[Toán 10]Bdt

Status
Không mở trả lời sau này.
N

namtuocvva18

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}[/TEX].
 
N

namtuocvva18

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^4}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^4}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^4}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}[/TEX].
 
Q

quyenuy0241

1, Cho a,b,c dương và [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^5+b^5}{ab(a+b)}+\frac{b^5+c^5}{bc(b+c)}+ \frac{c^5+a^5}{ca(c+a)}\geq 3(ab+bc+ca)-2[/TEX].

2, Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2+bc}{b+c}+\frac{b^2+ca}{c+a}+\frac{c^2+ab}{a+b} \ge a+b+c[/TEX[/COLOR][COLOR=blue]].[/COLOR] [/QUOTE] 1. a5+b5ab(a+b)+b5+c5bc(b+c)+c5+a5ca(c+a)ab+bc+ac\frac{a^5+b^5}{ab(a+b)}+\frac{b^5+c^5}{bc(b+c)}+ \frac{c^5+a^5}{ca(c+a)} \ge ab+bc+ac

do CM:a5+b5a2b2(a+b)(ab)2(a2+ab+b2+a+b)0CM: a^5+b^5 \ge a^2b^2(a+b) \Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2+a+b) \ge 0 luôn đúng

Cần CM:
ab+bc+ac3(ab+bc+ac)2ab+bc+ac1ab+bc+ac \ge 3(ab+bc+ac)-2 \Leftrightarrow ab+bc+ac \le 1 (luôn đúng vì a2+b2+c2=1a^2+b^2+c^2 =1)


2.
Dưới đây là một cách!
(a+b)(a+c)b+c+(a+c)(b+c)a+b+(b+c)(a+c)a+b2(a+b+c)\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(a+c)(b+c)}{a+b}+ \frac{(b+c)(a+c)}{a+b} \ge 2(a+b+c)


[tex]Dat..\left{\begin{a+b=x \\ a+c=y\\ b+c=z [/tex]

Vậy cần CM:
xyz+xzy+yzxx+y+z\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x} \ge x+y+z

[tex]AM-GM : \left{\begin{\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y} \ge 2x \\ \frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge 2z \\ \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x} \ge 2y[/tex]
Cngcaˊcve^ˊcahBDTđượcdpcm[COLOR=red][/COLOR][COLOR=red][/COLOR]Cộng các vế của hệ BDT được dpcm [COLOR=red] [/COLOR] [COLOR=red] [/COLOR]
 
Last edited by a moderator:
Q

quyenuy0241

Cho a,b,c dương và [TEX]abc\geq 1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX](a+\frac{1}{a+1})(b+\frac{1}{1+b})(c+\frac{1}{1+c})\geq \frac{27}{8}[/TEX].

Chém!

[tex] \left{\begin {a+\frac{1}{a+1}=(\frac{a+1}{4}+\frac{1}{a+1})+ \frac{3a}{4}-\frac{1}{4} \ge \frac{3}{4}(a+1) \\ b+\frac{1}{b+1} \ge \frac{3}{4}(b+1) \\ c+\frac{1}{c+1} \ge \frac{3}{4}(c+1) [/tex]

Nhân vế của hệ BDT

Cần CM:(a+1)(b+1)(c+1)8(1)CM : (a+1)(b+1)(c+1) \ge 8 (1)
AM-GM trực tiếp
(a+1)(b+1)(c+1)8abc8(1)OK!!Done!(a+1)(b+1)(c+1) \ge 8 \sqrt{abc} \ge 8 \Rightarrow (1) OK!! Done!
 
Q

quyenuy0241

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}[/TEX].

(a+b+c)(a2+b2+c2)=(a3+b2a)+(b3+c2b)+(c3+a2c)+a2b+b2c+c2a3(a2b+b2c+c2a)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) = (a^3+b^2a)+(b^3+c^2b)+(c^3+a^2c)+a^2b+b^2c+c^2a \ge 3(a^2b+b^2c+c^2a)

a2+b2+c2a2b+b2c+c2a \Rightarrow a^2+b^2+c^2 \ge a^2b+b^2c+c^2a

Dat>a2+b2+c2=xx3Dat -> a^2+b^2+c^2 =x \Rightarrow x\ge 3

Px+9x2x42x29x+90(x3)(2x3)0P \ge x+\frac{9-x}{2x} \ge 4 \Leftrightarrow 2x^2-9x+9 \ge 0 \Leftrightarrow (x-3)(2x-3) \ge 0 Luôn đúng với x3 \forall x \ge 3
(Dự đoán GTNN = 4)
 
Last edited by a moderator:
B

bigbang195

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^4}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^4}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^4}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}[/TEX].


Để ý rằng

gif.latex




gif.latex


Ta có thể viết lại BDT cần chứng minh dưới dạng như sau

gif.latex


Theo Cauchy-Schwarz :
gif.latex


Chỉ cần chứng minh

gif.latex


hay

gif.latex


Đúng theo AM-GM

Đại Ca namtuocvva đã quay lại 4rum :M012:
 
Q

quyenuy0241

a,b,c>0 CMR:

a+2ba+2c+sqrtb+2ab+2c+c+2ac+2b3\sqrt{\frac{a+2b}{a+2c}}+sqrt{\frac{b+2a}{b+2c}}+\sqrt{\frac{c+2a}{c+2b}} \ge 3
 
R

rua_it

1, Cho a,b,c dương và [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^5+b^5}{ab(a+b)}+\frac{b^5+c^5}{bc(b+c)}+ \frac{c^5+a^5}{ca(c+a)}\geq 3(ab+bc+ca)-2[/TEX].
cyclica5+b52cyclic(a+b)516\sum_{cyclic} \frac{a^5+b^5}{2} \geq \sum_{cyclic} \frac{(a+b)^5}{16}

LHS:=cyclica5+b5ab.(a+b)cyclic(a+b)416abAmGmcyclic(a+b)2.4ab16ab\Rightarrow LHS:=\sum_{cyclic} \frac{a^5+b^5}{ab.(a+b)} \geq \sum_{cyclic} \frac{(a+b)^4}{16ab} \geq_{Am-Gm} \sum_{cyclic}\frac{(a+b)^2.4ab}{16ab}

=cyclic(a+b)24=\sum_{cyclic} \frac{(a+b)^2}{4}

=a2+b2+2ab+b2+c2+2bc+c2+a2+2ac4=\frac{a^2+b^2+2ab+b^2+c^2+2bc+c^2+a^2+2ac}{4}

=a2+b2+c2+ab+bc+ca2=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{2}

Cần chứng minh a2+b2+c2+ab+bc+ca23(ab+bc+ca)2\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{2} \geq 3(ab+bc+ca)-2

a2+b2+c2+ab+bc+ca6(ab+bc+ca)4\Rightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \geq 6(ab+bc+ca)-4

a2+b2+c25.(ab+bc+ca)4\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 5.(ab+bc+ca)-4

ab+bc+caa2+b2+c2=15.(ab+bc+ca)41=a2+b2+c2ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2 =1 \Rightarrow5.(ab+bc+ca)-4 \leq 1=a^2+b^2+c^2

\Rightarrowđpcm.
 
V

vodichhocmai

Để ý rằng

gif.latex




gif.latex


Ta có thể viết lại BDT cần chứng minh dưới dạng như sau

gif.latex


Theo Cauchy-Schwarz :
gif.latex


Chỉ cần chứng minh

gif.latex


hay

gif.latex


Đúng theo AM-GM

Đại Ca namtuocvva đã quay lại 4rum :M012:

ý tưởng xây dựng độc lập với tác giả tuy có tư duy như tóm lại là bài giải này không hay :D
 
B

bigbang195

ý tưởng xây dựng độc lập với tác giả tuy có tư duy như tóm lại là bài giải này không hay :D

Nói vậy em nên vui vì có tính cá nhân đột phá :)

đâu, em ngu lắm , trình gì mà nghĩ ra được thế này

kiểu em chỉ thích áp dụng trực tiếp BDT chứ biến đổi thế này chịu

. bài trên là do em chép sách của anh Cẩn :|


;))

Còn cách giải của tác giải là thế nào ạ :|

:D
 
B

bigbang195

[TEX]a,b,c >0[/TEX]
CM:
[TEX]\sum_{cyclic} \frac{a}{b}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2} \ge 4[/TEX]
 
Q

quyenuy0241

Cho a,b,c dương và [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]. Tim GTNN của:
[TEX]P=\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5}{a^3+b^2}+a^4+b^4+c^4[/TEX].

Cách khác lì !

a5b3+c2+b3+c24+a423a32\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^3+c^2}{4}+\frac{a^4}{2} \ge \frac{3a^3}{2}
tương tự

P5(a3+b3+c3)4+a4+b4+c42a2+b2+c24P \ge \frac{5(a^3+b^3+c^3)}{4}+\frac{a^4+b^4+c^4}{2}-\frac{a^2+b^2+c^2}{4}

()a4+b4+c4(a2+b2+c2)23=3(*)a^4+b^4+c^4 \ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}=3

()a+b+c3,(*) a+b+c \le 3 ,

By>BCS:(a+b+c)(a3+b3+c3)(a2+b2+c2)2=9a3+b3+c33\Rightarrow By->BCS: (a+b+c)(a^3+b^3+c^3) \ge (a^2+b^2+c^2)^2=9 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3 \ge 3

P92a=b=c=1\Rightarrow P \ge \frac{9}{2} \Leftrightarrow a=b=c=1
 
Q

quyenuy0241

[TEX]a,b,c >0[/TEX]
CM:
[TEX]\sum_{cyclic} \frac{a}{b}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2} \ge 4[/TEX]
Có ai làm chưa nhỷ!

[tex]\fra{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+2 [/tex]

theo AM-GM
[TEX]\sum_{cyclic} \frac{a}{b}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2} \ge (\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2})+2 \ge 4[/TEX] đúng
 
N

namtuocvva18

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2[/TEX].
 
N

namtuocvva18

Cho a,b,c dương và [TEX]a^4+b^4+c^4=3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\leq 1[/TEX].
 
N

namtuocvva18

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2}{\sqrt{4a^2+ab+4b^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{4b^2+bc+4c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{4c^2+ca+4a^2}}\geq \frac{a+b+c}{3}[/TEX].
 
N

namtuocvva18

1,Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}+\frac{1}{9abc}[/TEX].

2,Cho a,b,c la do dai ba canh tam giac. Chung minh:

[TEX]9(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^4[/TEX].
 
Last edited by a moderator:
Status
Không mở trả lời sau này.
Top Bottom