Toán 10 [Toán 10] Bài tập phương trình vô tỷ

[foreverloveya123]

lấy phương trình 1 trừ phương trình 2 ta có
[TEX](y-z)(y+z-1)=0[/TEX]
*nếu y=z thay vào pt 2 và pt 3 rồi lấy tiếp pt 2 trừ pt 3, có
[TEX](x-y)(x+y-1)=0[/TEX]
nếu x=y thì thay hết về y rồi gpt tìm được y
nếu x+y=1 thì x=1-y
thay hết về y, gpt
*nếu y+z=1 thì z=1-y
thay vào pt 2 và pt 3
pt 2: [TEX]x^2+y+z^2=1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2+y+(1-y)^2=1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2+y^2-y=0[/TEX]
pt 3: [TEX]x+y^2+z^2=1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+y^2+(1-y)^2=1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+2y^2-2y=0[/TEX]
lấy pt 3 trừ pt 2, có y^2-y=0
tính được y, thay vào có được z và thay nốt vào, có được x
p/s: làm bài trong điều kiện không nháp :| có thể có sai sót

 

[lop10a1dqh]

Giải hệ phương trình nè các bạn

mình sẽ gửi một câu trước nếu có câu nào không làm được mình lại hỏi tiếp nha
1)[TEX]\left\{\begin{matrix} (2x^2-1)(2y^2-1)=\frac{7}{2}xy & \\ x^2+y^2+xy-7x-6y+14=0 & \end{matrix}\right[/TEX]

 

[jet_nguyen]

$$\left\{\begin{array}{1} (2x^2-1)(2y^2-1)=\dfrac{7}{2}xy (1)\\ x^2+y^2+xy-7x-6y+14=0 (2)\end{array}\right.$$ $\bullet$ (2) tương đương:
$${x^2} + x ( y - 7) + {y^2} - 6y + 14 = 0$$ Phương trình này có nghiệm khi:
${\Delta _y} = {(y - 7)^2} - 4({y^2} - 6y + 14) \ge 0 \Longleftrightarrow - 3{y^2} + 10y - 7 \ge 0 \Longleftrightarrow 1 \le y \le \dfrac{7}{3}$
Hoàn toàn tương tự, xem (2) là phương trình bậc hai theo biến y, viết lại là:
$${y^2} - y(x - 6) + ({x^2} - 7x + 14) = 0$$ Phương trình này có nghiệm khi:
${\Delta _x} = {(x - 6)^2} - 4({x^2} - 7x + 14) \ge 0 \Longleftrightarrow - 3{x^2} + 16x - 20 \ge 0 \Longleftrightarrow 2 \le x \le \dfrac{{10}}{3}$
Xét hàm số: $f(t)=2t-\dfrac{1}{t}$ trên $[1,\dfrac{10}{3}]$
Ta có: $f '(t)=2+\dfrac{1}{t^2} >0$ \forall$t \in [1,\dfrac{10}{3}]$
Do đó $f(t)$ đồng biến trên $[1,\dfrac{10}{3}]$
$\bullet$ Với $x=0,y=0$: không thoả phương trình
$\bullet$ Với $x \ne 0$ thì (1) trở thành:
$$(2x-\dfrac{1}{x})(2y-\dfrac{1}{y})=\dfrac{7}{2}( * )$$ Do ( * ) có dạng: $f(x).f(y) \ge f(2).f(1)$
Nên ta có: $(2x-\dfrac{1}{x})(2y-\dfrac{1}{y}) \ge \dfrac{7}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=2,y=1$
Vậy $x=2,y=1$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

 

[nguyenmouse]

1) $$(x^2- 5x+ 1)( x^2 -4) = 6( x-1)^2$$

2) $$x^2 - 12 = (3 x^2 - 6x - 3).( x+2) ^2$$

3) $$\frac{2x}{3x^2- 5x+2} +\frac{13x}{3x^2+x+2}$$ =6

4) $$( x^2- 5x+ 3).( 2x^2+ 5x- 1) = ( x^2+ 5x+ 3).( 2x^2- 5x+ 1)$$

5) $$4.\sqrt{1+x} - 1 = 3x + 2.\sqrt{1-x} +\sqrt{1- x^2}$$

6) $$1+ x - 2 x^2 =\sqrt{4.x^2 -1} - \sqrt{2x+1}$$

7) [tex]2x+ \frac{x -1}{x} - \sqrt{1- \frac{1}{x}} - 3.\sqrt{x- \frac{1}{x} =0[/tex]

8) $$x^2+ ( 3-\sqrt{x^2 + 2}).x = 1+ 2. \sqrt{x^2 + 2}$$

9) $$(x +1).\sqrt{x^2 -2x +3}= x^2 +1$$

10) $$2.\sqrt{2x +4}+ 4.\sqrt{2- x} =\sqrt{9x^2+16}$$

11) [tex]\sqrt{12-\frac{12}{x^2}}+\sqrt{x^2- \frac{12}{x^2} = x^2[/tex]

12) [tex]\frac{x+2+x \sqrt{2x+1}}{ x+ \sqrt{2x+1} = \sqrt{x+2}[/tex]

Bài 7 đặt ẩn [TEX] a=\sqrt{1- \frac{1}{x}}=\sqrt{\frac{x-1}{x}}[/TEX] và [TEX]b=x+1[/TEX]
Quy PT thành pt bậc 2, 1 ẩn rồi tính delta
Bài này có điểm đặc biệt là delta có dạng [TEX][f(x)]^2[/TEX] nên tính được nghiệm

 

[trangc1]

toa10]ư tìm m để pt sau CN

tìm m để pt sau CN [TEX] (3-x)(1-\sqrt{1+x})-\sqrt{3-x}+ \sqrt{1+x} = (3-m)(\sqrt{3-x} -1 )[/TEX]
gpt
[TEX]x+ \sqrt{5+\sqrt{x-1}} =6[/TEX]

 

[nguyenmouse]

1) $$(x^2- 5x+ 1)( x^2 -4) = 6( x-1)^2$$

2) $$x^2 - 12 = (3 x^2 - 6x - 3).( x+2) ^2$$

3) $$\frac{2x}{3x^2- 5x+2} +\frac{13x}{3x^2+x+2}$$ =6

4) $$( x^2- 5x+ 3).( 2x^2+ 5x- 1) = ( x^2+ 5x+ 3).( 2x^2- 5x+ 1)$$

5) $$4.\sqrt{1+x} - 1 = 3x + 2.\sqrt{1-x} +\sqrt{1- x^2}$$

6) $$1+ x - 2 x^2 =\sqrt{4.x^2 -1} - \sqrt{2x+1}$$

7) [tex]2x+ \frac{x -1}{x} - \sqrt{1- \frac{1}{x}} - 3.\sqrt{x- \frac{1}{x} =0[/tex]

8) $$x^2+ ( 3-\sqrt{x^2 + 2}).x = 1+ 2. \sqrt{x^2 + 2}$$

9) $$(x +1).\sqrt{x^2 -2x +3}= x^2 +1$$

10) $$2.\sqrt{2x +4}+ 4.\sqrt{2- x} =\sqrt{9x^2+16}$$

11) [tex]\sqrt{12-\frac{12}{x^2}}+\sqrt{x^2- \frac{12}{x^2} = x^2[/tex]

12) [tex]\frac{x+2+x \sqrt{2x+1}}{ x+ \sqrt{2x+1} = \sqrt{x+2}[/tex]

Chiến tiếp nào
11) $$\sqrt{12-\frac{12}{x^2}}+\sqrt{x^2- \frac{12}{x^2}} = x^2 (*)$$
Đặt
$$\sqrt{12-\frac{12}{x^2}}=a$$ và [tex]\sqrt{x^2- \frac{12}{x^2}=b[/tex] (sory quen mất cách đánh dấu "và", ai biết chỉ mình )
$$(*) \Leftrightarrow a+b=x^2$$
mà $$x^2=b^2-a^2+12$$
$$\Leftrightarrow b-a=\frac{b^2-a^2}{a+b}=\frac{x^2-12}{x^2}=1-\frac{12}{x^2}$$
$$\Leftrightarrow (b-a)+(b+a)=2b=1-\frac{12}{x^2}+x^2$$
........

 

[trangc1]

k ai làm cho à ( làm họ đi minh cần gấp lắm@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)

 

[tettrungthu17896]

Giúp em bài phương trình này với

Giải các phương trình sau:
1)[TEX]\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt{1-x^3}=x[/TEX]

2)[TEX]\frac{2010x^4+x^4\sqrt{x^2+2010}+x^2}{2009}=2010[/TEX]

Cảm ơn quý vị và các bạn đã theo dõi bài này@};-
Nhớ giúp mình nhanh nha

 

[vy000]

[TEX]1.\Leftrightarrow \sqrt[]{1-x^3}+x=\sqrt[3]{2x-1}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \sqrt[]{(1-x)(x^2+x+1)}+\frac{1-x}{x^2+x\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{(2x-1^2)}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (1-x)(\sqrt[]{x^2+x+1}+\frac{1}{x^2+x\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{(2x-1^2)}}=0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x=1[/TEX]

$2.\text{please wait}$

 

[nguyenmouse]

Định giải câu 1 mà cậu vy000 giải trước rùi chờ tí làm câu 2
Câu 1 áp dụng liên hợp 2 căn bậc 3
Đk:...
$$\sqrt[3]{2x-1}-x=\sqrt{1-x^3}$$
$$\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{x}-\sqrt{1-x^3}-x+\sqrt[3]{x}=0$$
$$\frac{x-1}{A}-\sqrt{(1-x)(B)}-\frac{x^3-x}{C}$$ (A,B,C dương)
$$(x-1)(f(x))=0$$. Chứng minh $$f(x)$$ khác 0 là ra
Câu 2 tớ nghĩ là đặt ẩn $$\sqrt{x^2+2010}=a$$ rồi biến PT phân thức thành PT bình thường. Để xem còn cách nào khác không ?


Còn cách nữa mới nghĩ ra:
Đặt $$x^4=a$$,$$\sqrt{x^2+2010}=b$$
Vậy pttđ:$$2010a+ab+b^2-2010=2010.2009$$
$$\Leftrightarrow 2010a+ab+b^2=2010^2$$
Mà $$\sqrt{a}+2010=b$$
$$\Leftrightarrow a=(b-2010)^2$$
Vậy $$2010(b-2010)^2+b(b-2010)^2+b^2=2010^2$$
$$\Leftrightarrow (2010+b)(b-2010)^2+(b-2010)(b+2010)=0$$
$$\Leftrightarrow (b^2-2010^2)(b-2010-1)=0$$

Hehehe may quá ra trước tiên
nHỚ THANKS nếu trả lời đúng
[COMPLETE]

 

[nguyenbahiep1]

[TEX]1.\Leftrightarrow \sqrt[]{1-x^3}+x=\sqrt[3]{2x-1}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \sqrt[]{(1-x)(x^2+x+1)}+\frac{1-x}{x^2+x\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{(2x-1^2)}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (1-x)(\sqrt[]{x^2+x+1}+\frac{1}{x^2+x\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{(2x-1^2)}}=0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x=1[/TEX]

$2.\text{please wait}$

đáp án x = 1 là đúng nhưng sao có từ dòng 1 xuống dòng 2 thế kia

nhân liên hợp thì trên tử phải có [TEX]x^3[/TEX] chứ

dòng cuối sao độp 1 cái cho x = 1

 

[kakashi_hatake]

[TEX]\frac{2010.x^4 +x^4.\sqrt{x^2+2010} +x^2}{2009}=2010[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]2010x^4+x^4.\sqrt{x^2+2010} + x^2 =2010^2-2010[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]x^2+2010+x^4.\sqrt{x^2+2010} + \frac{x^8}{4} - \frac{x^8}{4}+2010x^4-2010^2=0 \Leftrightarrow (\sqrt{x^2+2010}+\frac{x^4}{2})^2-(\frac{x^4}{2}-2010)^2=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](\sqrt{x^2+2010}+2010)(\sqrt{x^2+2010}+x^4-2010)=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\sqrt{x^2+2010} +x^4-2010=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]x^4+x^2+\frac{1}{4}-(x^2+2010)+\sqrt{x^2+2010}-\frac{1}{4}=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x^2+\frac{1}{2})^2-(\sqrt{x^2+2010}-\frac{1}{2})^2=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX] (x^2+\frac{1}{2}+\sqrt{x^2+2010}-\frac{1}{2})(x^2+\frac{1}{2}-\sqrt{x^2+2010}+\frac{1}{2})=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]x^2-\sqrt{x^2+2010}+1=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](x^2+1)^2=x^2+2010[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]x^4-x^2-2009=0[/TEX]
Đến đây là pt trùng phương bạn tự giải nốt nha

 

[vy000]

em làm bài 2 trước;bài 1 chưa có giấy nháp

đk: x\geq1

nếu x<3 \Rightarrow vế trái <6
nếu x>3 \Rightarrow vế trái >6
\Rightarrow x=3

 

[nguyenmouse]

Hahaha cách tớ với cậu kakashi_hatake cũng giống nhau thôi chỉ có tớ đặt ẩn còn kakashi_hatake đánh thẳng ra.
Ý tưởng lớn gặp nhau.

 

[tettrungthu17896]

tiếp nha!!

Một câu nữa nha:
3)[TEX](2x+1)\sqrt{x-1}+\sqrt{2x^2-3x+1}\geq \sqrt{(2x-1)^3}+1[/TEX]

Lại cảm ơn làn nữa

 

[nguyenmouse]

Một câu nữa nha:
3)[TEX](2x+1)\sqrt{x-1}+\sqrt{2x^2-3x+1}\leq \sqrt{(2x-1)^3}+1[/TEX]

Lại cảm ơn làn nữa

Xem lại đề giùm mình nha bạn hình như đề sai rùi
Thế x=2,3,4 bất PT không xảy ra

Một câu nữa nha:
3)[TEX](2x+1)\sqrt{x-1}+\sqrt{2x^2-3x+1}\geq \sqrt{(2x-1)^3}+1[/TEX]

Lại cảm ơn làn nữa

Hình như đề vẫn sai thế x=9 thử coi

 

[nguyenmouse]

em làm bài 2 trước;bài 1 chưa có giấy nháp

đk: x\geq1

nếu x<3 \Rightarrow vế trái <6
nếu x>3 \Rightarrow vế trái >6
\Rightarrow x=3

Cái cậu này, thế thử x=3 vào xem đúng không ?
Đọc kỹ đề nha bạn

 

[nguyenmouse]

[TEX]x+ \sqrt{5+\sqrt{x-1}} =6[/TEX]

pttđ:$$x+\sqrt{(6-x)+(x-1)+sqrt{x-1}}=6$$
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{6-x+x-1+sqrt{x-1}}=6-x[/TEX]
Đặt [tex]6-x=a,x-1=b[/TEX]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{a+b+\sqrt{b}}=a[/TEX]
[tex]\Leftrightarrow a+b+\sqrt{b}=a^2[/TEX]
[tex]\Leftrightarrow a^2-b+a+\sqrt{b}=0[/TEX]
[tex]\Leftrightarrow (a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}+1)=0[/TEX]
...

Hãy thanks nếu hài lòng

 

[nguyenmouse]

tìm m để pt sau CN [TEX] (3-x)(1-\sqrt{1+x})-\sqrt{3-x}+ \sqrt{1+x} = (3-m)(\sqrt{3-x} -1 )[/TEX]

Câu 1 mình làm mà cũng không chắc, có sai xin chỉ giáo:
[TEX] (3-x)(1-\sqrt{1+x})-\sqrt{3-x}+ \sqrt{1+x} = (3-m)(\sqrt{3-x} -1 )[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3-3\sqrt{x+1}-x+x\sqrt{x+1} -\sqrt{3-x}+\sqrt{1+x}-3\sqrt{3-x}+3+m\sqrt{3-x}-m=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x+1}(x-2)+\sqrt{3-x}(m-4)+6-m-x=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-2)(\sqrt{x+1}-1)+(m-4)(\sqrt{3-x}-1)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-2)(\sqrt{x+1}-1)+(m-4)(\frac{2-x}{sqrt{3-x}+1})=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-2)(\sqrt{x+1}-1-\frac{m-4}{sqrt{3-x}+1})=0[/TEX]
Với x=2 pt có $$n_0$$
Với x<>2 pt có $$n_0$$ khi:
[TEX] \sqrt{x+1}-1=\frac{m-4}{sqrt{3-x}+1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow m-4=(\sqrt{3-x}+1)(\sqrt{x+1}-1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow m=\sqrt{(3-x)(x+1)}+\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}+2[/TEX]
Đặt [TEX] t=\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}[/TEX]
[TEX]4-t^2=2\sqrt{(3-x)(x+1)}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2m=6+4-t^2+2t=-t^2+2t+10[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow t^2-2t-10+2m=0 (I)[/TEX]
Để pt có nghiệm x thì $$(I)$$ phải có nghiệm
[TEX]\Delta'=11-2m \geq 0[/TEX]
Vậy [TEX]m \geq \frac{11}{2}[/TEX]
Khi [TEX]m \geq \frac{11}{2}[/TEX] gọi [TEX]t_0[/TEX] là nghiệm của [TEX](I)[/TEX]
[TEX]t_0= \sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow t_0^2=(\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x})^2=4-2\sqrt{(3-x)(x+1)}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4-t_0^2=2\sqrt{(3-x)(x+1)}=2\sqrt{-x^2+2x+3}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (4-t_0^2)^2=-4x^2+8x+12[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4x^2-8x-12+(4-t_0^2)^2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2-2x-3+(2-\frac{t_0^2}{2})^2=0[/TEX]

 

[nguyenmouse]

Do PT phải có nghiệm x nên [TEX](II)[/TEX] phải có nghiệm
[TEX]\Delta'=4-(2-\frac{t_0^2}{2})^2 \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (2-\frac{t_0^2}{2})^2 \leq 4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow t_0^2 \leq 4[/TEX]
Vậy để PT (II) có nghiệm thì [TEX]t_0^2 \leq 4[/TEX]
Có nghĩa để PT đầu đề có nghiệm thì PT [TEX](I)(II)[/TEX] đều phải có nghiệm do chúng tương đương hay [TEX]m \leq 4[/TEX] và [TEX]t_0^2 \leq 4[/TEX]
Quay lại PT [TEX]t^2-2t-10+2m=0 (I)[/TEX]
Với [TEX]m=\frac{11}{2}[/tex] thì [tex]t_0=1[/TEX]
Với [TEX]m \leq \frac{11}{2}[/TEX] thì
TH1: [TEX]t_0=(1+\sqrt{11-2m})^2 \leq 4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 0 \leq \sqrt{11-2m} \leq 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 7 \leq 2m[/TEX]
Vậy [TEX]\frac{7}{2} \leq m \leq \frac{11}{2}(*)[/TEX]
TH2: [TEX] t_0=(1-\sqrt{11-2m})^2 \leq 4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1 \leq m \leq \frac{11}{2}[/TEX]
Vậy [TEX] 1 \leq m \leq \frac{11}{2}(**)[/TEX]

Kết hợp $$(*)(**)$$ ta có [TEX] 1 \leq m \leq \frac{11}{2}[/TEX] thì PT có nghiệm
Phù..gõ lêtx mệt chết đi được.


HẢY THANKS NẾU THẤY CÓ ÍCH