[Toán 10]Bdt

[dandoh221]

cho [tex]x,y,z>0 [/tex]

CMR: [tex]\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{x^2+xz+z^2} \ge \sqrt{y^2+yz+z^2} [/tex].

Mấy bài cổ ý mà

[TEX]LHS = \sqrt{(x+\frac{1}{2}y)^2+\frac{3}{4}y^2}+\sqrt{(-x-\frac{1}{2}z)^2+\frac{3}{4}z^2} \ge \sqrt{\frac{1}{4}(y-z)^2+\frac{3}{4}(y+z)^2} = \sqrt{y^2+yz+z^2}[/TEX]

 

[c_c]

Cho a,b,c>0.C/m
[TEX](a+b)(a+c)\ge 2\sqrt{abc(a+b+c)}[/TEX]

[tex]<=> a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2 \ge abc(a+b+c) (AM-GM)[/tex]
@:lần sau bạn đánh tiếng việt có dấu cho dễ nhìn nhé!

 

[0915549009]

Cho a,b,c la cac so thuc thoa man a^2+b^2+c^2=9.C/m
[TEX]2(a+b+c)\le 10+abc[/TEX]
Bai nay danh cho "VIP"

Vẫn với cách đặt p,q,r như cũ,từ giả thiết, [TEX]p^2+2t^2=27[/TEX] với [TEX]t^2=p^2-3q[/TEX]
[TEX]2p-r\leq 2p-\frac{(p+t)^2(p-2t)^2}{27}=\frac{p( 5t^2+27)+2t^3}{27}[/TEX]
Cần CM: [TEX] p( 5t^2+27)\leq 270-2t^3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (270-t^3)^2\geq p^2(5t^2+27)^2\Leftrightarrow 27(t-3)^2(2t^4+12t^3+49t^2+146t+219)\geq 0[/TEX]
Vậy bài toán được chứng minh, đẳng thức có tại [TEX]a=b=2, c=-1[/TEX] và các hoán vị.

 

[c_c]

Mở rộng IMO 2008:

[TEX]a,b,c >0[/TEX] và [TEX]abc=1[/TEX] . Tìm min:

[TEX]\sum _{cyc} \frac{a+3}{(a-1)^2}[/TEX]

đặt:[tex]A=\sum _{cyc} \frac{a+3}{(a-1)^2}[/TEX]
[tex]=>2A+3=2\sum _{cyc} \frac{a+3}{(a-1)^2}+3=\sum\frac{a^2+7}{(a-1)^2}[/TEX]
ta có:[tex]\sum\frac{a^2}{(a-1)^2} \ge 1(CMT) [/tex]
ta chỉ cần tìm MIN của :
[tex]\sum\frac{7}{(a-1)^2} [/tex]
đặt: [tex]\frac{1}{a-1}=x,\frac{1}{b-1}=y,\frac{1}{c-1}=z[/tex]
[tex]=>xyz=(x+1)(y+1)(z+1) [/tex]
............

 

[king_math96]

Cau giai bai nay di son thk

ta có[tex] :(\sum \frac{a}{b+c})(a+b+c)=2(a+b+c).[/tex]
[tex] =>\sum \frac{a^2}{b+c}=a+b+c[/tex]
[tex] =>(\sum \frac{a^2}{b+c})(a+b+c)=(a+b+c)^2[/tex]
[tex] =>\sum{a^3}{b+c}=2(ab+bc+ca).(1)[/tex]
mà [tex] :(\sum \frac{a}{b+c})=2= \frac{a^2}{ab+ac} \geq [/tex]
[tex] \frac{a^2+b^2+c^2}{(ab+bc+ca)}.[/tex]
[tex] =>2(ab+bc+ca) \geq a^2+b^2+c^2.(2)[/tex]
Đến đây bạn tự làm tiếp nhé.
Bài này sơn cho lên mathlinks đây mà.

 

[tell_me_goobye]

dạo này đông vui quá mình xin phép post 1 bài

cho x,y,z >0 thỏa mãn
[TEX] \frac{1}{x^2} +\frac{1}{y^2} =\frac{2}{z^2} [/TEX]
CM
[TEX] \frac{x^2+z^2}{2x^2-z^2}+\frac{y^2+z^2}{2y^2-z^2} \geq 4[/TEX]

 

[duynhan1]

dạo này đông vui quá mình xin phép post 1 bài

cho x,y,z >0 thỏa mãn
[TEX] \frac{1}{x^2} +\frac{1}{y^2} =\frac{2}{z^2} [/TEX]
CM
[TEX] \frac{x^2+z^2}{2x^2-z^2}+\frac{y^2+z^2}{2y^2-z^2} \geq 4[/TEX]

[TEX] \frac{1}{x^2} +\frac{1}{y^2} =\frac{2}{z^2} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x^2 + y^2 ) z^2 = 2x^2 y^2 [/TEX]

[TEX] \Rightarrow xy \ge z^2 [/TEX]

Ta có:
[TEX] \frac{x^2+z^2}{2x^2-z^2}+\frac{y^2+z^2}{2y^2-z^2} \geq 4[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{4x^2y^2 + z^2(y^2 + x^2 ) - 2z^4}{4x^2y^2 - 2z^2(x^2+y^2) +z^4} \geq 4 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{6x^2y^2-2z^4}{z^4} \ge 4[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^2y^2 \geq z^4 [/TEX]

[TEX]xy \ge z^2 [/TEX]( đúng )

 

[duynhan1]

Cho n số thực [TEX]x_1.....x_n, y_1.....y_n[/TEX]. Chứng minh :

[TEX]\prod_{i=1}^{n} x_i + \prod_{i=1}^{n} y_i \le \sum_{i=1}^n (\sqrt{x_i^2 +y_i^2}) [/TEX]

 

[kukumalu_2010]

cho a,b,c>0 tm abc=1
CMR: [TEX]\sum _{cyc} \frac{1}{a(a+b)} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

 

[namtuocvva18]

1,Cho x,y,z duong va [TEX]x+y+z=3[/TEX]. Tìm GTNN cua:
[TEX]P=\frac{x^2}{x+y^2}+\frac{y^2}{y+z^2}+\frac{z^2}{z+x^2}[/TEX].

--- Bài viết đã được nhập tự động bởi hệ thống ---

2, Cho a,b,c khong am và [TEX]a^2+b^2+c^2+abc=4[/TEX]. Chung minh:
[TEX]abc+2\geq ab+bc+ca\geq abc[/TEX].

--- Bài viết đã được nhập tự động bởi hệ thống ---

3, Cho a,b,c khong am va [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chung minh rang:
[TEX]ab+bc+ca-3abc\geq \frac{1}{4}[/TEX].

--- Bài viết đã được nhập tự động bởi hệ thống ---

Cho xy khac o và [TEX]x^2+y^2=xy(x+y)[/TEX]. Tìm Max, Min:
[TEX]P=\frac{2}{x}+\frac{1}{y}[/TEX].

--- Bài viết đã được nhập tự động bởi hệ thống ---

Cho xy khac o và [TEX]x^2+y^2=xy(x+y)[/TEX]. Tìm Max, Min:
[TEX]P=\frac{2}{x}+\frac{1}{y}[/TEX].

--- Bài viết đã được nhập tự động bởi hệ thống ---

Cho a,b,c duong và [TEX]abc=1[/TEX]. Chung minh:
[TEX]\frac{a^3}{4+2b^2(c+a)+c^3}+\frac{b^3}{4+2c^2(a+b)+a^3}+\frac{c^3}{4+2a^2(b+c)+b^3}\geq \frac{1}{3}[/TEX].

--- Bài viết đã được nhập tự động bởi hệ thống ---

Cho a,b,c khong am và [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]. Chung minh:
[TEX]ab^2+bc^2+ca^2\leq 2+abc[/TEX].

 

[duynhan1]

2, Cho a,b,c khong am và [TEX]a^2+b^2+c^2+abc=4[/TEX]. Chung minh:
[TEX]abc+2\geq ab+bc+ca\geq 3abc[/TEX].

[TEX] a^2+b^2+c^2+abc=4 \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} + abc [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (\sqrt[3]{abc} - 1)(\sqrt[3]{abc}+2)^2 \le 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow abc \le 1[/TEX]

[TEX] \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3\frac{1}{\sqrt[3]{abc}} \ge 3 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow ab+bc+ca \ge 3abc[/TEX]

 

[duynhan1]

1,Cho x,y,z duong va [TEX]x+y+z=3[/TEX]. Tìm GTNN cua:
[TEX]P=\frac{x^2}{x+y^2}+\frac{y^2}{y+z^2}+\frac{z^2}{z+x^2}[/TEX].

[TEX]P = \sum ( x - \frac{xy^2}{x+y^2} ) \geq 3 - \frac12 \sum \sqrt{x}y \\ \ge 3 - \frac14 \sum ( xy + y ) \ge 3 - \frac14 ( \frac{\sum(x+y+z)^2}{3} + 3) =\frac32 [/TEX]

 

[duynhan1]

3, Cho a,b,c khong am va [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chung minh rang:
[TEX]ab+bc+ca-3abc\geq \frac{1}{4}[/TEX]

Ngược dấu thì phải

[TEX]\red ab+bc+ca-3abc \leq \frac{1}{4} [/TEX]

Giả sử [TEX]c[/TEX] là số nhỏ nhất [TEX]\Rightarrow c \le \frac13[/TEX]

[TEX]LHS = c(a+b) + ab( 1- 3c) \leq (a+b)c + \frac{a+b)^2}{4} ( 1-3c) [/TEX]

[TEX]4.LHS = (a+b)(4c + (a+b)(1-3c) ) = (1-c)(4c + (1-c)(1-3c) ) [/TEX]

[TEX]4LHS = (1-c)(3c^2 + 1 ) = -3c^3 + 3c^2 - c + 1 [/TEX]

Xét [TEX]f(t) = - 3t^3 + 3t^2 - t +1 [/TEX] với [TEX]t \in [0;\frac13][/TEX]

[TEX]f'(t) = -9 t^2 + 6t - 1 [/TEX]

[TEX]f'(t) =0 \Leftrightarrow t = \frac13[/TEX]

[TEX]f(0) = 1 [/TEX]

[TEX]f(\frac13) = \frac89 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow f(t) \le 1 \forall t \in [0; \frac13][/TEX]

[TEX]\Rightarrow 4.LHS \le 1 \Leftrightarrow LHS \le \frac14 [/TEX] (dpcm)

 

[king_math96]

Cho a,b,c duong và [TEX]abc=1[/TEX]. Chung minh:
[TEX]\frac{a^3}{4+2b^2(c+a)+c^3}+\frac{b^3}{4+2c^2(a+b)+a^3}+\frac{c^3}{4+2a^2(b+c)+b^3}\geq \frac{1}{3}[/TEX]
Áp dụng CauchyScharz ta có:

[TEX]\frac{a^3}{4+2b^2(c+a)+c^3}+\frac{b^3}{4+2c^2(a+b)+a^3}+\frac{c^3}{4+2a^2(b+c)+b^3}\geq[/TEX] [TEX]\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4.\sum {a}+2.\sum {a^2b^2}+ 2.\sum {a^2bc}+ \sum {ac^3}}[/TEX]
ta cần Cm:
[TEX]\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4.\sum {a}+2.\sum {a^2b^2}+ 2.\sum {a^2bc}+ \sum {ac^3} \geq \frac{1}{3} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3(a^4+b^4+c^4) - \sum {a^2b^2}-\sum {ac^3}+6.\sum {a^2b^2}-6. \sum{a} \geq 0[/TEX] ( luôn đúng).


Cho a,b,c khong am và [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]. Chung minh:
[TEX]ab^2+bc^2+ca^2\leq 2+abc[/TEX]
Bài này đã có trên báo toán tháng 7.

 

[duynhan1]

SAI! XEm lại vs [tex] abc \le 1 [/tex]........... ....................

Trong 3 số có ít nhất 2 số khi trừ cho 1 thì cùng dấu. Giả sử 2 số đó là [TEX]a,b[/TEX]

[TEX]\Rightarrow c(a-1)(b-1) \ge 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow abc \ge ac +bc -c [/TEX](*)

Lại có theo [TEX]AM-GM [/TEX]

[TEX] 4= a^2 + b^2 + c^2 + abc \ge 2ab + c^2 + abc[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4-c^2 \ge ab(2+c) [/TEX]

[TEX]\Rightarrow ab \le 2- c [/TEX](*)(*)

(*) & (*)(*) [TEX]\Rightarrow abc + 2 \ge ab+bc+ac[/TEX]

 

[king_math96]

cho a,b,c>0 tm abc=1
CMR: [TEX]\sum _{cyc} \frac{1}{a(a+b)} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

Đưa bdt về dạng:
[TEX]\sum _{cyc} \frac{y^2}{x^2+yz} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
ÁP dụng Cauchy Shwarz có:
[TEX]\sum _{cyc} \frac{y^2}{x^2+yz} \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum _{cyc}x^2y^2+\sum _{cyc}y^3z} \ geq \frac{3}{2}[/TEX]
( Dùng cái bổ đề:[TEX] (x^2+y^2+z^2)^2 \geq x^3y+y^3z+z^3x[/TEX]

 

[legendismine]

Dạo này vằng vẻ wa hix chán thật
Bài 1. Cho a,b,c là các số thực dương và abc=1.
Chứng minh :
[TEX]\sum_{cyc}\frac {a}{a+b^2+c^3}\le 1[/TEX]

 

[legendismine]

Cho x,y,z>0 và (x+y+z)^3=32xyz.Tim min va max cua:
[TEX](x+y+z)^4(x^4+y^4+z^4)[/TEX]
Pro dau rồi nhờ giải dùm bài này thk nhiu

 

[namtuocvva18]

Cho [TEX]a,b,c\geq 1[/TEX]. Chung minh:
[TEX]\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq \frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{bc^3}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{ca^3}}[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho x,y khong. Chung minh:
[TEX]\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\geq 3[/TEX].