b,c > 0 ; abc \geq 1[/TEX]

[TEX]CM: \ \ a+b+c \ge \frac{1+a}{1+b} + \frac{1+b}{1+c} + \frac{1+c}{1+a}[/TEX]

2,
[TEX]x,y,z>0[/TEX]

[TEX]CM: \ \ xyz+2(x^2 + y^2 + z^2 ) +8 \geq 5(x+y+z)[/TEX]

BÀI 2 SỬ DỤNG SCHUR

[TEX]12(x^2+y^2+z^2)+6xyz+48-30(x+y+z) [/TEX]
[TEX]=12(x^2+y^2+z^2)+3(2xyz+1)+45- 5.2.3(x+y+z) [/TEX]
[TEX]\geq 12(x^2+t^2+z^2) +3\sqrt[3]{(xyz)^2}-5[(x+y+z)^2+9][/TEX]
[TEX]= 7(x^2+y^2+z^2) + \frac{9xyz}{\sqrt[3]{xyz}}-10(xy+yz+xz) [/TEX]
[TEX]\geq 7(x^2+y^2+z^2) +\frac{27}{x+y+z} -10(xy+yz+xz) (1)[/TEX]

TA CÓ
[TEX]\frac{9abc}{a+b+c} \geq 4(ab+bc+ac)-(a+b+c)^2 =2(ab+cb+ac)-(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
ĐPCM TƯƠNG ĐƯƠNG

[TEX]VT(1) \geq 7(x^2+y^2+z^2)+6(xy+yz+xz)-3(x^2+y^2+z^2)-10(xy+yz+xz) [/TEX]
[TEX] =4(x^Z2+y^2+z^2-xy-xz-yz) [/TEX]
điều này luôn đúng
hoàn tất(nhớ cảm ơn nhiệt tình nhá )

 

[quyenuy0241]

1,
[TEX]a,b,c > 0 ; abc \geq 1[/TEX]

[TEX]CM: \ \ a+b+c \ge \frac{1+a}{1+b} + \frac{1+b}{1+c} + \frac{1+c}{1+a}[/TEX]

[tex]\frac{ab-1}{b+1}+\frac{bc-1}{c+1}+\frac{ac-1}{a+1} \ge 0 \\ \frac{ab+b}{b+1}+\frac{ac+a}{a+1}+\frac{bc+c}{c+1} \ge 3[/tex]

AM-GM trực tiếp :

[tex]VT \ge 3\sqrt[3]{abc} \ge 3 [/tex]

 

[duynhan1]

Cho các số thực [TEX]x,y,z [/TEX] thỏa [TEX]x^2 + y^2 + z^2 = 1 [/TEX] TÌm max:
[TEX]x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz[/TEX]


Cho các số thực dương [TEX]a,b,c [/TEX] thỏa [TEX]abc=2[/TEX]. Chứng minh :
[TEX] \sum a^3 \geq \sum a\sqrt{b+c} [/TEX]

 

[legendismine]

Cho các số thực [TEX]x,y,z [/TEX] thỏa [TEX]x^2 + y^2 + z^2 = 1 [/TEX] TÌm max:
[TEX]x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz[/TEX]


Cho các số thực dương [TEX]a,b,c [/TEX] thỏa [TEX]abc=2[/TEX]. Chứng minh :
[TEX] \sum a^3 \geq \sum a\sqrt{b+c} [/TEX]

Bài 2:
[TEX]VP^2\le 2(a^2+b^2+c^2)(b+c+a)\le 6(a^3+b^3+c^3)[/TEX]
Mà [TEX]a^3+b^3+c^3\ge 6[/TEX] \Leftrightarrowdpcm

 

[dandoh221]

Cho các số thực [TEX]x,y,z [/TEX] thỏa [TEX]x^2 + y^2 + z^2 = 1 [/TEX] TÌm max:
[TEX]x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz[/TEX]


Cho các số thực dương [TEX]a,b,c [/TEX] thỏa [TEX]abc=2[/TEX]. Chứng minh :
[TEX] \sum a^3 \geq \sum a\sqrt{b+c} [/TEX]

Bài 1 :[TEX]P = x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz) = (x+y+z)[\frac{3}{2}(x^2+y^2+z^2)-\frac{1}{2}(x+y+z)^2) = \frac{1}{2}(x+y+z)(3-(x+y+z)^2)[/TEX]
[TEX]P^2 = \frac{1}{4}.\frac{1}{2}.2(x+y+z)^2.[3-(x+y+z)^2][3-(x+y+z)^2] \le \frac{1}{8}. [\frac{6+2(x+y+z)^2-2(x+y+z)^2}{3}]^3 = 1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P \le 1[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi : [TEX]x+y+z = 1, x^2+y^2+z^2 = 1[/TEX] ;. Chẳng hạn x=1,y=0,z=0

 

[duynhan1]

Next--->
1.
[TEX]a,b,c >0 \ \ a+b+c=1.\ \ CM: [/TEX]

[TEX]5(a^2 + b^2 + c^2 ) \leq 6(a^3+ b^3+ c^3) + 1[/TEX]



2.
[TEX]a,b,c >0 \ \ abc=1[/TEX]. Chứng minh :

[TEX]\sum \frac{a}{b} \ge a+b+c[/TEX]

 

[c_c]

1.[TEX]a,b,c >0 \ \ a+b+c=1.\ \ CM: [/TEX]
[TEX]5(a^2 + b^2 + c^2 ) \leq 6(a^3+ b^3+ c^3) + 1[/TEX]

[tex]<=> 5[(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)] \le 6(a+b+c)[(a+b+c)^2-3(ab+ac+bc)]+1+18abc [/tex]
[tex]<=>5[1-2(ab+ac+bc)] \le 6[1-3(ab+ac+bc)] +1+18abc [/tex]
[tex] <=>8(ab+ac+bc)-18abc \le 2 [/tex]
[tex]<=>8c(a+b)+ab(8-18c) \le 2 [/tex]
[tex]<=>8c(1-c) +ab(8-18c) \le 2 [/tex]
mà : [tex] ab(8-18c) \le \frac{(a+b)^2}{4}(8-18c) = \frac{(1-c)^2}{4}(8-18c) [/tex]
ta phải CM:
[tex]8c(1-c) +\frac{(1-c)^2}{4}(8-18c) \le 2 [/tex]

 

[legendismine]

Next--->
1.
[TEX]a,b,c >0 \ \ a+b+c=1.\ \ CM: [/TEX]

[TEX]5(a^2 + b^2 + c^2 ) \leq 6(a^3+ b^3+ c^3) + 1[/TEX]



2.
[TEX]a,b,c >0 \ \ abc=1[/TEX]. Chứng minh :

[TEX]\sum \frac{a}{b} \ge a+b+c[/TEX]

Bai 1:
[TEX]\Leftrightarrow5-10q\le 6-18q+18r+1\Leftrightarrow8q+2\le 18r[/TEX]
Ma [TEX]r\ge \frac {p(4q-p^2)}{9}[/TEX]\Rightarrowdpcm
Bai 2:
[TEX]3\sum_{cyc}\frac {a}{b}=\sum_{cyc}\frac{2a}{b}+\frac {b}{c}\ge \sum_{cyc}\frac {3a}{\sqrt[3]abc}=3(a+b+c)[/TEX]\Rightarrowdpcm

 

[legendismine]

Cho x,y,z>=0 thoa man xy+yz+xz=1.C/m:
[TEX]10x^2+10y^2+z^2\ge 4 [/TEX]

 

[quyenuy0241]

Cho x,y,z>=0 thoa man xy+yz+xz=1.C/m:
[TEX]10x^2+10y^2+z^2\ge 4 [/TEX]

[tex]\left{2x^2+2y^2 \ge 4xy \\ 8x^2+\frac{z^2}{2} \ge 4zx \\ 8y^2+\frac{z^2}{2} \ge 4zy [/tex]

 

[bigbang195]

thỏa mãn

. Chứng minh

Mọi người làm thử ^^!

 

[legendismine]

Bai 1 :
Cho a,b,c>0 thoa man a+b+c=1.C/m:
[TEX]\prod_{i=1}^{n}a^2+b^2\ge 8(\sum_{cyc}a^2b^2)^2[/TEX]
Bai 2:
Cho a,b,c>0 thoa man a^2+b^2+c^2=3.Tim Min:
[TEX]S=\sum_{cyc}\frac {a^5}{b^3+c^3}+a^4+b^4+c^4[/TEX]