[Toán 10]Bdt

[namtuocvva18]

Cho a,b,c không âm. Chứng minh:
[TEX]\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}+\sqrt{\frac{b(c+a)}{b^2+ca}}+\sqrt{\frac{c(a+b)}{c^2+ab}}\geq 2[/TEX].

 

[quyenuy0241]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\sqrt{\frac{a^3+abc}{b+c}}+\sqrt{\frac{b^3+abc}{c+a}}+\sqrt{\frac{c^3+abc}{a+b}}\geq a+b+c[/TEX].

Cần CM
Nhân liên hợp [tex]\sum\sqrt{\frac{a^3+abc}{b+c}}-a \ge 0 [/tex]
[tex]=\sum{\frac{a^3+abc-a^2b-a^2c}{\sqrt{\frac{a^3+abc}{b+c}}+a }=\frac{a(a-b)(a-c)}{\sqrt{\frac{a^3+abc}{b+c}}+a} \ge 0 (Chur)[/tex]

 

[namtuocvva18]

Ta có:
[TEX]\sqrt{a^3+1}=\sqrt{(a+1)(a^2-a+1)}\leq \frac{a^2+2}{2}[/TEX]
Tương tự ta suy ra:
[TEX]\frac{a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}+\frac{b^2}{(b^2+2)(c^2+2)}+\frac{c^2}{(c^2+2)(a^2+2)}\geq \frac{1}{3}[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng mihn:
[TEX]\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}\leq 1[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2[/TEX].

 

[quyenuy0241]

Cho a,b,c không âm. Chứng minh:
[TEX]\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}+\sqrt{\frac{b(c+a)}{b^2+ca}}+\sqrt{\frac{c(a+b)}{c^2+ab}}\geq 2[/TEX].

[tex]\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}=\frac{a(b+c)}{\sqrt{(a^2+bc)(ab+bc)}} \ge \frac{2a(b+c)}{a^2+ab+bc+ac}=\frac{2a(b+c)}{(a+b)(a+c)}[/tex]

[tex]CM:\sum{\frac{2a(b+c)}{(a+b)(a+c)} \ge 2 \Leftrightarrow a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2 \ge (a+b)(b+c)(c+a)[/tex]luôn đùng theo AM-GM để ý [tex]abc \ge 0[/tex]

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{a+b+c}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}[/TEX].

 

[quyenuy0241]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng mihn:
[TEX]\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}\leq 1[/TEX].

[tex]a^3+1+1 \ge 3a,,,,,b^2+1 \ge 2b [/tex]

[tex]CM: \sum{\frac{a}{3a+2b+c-3}=\sum\frac{a}{2a+b} \le 1 \Leftrightarrow\sum{\frac{b}{2a+b} \ge 1[/tex]
[tex]\sum{\frac{b}{2a+b} \ge \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1 Done!!![/tex]

 

[vodichhocmai]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2[/TEX].

[TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1+\frac{8abc}{ (a+b)(b+c)(c+a) }-1\ge 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{2}\frac{\sum_{cyclic}\(a-b\)^2}{ab+bc+ca}-\frac{\sum_{cyclic}a\(b-c\)^2}{ (a+b)(b+c)(c+a)}\ge 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sum_{cyclic}S_c\(a-b\)^2\ge 0[/TEX]

Trong đó :

[TEX]\left{S_a=\frac{(a+b)(b+c)(c+a) }{ab+bc+ca}-2a=b+c-a-\frac{abc}{ab+bc+ca}\\S_a=\frac{(a+b)(b+c)(c+a) }{ab+bc+ca}-2b=a+c-b-\frac{abc}{ab+bc+ca} \\S_c=\frac{(a+b)(b+c)(c+a) }{ab+bc+ca}-2a=a+b-c-\frac{abc}{ab+bc+ca} [/TEX]

Không mất tồng quát ta giả sử [TEX]a\ge b\ge c\righ S_b,S_c\ge 0[/TEX]

Ta lại có

[TEX]S_a+S_b=2c-\frac{2abc}{ab+bc+ca} =\frac{2c^2\(a+b\)}{ab+bc+ca}\ge 0[/TEX]

[TEX]\righ \sum_{cyclic}S_c\(a-b\)^2\ge 0 [/TEX]

Vậy bài toán chứng minh xong

 

[vodichhocmai]

[TEX]Cmr:\ \ T=\sum_{cyclic}^{a,b,c\ge 0}\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\ge 2[/TEX]

[TEX]\blue\tex{Vasile Cirtoaje-2006}[/TEX]

[TEX]\fra{a^2+bc}{a(b+c)}+1\ge 2\sqrt{\fra{a^2+bc}{a(b+c)}}[/TEX]

[TEX]\to \frac{(a+b)(a+c)}{2a(b+c)}\ge \sqrt{\fra{a^2+bc}{a(b+c)}}[/TEX]

[TEX]\to \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\ge \frac{2a(b+c)}{ (a+b)(a+c) } [/TEX]

[TEX]\to \sum_{cyclic}^{a,b,c\ge 0}\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\ge 2\sum_{cyclic}\frac{a(b+c)^2}{ (a+b)(a+c)(b+c) }[/TEX]

[TEX]\to \sum_{cyclic}^{a,b,c\ge 0}\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\ge 2+\frac{6abc}{(a+b)(a+c)(b+c) }\ge 2[/TEX]

[TEX]Done!![/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho x,y,z dương. Chứng minh:
[TEX]16xyz(x+y+z)\leq 3\sqrt[3]{ (x+y)^4(y+z)^4(z+x)^4}[/TEX].

[TEX]\left{a,b,c>0\\abc=1\\\righ (a+b)(b+c)(c+a)\geq 2(1+a+b+c)[/TEX].

[TEX]Setting \ \ \ \ xyz=1[/TEX]

[TEX]\righ (x+y)^4(y+z)^4(z+x)^4\ge 16\(1+x+y+z\)^4[/TEX]

Do đó ta cần chứng minh

[TEX]16t\le 3\sqrt[3]{16\(1+t\)^4}\ \ \ \ \ t\ge 3[/TEX]

[TEX]Done!![/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho các số thực a,b,c và [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]. Tìm GTLN, GTNN của:
[TEX]P=a^3+b^3+c^3-3abc[/TEX].

[TEX]\left{P=\(a+b+c\)\[\(a+b+c\)^2-3(ab+bc+ca\)\]\\\(a+b+c\)^2-2(ab+bc+ca\)=1[/TEX]

[TEX]P=t\(t^2-3\frac{t^2-1}{2}\)\ \ \ \ |t|\le \sqrt{3}[/TEX]

Khảo sát dễ dàng [TEX]Done!![/TEX]

 

[quyenuy0241]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2+2bc}{b+c}+\frac{b^2+2ca}{c+a}+\frac{c^2+2ab}{a+b}\geq \frac{3(a+b+c)}{2}[/TEX].

Lần trước làm sai làm lại!

BDT về dạng chebysev:
[tex] (a+c-b). \frac{a+b-c}{b^2+c^2} + (b+c-a). \frac{a+b-c}{c^2+a^2} + (c+b-a). \frac{c+a-b}{a^2+b^2} \geq 0[/tex]
Sắp thứ tự các biến: giả sử: [tex]a \geq b \geq c[/tex]
[tex]\rightarrow \left{\begin{\frac{a+b-c}{b^2+c^2} \geq \frac{a+b-c}{c^2+a^2} \geq \frac{c+a-b}{a^2+b^2}}\\{a+c-b \geq b+c-a \geq c+b-a}[/tex]
Áp dụng BDT chebysev, có ngay điều phải chứng minh!

 

[vodichhocmai]

Anh mới chế phim Hồng Kông con này

[TEX]Cho\ \ a,b,c>0\ \ a+b+c+2=abc\ \ \\CMR:\ \ a^3+b^3+c^3\ge a^2+b^2+c^2+2(a+b+c\)[/TEX]>-

 

[shenkyo]

CMR. Khi a>0,b>=0 thì
S= a + [4/(a-b)(b+1)^2] >= 3

 

[quyenuy0241]

CMR. Khi a>0,b>=0 thì
S= a + [4/(a-b)(b+1)^2] >= 3

[tex]\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}+a=\frac{(b+1)}{2}+\frac{(b+1)}{2}+(a-b)+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}-1 \ge 4-1=3[/tex](DPCM)

Do theo Cauchy [tex]\frac{(b+1)}{2}+\frac{(b+1)}{2}+(a-b)+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2} \ge 4[/tex]

 

[quyenuy0241]

[tex]a,b,c>0-> TM->: a+b+c=3 -CMR:[/tex]

[tex]\frac{a^4}{\sqrt[3]{a^3+7}}+\frac{b^4}{\sqrt[3]{b^3+7}}+\frac{c^4}{\sqrt[3]{c^3+7}} \ge \frac{3}{2}[/tex]

 

[quyenuy0241]

cho a,b,c là số thực thoả mãn abc=1 với [tex]a \neq b \neq c [/tex]
CMR:

[tex]\frac{a^2}{(a-1)^2}+\frac{b^2}{(b-1)^2}+\frac{c^2}{(c-1)^2} \ge 1 [/tex]

 

[buiphuonga10]

Cho a,b,c dương và [TEX]abc=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX](a+b)(b+c)(c+a)\geq 2(1+a+b+c)[/TEX].

Mình xin trả lời như sau:
Ta có:
(a+b)(b+c)(c+a) =[TEX]a^2[/TEX]c+[TEX]b^2c[/TEX]+[TEX]c^2b[/TEX]+[TEX]c^2a[/TEX]+[TEX]a^2b[/TEX]+[TEX]b^2a[/TEX]+2abc
=ab(a+b)+bc(c+b)+ca(a+c)+2
=[TEX]\frac{a}{c}[/TEX][TEX]+[/TEX][TEX]\frac{b}{c}[/TEX][TEX]+[/TEX][TEX]\frac{c}{a}[/TEX][TEX]+[/TEX][TEX]\frac{b}{a}[/TEX][TEX]+[/TEX][TEX]\frac{a}{b}[/TEX][TEX]+[/TEX][TEX]\frac{c}{b}[/TEX][TEX]+[/TEX]2
Áp dụng bdt Cô-Si có
[TEX]\frac{a}{c}[/TEX]+[TEX]\frac{a}{b}[/TEX][TEX]+[/TEX][TEX]abc[/TEX][TEX]\geq3a[/TEX]

[TEX]\frac{b}{c}[/TEX][TEX]+[/TEX][TEX]\frac{b}{a}[/TEX][TEX]+[/TEX][TEX]abc[/TEX][TEX]\geq3b[/TEX]

[TEX]\frac{c}{b}[/TEX]+[TEX]\frac{c}{b}[/TEX][TEX]+[/TEX][TEX]abc[/TEX][TEX]\geq3c[/TEX]

cộng lại được [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}[/TEX][TEX]+[/TEX][TEX]\frac{b}{a}[/TEX][TEX]+[/TEX][TEX]\frac{b}{c}[/TEX][TEX]+[/TEX][TEX]\frac{c}{b}[/TEX][TEX]+[/TEX][TEX]\frac{c}{a}[/TEX][TEX]\geq3(a+b+c)-3[/TEX]
Mặt khác -3[TEX]\geq[/TEX]a+b+c(côsi)
công lai suy ra đpcm

 

[rua_it]

cho a,b,c là số thực thoả mãn abc=1 với [tex]a \neq b \neq c [/tex]
CMR:

[tex]\frac{a^2}{(a-1)^2}+\frac{b^2}{(b-1)^2}+\frac{c^2}{(c-1)^2} \ge 1 [/tex]

[tex]LHS=\frac{a^2}{(a-1)^2}+\frac{b^2}{(b-1)^2}+\frac{c^2}{(c-1)^2} \geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc} (a-1)^2}[/tex]

[tex]=\frac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc} a^2 +3-\sum_{sym} a}[/tex]

Cần chứng minh [tex] a^2+b^2+c^2 +3-2(a+b+c) \leq (a+b+c)^2[/tex]

[tex]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2.(ab+bc+ca) \geq a^2+b^2+c^2-2.(a+b+c)+3[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 2.(ab+bc+ca+a+b+c)-3 \geq 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a+b+c \geq \frac{3}{2}[/tex]

Vì abc=1 \Rightarrow \exists ít nhất 1 số hạng dương; không mất tính tổng quát, giả sử số đó là a.

....

Không biết đúng không nhở