[Toán 10]Bdt

[duynhan1]

Bai 2:
Cho a,b,c>0 thoa man a^2+b^2+c^2=3.Tim Min:
[TEX]S=\sum_{cyc}\frac {a^5}{b^3+c^3}+a^4+b^4+c^4[/TEX]

[TEX] a \geq b \geq c[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{1}{b^3+c^3} \ge \frac{1}{c^3+a^3} \ge \frac{1}{a^3+b^3} [/TEX]

[TEX]S \ge \frac13(a^2+b^2+c^2)\sum ( \frac{a^3}{b^3 +c^3} ) + \frac13(a^2 + b^2 + c^2 )^2 \ge \frac32 + 3 = \frac{9}{2}[/TEX]

 

[legendismine]

thỏa mãn

. Chứng minh

Mọi người làm thử ^^!

To k bik co cho du hay k nhung to lam the nay:
[TEX] VT\ge \frac {a^2+b^2+c^2}{2} +\frac {2}{(a^2+b^2+c^2)^2}\ge \frac {3}{2}<=> a^2+b^2+c^2+\frac {4}{(a^2+b^2+c^2)^2}\ge 3<=> \frac {a^2+b^2+c^2}{2} +\frac {a^2+b^2+c^2}{2}+\frac {4}{(a^2+b^2+c^2)^2}\ge 3[/TEX]
Am-Gm la ra roi` k bik dung hay sai

 

[katanaoa]

bài tiếp nhé : cho x thuộc [0,1] chứng minh rằng :

[TEX]S = 13\sqrt{x^2-x^4} + 9\sqrt{x^2+x^4} \leq 16[/TEX]

 

[toi_yeu_viet_nam]

Đặt t=x^2==>0<=t<=1==>[TEX]f(t)=13\sqrt{t-t^2}+9\sqrt{t+t^2}[/TEX]
đạo hàm lên tìm max==>dpcm
chả biết có đc ko

 

[vientrang]

Giúp mình giải bài này với:
Cho a, b, c >0 thỏa mãn: a+b+c=1
Chứng minh rằng:
[tex]\frac{a^2+b}{b+c}[/tex]+[tex]\frac{b^2+c}{c+a}[/tex]+[tex]\frac{c^2+a}{a+b}[/tex]>=2

 

[katanaoa]

Đặt t=x^2==>0<=t<=1==>[TEX]f(t)=13\sqrt{t-t^2}+9\sqrt{t+t^2}[/TEX]
đạo hàm lên tìm max==>dpcm
chả biết có đc ko

thử làm kĩ coi.......................................................^^!

 

[nguyen__]

[TEX] VT\ge \frac {a^2+b^2+c^2}{2} +\frac {2}{(a^2+b^2+c^2)^2}[/TEX]

Cậu xem chỗ này .

 

[legendismine]

Giúp mình giải bài này với:
Cho a, b, c >0 thỏa mãn: a+b+c=1
Chứng minh rằng:
[tex]\frac{a^2+b}{b+c}[/tex] + [tex]\frac{b^2+c}{c+a}[/tex] + [tex]\frac{c^2+a}{a+b}[/tex] \geq 2

Ta có:
[TEX]VT \ge \sum_{cyc}\frac {(a^2+b^2+c^2+1)^2}{\sum_{cyc}ab+\sum_{cyc}a^2b+\sum_{cyc}a^2+\sum_{cyc}a^2c}[/TEX]
[TEX]<=>(a^2+b^2+c^2)^2+1\ge \sum_{cyc}ab+\sum_{cyc}a^2b+\sum_{cyc}a^2c[/TEX]
[TEX](\sum_{cyc}a^2)^2+2\sum_{cyc}a^3\ge \sum_{cyc}a^2[/TEX]
Toi day ap dung cheybev

 

[legendismine]

Cậu xem chỗ này .

Sao cậu no thế này:
[TEX]\sum_{cyc}\frac {a^3}{b+c}=\sum_{cyc}\frac {(a^2+b^2+2c^2)^2}{2(ab+cb+ca)}[/TEX]
Ma [TEX]ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2[/TEX]
[TEX]=>\ge \frac {(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2}=\frac {a^2+b^2+c^2}{2}[/TEX]

 

[dandoh221]

Giúp mình giải bài này với:
Cho a, b, c >0 thỏa mãn: a+b+c=1
Chứng minh rằng:
[tex]\frac{a^2+b}{b+c}[/tex] + [tex]\frac{b^2+c}{c+a}[/tex] + [tex]\frac{c^2+a}{a+b}[/tex] \geq 2

[TEX]\sum \frac{a^2+b}{b+c} = \sum \frac{a^2+b(a+b+c)}{b+c} = \sum \frac{a^2 +ab+b^2+bc}{b+c}[/TEX]
Mà [TEX]\sum_{cyc} \frac{b^2}{b+c} = \sum_{cyc} \frac{c^2}{b+c}[/TEX] nên [TEX]\sum \frac{a^2+bc+b^2+ab}{b+c}= \sum \frac{a^2+ab+\frac{1}{2}(b^2+c^2+2bc)}{b+c}[/TEX]
[TEX]= \sum \frac{a^2+ab}{b+c} + a+b+c[/TEX]
Ta cần chứng minh [TEX]\sum \frac{a^2+ab}{b+c} \ge 1[/TEX] ;
bdt hoán vị :
[TEX]\sum_{cyc} \frac{a^2}{b+c} \ge \sum_{cyc} \frac{ac}{b+c}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{a^2+ab}{b+c} \ge \sum \frac{ac+ab}{b+c} = a+b+c =1[/TEX]

 

[nguyen__]

Sao cậu no thế này:
[TEX]\sum_{cyc}\frac {a^3}{b+c}=\sum_{cyc}\frac {(a^2+b^2+2c^2)^2}{2(ab+cb+ca)}[/TEX]
Ma [TEX]ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2[/TEX]
[TEX]=>\ge \frac {(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2}=\frac {a^2+b^2+c^2}{2}[/TEX]

[TEX]\sum a^2-\sum ab=\frac{1}{2} \sum (a-b)^2[/TEX]

dấu bằng khi [TEX]a=b=c[/TEX] nó không thỏa mãn đề bài

 

[vientrang]

Ta có:
[TEX]VT \ge \sum_{cyc}\frac {(a^2+b^2+c^2+1)^2}{\sum_{cyc}ab+\sum_{cyc}a^2b+\sum_{cyc}a^2+\sum_{cyc}a^2c}[/TEX]
[TEX]<=>(a^2+b^2+c^2)^2+1\ge \sum_{cyc}ab+\sum_{cyc}a^2b+\sum_{cyc}a^2c[/TEX]
[TEX](\sum_{cyc}a^2)^2+2\sum_{cyc}a^3\ge \sum_{cyc}a^2[/TEX]
Toi day ap dung cheybev

xin lỗi nhưng mình không biết chebey như thế nào. Bạn có thể giải kỹ hơn được không. Cám ơn

 

[quyenuy0241]

[TEX]\sum \frac{a^2+b}{b+c} = \sum \frac{a^2+b(a+b+c)}{b+c} = \sum \frac{a^2 +ab+b^2+bc}{b+c}[/TEX]
Mà [TEX]\sum_{cyc} \frac{b^2}{b+c} = \sum_{cyc} \frac{c^2}{b+c}[/TEX] nên [TEX]\sum \frac{a^2+bc+b^2+ab}{b+c}= \sum \frac{a^2+ab+\frac{1}{2}(b^2+c^2+2bc)}{b+c}[/TEX]
[TEX]= \sum \frac{a^2+ab}{b+c} + a+b+c[/TEX]
Ta cần chứng minh [TEX]\sum \frac{a^2+ab}{b+c} \ge 1[/TEX] ;
bdt hoán vị :
[TEX]\sum_{cyc} \frac{a^2}{b+c} \ge \sum_{cyc} \frac{ac}{b+c}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{a^2+ab}{b+c} \ge \sum \frac{ac+ab}{b+c} = a+b+c =1[/TEX]

Hơi cầu kì thì phải )



[tex]a+b+c+\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{c+a}+ \frac{c^2+a}{a+b} \ge 3 [/tex]

[tex]\frac{a(a+b+c)+b}{b+c}+\frac{b(a+b+c)+c}{a+c}+ \frac{c(a+b+c)+a}{a+b} \ge 3 [/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+ \frac{c+a}{a+b} \ge 3 [/tex]

 

[vientrang]

[TEX]\sum \frac{a^2+b}{b+c} = \sum \frac{a^2+b(a+b+c)}{b+c} = \sum \frac{a^2 +ab+b^2+bc}{b+c}[/TEX]
Mà [TEX]\sum_{cyc} \frac{b^2}{b+c} = \sum_{cyc} \frac{c^2}{b+c}[/TEX] nên [TEX]\sum \frac{a^2+bc+b^2+ab}{b+c}= \sum \frac{a^2+ab+\frac{1}{2}(b^2+c^2+2bc)}{b+c}[/TEX]
[TEX]= \sum \frac{a^2+ab}{b+c} + a+b+c[/TEX]
Ta cần chứng minh [TEX]\sum \frac{a^2+ab}{b+c} \ge 1[/TEX] ;
bdt hoán vị :
[TEX]\sum_{cyc} \frac{a^2}{b+c} \ge \sum_{cyc} \frac{ac}{b+c}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{a^2+ab}{b+c} \ge \sum \frac{ac+ab}{b+c} = a+b+c =1[/TEX]

Mình không hiểu mà: làm sao mà [TEX]\sum_{cyc} \frac{b^2}{b+c} = \sum_{cyc} \frac{c^2}{b+c}[/TEX] được, người ta đâu có cho b=c
Mà [TEX]\sum_{cyc}[/TEX] là gì vậy?

 

[legendismine]

Mình không hiểu mà: làm sao mà [TEX]\sum_{cyc} \frac{b^2}{b+c} = \sum_{cyc} \frac{c^2}{b+c}[/TEX] được, người ta đâu có cho b=c
Mà [TEX]\sum_{cyc}[/TEX] là gì vậy?

Bạn dandoh k giai thik j thêm đâu Cậu thử trừ vế theo vế thủ di nhé

 

[quyenuy0241]

Cho x,y,z dương và [TEX]xy+yz+zx=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{x}{y(1+x^2)}+\frac{y}{z(1+y^2)}+\frac{z}{x(1+z^2)}\geq \frac{9}{4}[/TEX].

Đã từng có trong pic này nhưng chưa ai giải ? .

 

[ngojsaoleloj8814974]

bài tiếp nhé : cho x thuộc [0,1] chứng minh rằng :

[TEX]S = 13\sqrt{x^2-x^4} + 9\sqrt{x^2+x^4} \leq 16[/TEX]

[TEX]S = 13\sqrt{x^2-x^4} + 9\sqrt{x^2+x^4}=26\sqrt[]{\frac{x^2(1-x^2)}{4}}+6\sqrt[]{\frac{9x^2(x^2+1)}{4}}[/TEX]
[TEX]\leq 26(\frac{\frac{x^2}{4}+1-x^2}{2})+6(\frac{\frac{9x^2}{4}+1+x^2}{2})=16+\fra{\frac{13x^2}{2}-26x^2+\frac{27x^2}{2}+6x^2}{2}=16[/TEX]

 

[deltano.1]

Cho x, y, z là các số dương thay đổi thỏa mãn:[tex]xy^2z^2+x^2z+y=3z^2[/tex]
Tìm MAX [tex] P=\frac{z^4}{1+(z^4)(x^4+y^4)}[/tex]

 

[legendismine]

Cho x, y, z là các số dương thay đổi thỏa mãn:[tex]xy^2z^2+x^2z+y=3z^2[/tex]
Tìm MAX [tex] P=\frac{z^4}{1+(z^4)(x^4+y^4)}[/tex]

[TEX]\Leftrightarrow\frac {z^4}{1+2z^6}\le \frac {z^4}{3z^4}[/TEX]
Dk:[TEX]xyz^2+x^2z+y\ge 3xyz=>z\ge xy[/TEX]
1 va 2[TEX] =>Max P=\frac {1}{3}[/TEX]:

 

[legendismine]

Neu [TEX]x\ge y\ge z>0[/TEX]thi:
[TEX]\sum_{cyc}\frac {x^2y}{z}\ge x^2+y^2+z^2[/TEX]bai nay don gian thoi cac ban^^