N
namtuocvva18
Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}[/TEX].
[TEX]P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}[/TEX].
- Status
N
namtuocvva18
Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^4}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^4}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^4}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}[/TEX].
[TEX]\frac{a^4}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^4}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^4}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}[/TEX].
Q
quyenuy0241
Q
quyenuy0241
Chém!
[tex] \left{\begin {a+\frac{1}{a+1}=(\frac{a+1}{4}+\frac{1}{a+1})+ \frac{3a}{4}-\frac{1}{4} \ge \frac{3}{4}(a+1) \\ b+\frac{1}{b+1} \ge \frac{3}{4}(b+1) \\ c+\frac{1}{c+1} \ge \frac{3}{4}(c+1) [/tex]
Nhân vế của hệ BDT
Cần [tex]CM : (a+1)(b+1)(c+1) \ge 8 (1)[/tex]
AM-GM trực tiếp
[tex](a+1)(b+1)(c+1) \ge 8 \sqrt{abc} \ge 8 \Rightarrow (1) OK!! Done! [/tex]
Q
quyenuy0241
[tex](a+b+c)(a^2+b^2+c^2) = (a^3+b^2a)+(b^3+c^2b)+(c^3+a^2c)+a^2b+b^2c+c^2a \ge 3(a^2b+b^2c+c^2a)[/tex]
[tex] \Rightarrow a^2+b^2+c^2 \ge a^2b+b^2c+c^2a [/tex]
[tex]Dat -> a^2+b^2+c^2 =x \Rightarrow x\ge 3 [/tex]
[tex]P \ge x+\frac{9-x}{2x} \ge 4 \Leftrightarrow 2x^2-9x+9 \ge 0 \Leftrightarrow (x-3)(2x-3) \ge 0 [/tex] Luôn đúng với [tex] \forall x \ge 3[/tex]
(Dự đoán GTNN = 4)
Last edited by a moderator:
B
bigbang195
Để ý rằng
và
Ta có thể viết lại BDT cần chứng minh dưới dạng như sau
Theo Cauchy-Schwarz :
Chỉ cần chứng minh
hay
Đúng theo AM-GM
Đại Ca namtuocvva đã quay lại 4rum :M012:
Q
quyenuy0241
a,b,c>0 CMR:
[tex]\sqrt{\frac{a+2b}{a+2c}}+sqrt{\frac{b+2a}{b+2c}}+\sqrt{\frac{c+2a}{c+2b}} \ge 3[/tex]
[tex]\sqrt{\frac{a+2b}{a+2c}}+sqrt{\frac{b+2a}{b+2c}}+\sqrt{\frac{c+2a}{c+2b}} \ge 3[/tex]
R
rua_it
[tex]\sum_{cyclic} \frac{a^5+b^5}{2} \geq \sum_{cyclic} \frac{(a+b)^5}{16}[/tex]
[tex]\Rightarrow LHS:=\sum_{cyclic} \frac{a^5+b^5}{ab.(a+b)} \geq \sum_{cyclic} \frac{(a+b)^4}{16ab} \geq_{Am-Gm} \sum_{cyclic}\frac{(a+b)^2.4ab}{16ab}[/tex]
[tex]=\sum_{cyclic} \frac{(a+b)^2}{4}[/tex]
[tex]=\frac{a^2+b^2+2ab+b^2+c^2+2bc+c^2+a^2+2ac}{4}[/tex]
[tex]=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{2}[/tex]
Cần chứng minh [tex]\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{2} \geq 3(ab+bc+ca)-2[/tex]
[tex]\Rightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \geq 6(ab+bc+ca)-4[/tex]
[tex]\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 5.(ab+bc+ca)-4[/tex]
[tex]ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2 =1 \Rightarrow5.(ab+bc+ca)-4 \leq 1=a^2+b^2+c^2[/tex]
\Rightarrowđpcm.
D
duynhan1
Cái phân số thứ 2:
[TEX]sqrt{\frac{b+2a}{b+2c}}[/TEX]
Cái này hình như đánh lộn phải là
[TEX]sqrt{\frac{b+2c}{b+2a}}[/TEX] đúng ko
B
bigbang195
V
vodichhocmai
Để ý rằng
(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)+3abc}{a+b+c}\\\%20=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac+\frac{3abc}{a+b+c})
và
Ta có thể viết lại BDT cần chứng minh dưới dạng như sau
Theo Cauchy-Schwarz :
%20\ge%20(a+b+c)^2)
Chỉ cần chứng minh
^3%20\ge%203abc%20\left%20(\sum%20\frac{a^2+ab+b^2}{ab}%20\right%20))
hay
Đúng theo AM-GM
Đại Ca namtuocvva đã quay lại 4rum :M012:
ý tưởng xây dựng độc lập với tác giả tuy có tư duy như tóm lại là bài giải này không hay
V
vodichhocmai
ý tưởng xây dựng độc lập với tác giả tuy có tư duy như tóm lại là bài giải này không hay
Nói vậy em nên vui vì có tính cá nhân đột phá
B
bigbang195
ý tưởng xây dựng độc lập với tác giả tuy có tư duy như tóm lại là bài giải này không hay
Nói vậy em nên vui vì có tính cá nhân đột phá
đâu, em ngu lắm , trình gì mà nghĩ ra được thế này
kiểu em chỉ thích áp dụng trực tiếp BDT chứ biến đổi thế này chịu
. bài trên là do em chép sách của anh Cẩn :|
)Còn cách giải của tác giải là thế nào ạ :|
B
bigbang195
[TEX]a,b,c >0[/TEX]
CM:
[TEX]\sum_{cyclic} \frac{a}{b}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2} \ge 4[/TEX]
CM:
[TEX]\sum_{cyclic} \frac{a}{b}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2} \ge 4[/TEX]
Q
quyenuy0241
Cách khác lì !
[tex]\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^3+c^2}{4}+\frac{a^4}{2} \ge \frac{3a^3}{2}[/tex]
tương tự
[tex]P \ge \frac{5(a^3+b^3+c^3)}{4}+\frac{a^4+b^4+c^4}{2}-\frac{a^2+b^2+c^2}{4}[/tex]
[tex](*)a^4+b^4+c^4 \ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}=3 [/tex]
[tex](*) a+b+c \le 3 ,[/tex]
[tex]\Rightarrow By->BCS: (a+b+c)(a^3+b^3+c^3) \ge (a^2+b^2+c^2)^2=9 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3 \ge 3 [/tex]
[tex]\Rightarrow P \ge \frac{9}{2} \Leftrightarrow a=b=c=1[/tex]
Q
quyenuy0241
Có ai làm chưa nhỷ!
[tex]\fra{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+2 [/tex]
theo AM-GM
[TEX]\sum_{cyclic} \frac{a}{b}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2} \ge (\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2})+2 \ge 4[/TEX] đúng
N
namtuocvva18
Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2[/TEX].
[TEX]\frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2[/TEX].
N
namtuocvva18
Cho a,b,c dương và [TEX]a^4+b^4+c^4=3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\leq 1[/TEX].
[TEX]\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\leq 1[/TEX].
N
namtuocvva18
Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2}{\sqrt{4a^2+ab+4b^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{4b^2+bc+4c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{4c^2+ca+4a^2}}\geq \frac{a+b+c}{3}[/TEX].
[TEX]\frac{a^2}{\sqrt{4a^2+ab+4b^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{4b^2+bc+4c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{4c^2+ca+4a^2}}\geq \frac{a+b+c}{3}[/TEX].
N
namtuocvva18
1,Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}+\frac{1}{9abc}[/TEX].
2,Cho a,b,c la do dai ba canh tam giac. Chung minh:
[TEX]9(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^4[/TEX].
[TEX]P=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}+\frac{1}{9abc}[/TEX].
2,Cho a,b,c la do dai ba canh tam giac. Chung minh:
[TEX]9(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^4[/TEX].
Last edited by a moderator:
- Status