Toán 10 [Toán 10] Bài tập phương trình vô tỷ

[kakashi_hatake]

[toán 10] Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

Cho [TEX]t^2-2mt-m+2=0[/TEX]
Tìm m để phương trình có nghiệm t [TEX]\in [-1,1][/TEX]

Em làm bài này theo mấy cách để xem cách đó có đúng k
+ Cách 1 em tìm t1, t2 theo m rồi tìm đk của m để hoặc t1 hoặc t2 thỏa mãn đk \geq -1 \leq 1
+ Cách 2 em tìm m = f(x) = [TEX]\frac{t^2+2}{2t+1}[/TEX] (t=-1/2 k thỏa mãn)
Sau đó em tìm ra khoảng của f(x) từ đó ra khoảng của m
+ Cách 3 em định làm là cho f(-1), f(1) >0 và -2<2m<2
Cách này em thấy k đúng vì với điều kiện này cả 2 t1, t2 đều thỏa mãn

Em làm xong thấy rất rối vì kết quả k trùng nhau
Mong mọi người chỉ giúp !!!

 

[truongduong9083]

Chào bạn

Cách giải thứ hai của bạn có vấn đề chỗ $x = -\frac{1}{2}$ nên khi lập bảng biến thiên chỗ đó hàm số không xác định. cậu phải tìm giới hạn khi x tiến đến $(\frac{1}{2})^+$ và
$(\frac{1}{2})^-$
còn cách giải 3 thì vấn đề thật rồi. phải xét nhiều trường hợp đấy
theo mình bài này làm theo cách 1 và 2 thôi nhé

 

[thophi128]

[TEX]f(t)=t^2-2mt-(m-2)[/TEX]
[TEX]\Delta = (m+2)(m-1)[/TEX]

Để pt có nghiệm [TEX]\Delta \geq 0 \Leftrightarrow m \in (- \infty; -2] \bigcup [1; + \infty)[/TEX]

khi đó pt có 2 nghiệm t1, t2 ([TEX]t1 \leq t2[/TEX])

để pt có nghiệm trong khoảng [TEX][{-1}; 1][/TEX] có 3TH

TH1: [TEX]t1 \leq {-1} \leq t2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a.f(-1) \leq 0 \Rightarrow m+3 \leq 0 \Rightarrow m \leq -3[/TEX]

TH2: [TEX]t1 \leq 1 \leq t2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a.f(1) \leq 0 \Rightarrow 3-3m \leq 0 \Rightarrow m \geq 1[/TEX]

TH3: [TEX]{-1} \leq t1 \leq t2 \leq 1[/TEX]
[tex]\Rightarrow \left{\begin{a.f(1) \geq 0}\\{af(-1) \geq 0}\\{-1 \leq \frac{S}{2} \leq 1} [/tex]
[tex]\Rightarrow \left{\begin{m \geq -3}\\{m \leq 1}\\{-1 \leq m \leq 1} [/tex]
[TEX]\Rightarrow {-1} \leq m \leq 1[/TEX]

Kết hợp 3 TH ta có
[tex]\left[\begin{m \leq -3}\\{m \geq 1}\\{-1 \leq m \leq 1} [/tex]
[TEX]\Rightarrow m\in (-\infty; -3]\bigcup [1; +\infty)[/TEX]

Note:
Cách thứ 2 của e ko được. đặt [TEX]f(t)=\frac{t^2+2}{2t+1}[/TEX] thì em suy ra khoảng của m bằng cách nào?

Nếu em thay hai mút t=1 và t=-1 vào thì ko được đâu nhé
a lấy ví dụ đơn giản thế này.
hàm [TEX]y = x^2[/TEX] có miền giá trị là bao nhiêu ứng mới miền xác định [TEX]x\in [-1; 2][/TEX]

Nếu thay mút x=-1 và x=2 vào để kết luận miền giá trị là [TEX][1; 4][/TEX] là sai (thực tế là [TEX][0; 4][/TEX])

Muốn suy ra miền giá trị của một hàm ứng với một khoảng của biến ta phải dựa và bảng biến thiên mới rõ ràng và chính xác nhất. Mà cái này em mới từ 10 lên 11 thì chưa thể làm được.

với phạm vi kiến thức như của em thì dùng tính chất tam thức bậc 2 là hợp lý nhất.

Cách 3 thì a chưa hiểu ý em lắm

 

[minhchi96]

giải hpt

[TEX]\left\{ \begin{array}{l} x^3-3x+2=y^3-6y^2+9y \\ (y-2)^6=1-x^6\end{array} \right.[/TEX]

 

[nguyenbahiep1]

từ hệ (1)

[TEX] x^3 -3x = (y-2)^3 -12y +9y +8 -2 \\ x^3 -3x - (y-2)^3 +3.(y-2) = 0\\ (x-y+2)((x^2 + (y-2)^2 +x.(y-2)) -3.(x-y+2) = 0 \\ x-y +2 = 0 \Rightarrow x = y -2 \\ x^2 + (y-2)^2 +x.(y-2) -3 = 0 [/TEX]

thay vào (2)


[TEX](y-2)^6 = 1 - (y-2)^6 \Rightarrow (y-2)^6 = \frac{1}{2} \\ y = 2 + \frac{1}{\sqrt[6]{2}} \Rightarrow x= \frac{1}{\sqrt[6]{2}}\\ y = 2 - \frac{1}{\sqrt[6]{2}}\Rightarrow x = - \frac{1}{\sqrt[6]{2}}[/TEX]

 

[vingotomai_gl]

giai pt

giải pt
[TEX]2(x^2+1)=5\sqrt[]{x^4+x^2+1}[/TEX] giai ho mk vs

 

[phamducanhday]

đây là toán lớp mấy mà seo khó zữ zậy ****************************????????

 

[newstarinsky]

giải pt
[TEX]2(x^2+1)=5\sqrt[]{x^4+x^2+1}[/TEX] giai ho mk vs

Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của PT nên ta chia cả 2 vế cho x nên PT trở thành
$2(x+\frac{1}{x})=5\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}+1}$
Đặt $x+\frac{1}{x}=t$
PT trở thành
$2t=5\sqrt{t^2-2+1}=5\sqrt{t^2-1}\\
\Leftrightarrow\begin{cases} t\geq 1 \\ 4t^2=5t^2 - 5 \end{cases}
\Leftrightarrow t=\frac{\sqrt{5}}{2}$
Nên $x+\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{5}}{2}\\
\Leftrightarrow 2x^2-\sqrt{5}x+2=0$(vô nghiệm)
OK nhé

 

[jet_nguyen]

giải pt
[TEX]2(x^2+1)=5\sqrt[]{x^4+x^2+1}[/TEX] giai ho mk vs

Mình gơi ý cho bạn nhé.
$\bullet$ Xét x=0 ta thấy không thoả mãn.
$\bullet$ Xét $x < 0$ chia 2 vế của phương trình cho x ta được:
$$2(x+\dfrac{1}{x})=-5\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}+1}$$ Đặt $t=x+\dfrac{1}{x}.$
$\bullet$ Xét $x > 0$ chia 2 vế của phương trình cho x ta được:
$$2(x+\dfrac{1}{x})=5\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}+1}$$ Đặt $t=x+\dfrac{1}{x}.$
Tới đây bạn tiếp tục nhé.

 

[vingotomai_gl]

cảm ơn

ui trời cuối cùng là vô nghiệm ak z thì ai chẳng biết nhưng mình thấy có vẻ sai quá ak

 

[huytrandinh]

co the lam theo cach nhu sau su dung khai trien
x^4+x^2+1=(x^2+X+1)(x^2-x+1) nen ta dat an phu a=can(x^2+x+1),b=can(x^2-x+1) tu do suy ra
x^2+1=a^2+b^2 den day la ta co mot he phuong trinh bac hai an a/b hoac b/a giai ra ta se duoc nghiem cua pt dau. bai nay vo nghiem roi bun ghe

 

[theanvyvy]

giải giúp mình 2 pt này với

[TEX]\sqrt{x}-\sqrt[3]{2x-1}=1[/TEX]
[TEX]2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}=8[/TEX]

 

[truongduong9083]

Chào bạn

Câu 1.
Đặt $t = \sqrt[3]{2x-1} \Rightarrow x = \dfrac{t^3+1}{2}$
phương trình ban đầu trở thành
$\sqrt{ \dfrac{t^3+1}{2}} = t+1$
Đến đây cơ bản rồi bạn nhé
Câu 2. Tương tự câu 1
bạn có thể tham khảo thêm cách giải khác ở đề khối A năm 2009 nhé

 

[nguyenmouse]

1) [tex] (x^2- 5x+ 1)( x^2 -4) = 6( x-1)^2[/tex]

2) [tex] x^2 - 12 = (3 x^2 - 6x - 3).( x+2) ^2[/tex]

3) [tex]\frac{2x}{3x^2- 5x+2} +\frac{13x}{3x^2+x+2}[/tex] =6

4) [tex]( x^2- 5x+ 3).( 2x^2+ 5x- 1) = ( x^2+ 5x+ 3).( 2x^2- 5x+ 1)[/tex]

5) [tex]4.\sqrt{1+x} - 1 = 3x + 2.\sqrt{1-x} +\sqrt{1- x^2}[/tex] nghiệm X=0

6) [tex]1+ x - 2 x^2 =\sqrt{4.x^2 -1} - \sqrt{2x+1}[/tex] nghiệm X=1

7) [tex]2x+ \frac{x -1}{x} - \sqrt{1- \frac{1}{x}} - 3.\sqrt{x- \frac{1}{x} =0[/tex]

8) [tex] x^2+ ( 3-\sqrt{x^2 + 2}).x = 1+ 2. \sqrt{x^2 + 2}[/tex]

9) [tex](x +1).\sqrt{x^2 -2x +3}= x^2 +1[/tex]

10) [tex]2.\sqrt{2x +4}+ 4.\sqrt{2- x} =\sqrt{9x^2+16}[/tex]

11) [tex]\sqrt{12-\frac{12}{x^2}}+\sqrt{x^2- \frac{12}{x^2} = x^2[/tex]

12) [tex]\frac{x+2+x \sqrt{2x+1}}{ x+ \sqrt{2x+1} = \sqrt{x+2}[/tex]

Câu 2 hình như sai đề đấy !
Đây là đề nếu mình nhớ không lầm là của ĐHSP Hà Nội

[TEX] x^2=(3x^2-6x-3)(x+2)^2 [/TEX]
Cách giải PT trên tương đương
[TEX] \frac{x^2}{(x+2)^2} = 3x^2-6x-3 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x^2}{(x+2)^2} + (x^2+4x+4) - 2x = 4x^2-4x+1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x}{(x+2)}-x-2)^2=(2x-1)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x}{(x+2)}-x-2)= |2x-1|[/TEX]
Tới đây thì làm bình thường nha !

Thực ra thì bài này theo đề chủ thớt vẫn có thể giải nhưng chỉ ra 1 nghiệm nguyên là x=0 nên pt hạ bậc còn bậc 3. PT bậc 3 này có 1 nghiệm cực lẻ (hiện giờ mình vẫn chưa tìm ra cách đặt ẩn phụ) buộc phaỉ áp dụng Cardano hoặc Phương pháp dùng ánh xạ lặp (Kiến Thức lớp lớn), Ferary.
Cụ thể :
[TEX]Cardano: x=\frac{1}{9}( -6 + \sqrt[3]{(2862-54sqrt{809})} + \sqrt[3]{2(53+sqrt{809})}[/TEX]
Hoặc có thể ra là
[TEX] \frac{2sqrt5}{3} (\sqrt[3]{ \frac{106}{40sqrt5} + \sqrt{\frac{809}{2000}}}+\frac {1}{\sqrt[3]{ \frac{106}{40sqrt5} + \sqrt{\frac{809}{2000}}}})-\frac{2}{3}[/TEX]
Phù.... gõ công thức mệt chết đi được !
Thực ra thì có lẽ 2 đáp án như nhau thôi!Nếu có bạn nhập thử nghiệm vào máy mà thấy nghiệm dưới không đúng thì đó là do nghiệm dưới có 1 phân số có dấu căn gây ra sai số tích lũy trong bộ nhớ máy đấy !!!!!

 

[nguyenmouse]

BÀi 4 hình như sai đề rùi đó bạn vì nếu tính thì ra nghiệm rất lẻ

 

[nguyenmouse]

1) [tex] (x^2- 5x+ 1)( x^2 -4) = 6( x-1)^2[/tex]

2) [tex] x^2 - 12 = (3 x^2 - 6x - 3).( x+2) ^2[/tex]

3) [tex]\frac{2x}{3x^2- 5x+2} +\frac{13x}{3x^2+x+2}[/tex] =6

4) [tex]( x^2- 5x+ 3).( 2x^2+ 5x- 1) = ( x^2+ 5x+ 3).( 2x^2- 5x+ 1)[/tex]

5) [tex]4.\sqrt{1+x} - 1 = 3x + 2.\sqrt{1-x} +\sqrt{1- x^2}[/tex]

6) [tex]1+ x - 2 x^2 =\sqrt{4.x^2 -1} - \sqrt{2x+1}[/tex]
7) [tex]2x+ \frac{x -1}{x} - \sqrt{1- \frac{1}{x}} - 3.\sqrt{x- \frac{1}{x} =0[/tex]

8) [tex] x^2+ ( 3-\sqrt{x^2 + 2}).x = 1+ 2. \sqrt{x^2 + 2}[/tex]

9) [tex](x +1).\sqrt{x^2 -2x +3}= x^2 +1[/tex]

10) [tex]2.\sqrt{2x +4}+ 4.\sqrt{2- x} =\sqrt{9x^2+16}[/tex]

11) [tex]\sqrt{12-\frac{12}{x^2}}+\sqrt{x^2- \frac{12}{x^2} = x^2[/tex]

12) [tex]\frac{x+2+x \sqrt{2x+1}}{ x+ \sqrt{2x+1} = \sqrt{x+2}[/tex]

Câu 5 cậu Mr.Vui hình như dùng lượng giác hóa thì phải
Theo mình bài 5 có thể làm theo cách đặt ẩn phụ như sau:
Đặt [TEX]a=sqrt{1+x}[/TEX] và b=[TEX]sqrt{1-x}[/TEX]
Vậy PT trở thành
[TEX]\Leftrightarrow 4a-1=\frac{3}{2} (a^2-b^2) +2b+ab[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow8a-2=3(a^2-b^2) + 4b + 2ab[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow3a^2-3b^2+4b+2ab-8a+2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow9a^2-9b^2+12b+6ab-24a+6=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(3a)^2+2.3a(b-4)+(b^2-8b+16)-b^2+8b-16-9b^2+12b+6=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(3a)^2+2.3a(b-4)+(b^2-8b+16)-10b^2+20b-10=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(3a+b-4)^2-10(b-1)^2=0[/TEX]
Tới đây chắc ai cũng giải được rùi !!!!

 

[nguyenmouse]

Sặc chủ thớt chép đề sai nhìu quá, lần sau post bài nhớ kiểm kỹ, chứ không bị coi là spam đấy

 

[theanvyvy]

giải giúp mình hệ phương trình

1) [tex]\left\{ \begin{array}{l} x^3 +x^3 y^3 +y^3 =12 \\ x+xy+y=0 \end{array} \right.[/tex]

2) [tex]\left\{ \begin{array}{l} x^2 +y^2 +x+y=4 \\ x(x+y+1)+y(y+1)=2 \end{array} \right.[/tex]

3) [tex]\left\{ \begin{array}{l} x \sqrt{y} +y \sqrt{x} =6 \\ x^2 y+xy^2=20 \end{array} \right.[/tex]

 

[nguyenbahiep1]

1)
[TEX]\left\{\begin{x^3 +x^3 y^3 +y^3 =12 }\\ {x+xy+y=0}[/TEX]

[TEX]\left\{\begin{x^3 +x^3 y^3 +y^3 =12 }\\ {xy=-(x+y)}[/TEX]

[TEX]x^3 +y^3 -(x+y)^3 = 12 \\ -3.x^2y -3x.y^2 =12 \\ -3xy(x+y) =12 \\ (x+y)^2 = 4 \\ x+y = 2 \Rightarrow xy = -2 \Rightarrow x^2 -2x -2 = 0 \Rightarrow x =1-\sqrt{3}, y =1+\sqrt{3} \\ x = 1+\sqrt{3}, y = 1- \sqrt{3}\\ x+y = -2 \Rightarrow xy = 2(L) [/TEX]

2)

[TEX]\left\{\begin{x^2 +y^2 +x+y=4} \\ {x(x+y+1)+y(y+1)=2}[/TEX]

[TEX]\left\{\begin{(x+y)^2 -2xy+x+y=4} \\ {x^2 +y^2 +y+x +xy =2}[/TEX]

[TEX]\left\{\begin{(x+y)^2 -2xy+x+y=4} \\ {(x+y)^2 +y+x -xy =2}[/TEX]

[TEX]\left\{\begin{(x+y)^2 +x+y=0} \\{xy =-2}[/TEX]

[TEX]\left\{\begin{x+y=0} \\{xy =-2}[/TEX]

[TEX]x^2 -2 = 0 \Rightarrow x =\sqrt{2}, y = -\sqrt{2} \\ x =-\sqrt{2}, y= sqrt{2}[/TEX]

[TEX]\left\{\begin{x+y +1=0} \\{xy =-2}[/TEX]

[TEX]x^2+x -2 = 0 \Rightarrow x =1, y = -2 \\ x =-2, y= 1[/TEX]

3)
[TEX]\left\{ \begin{x \sqrt{y} +y \sqrt{x} =6}\\ {x^2 y+xy^2=20}[/TEX]

[TEX]\left\{ \begin{a +b =6}\\ {a^2+b^2=20}[/TEX]

[TEX]a^2 +b^2 = (a+b)^2 -2ab = 36 -2ab = 20 \Rightarrow ab = 8 \\ a^2 -6a +8 = 0 \\ a = 4, b =2\\ a=2, b= 4 [/TEX]

[TEX]\left\{ \begin{x \sqrt{y} =4}\\ {y \sqrt{x}=2}[/TEX]

[TEX]x =4, y = 1[/TEX]
[TEX]\left\{ \begin{x \sqrt{y} =2}\\ {y \sqrt{x}=4}[/TEX]
[TEX]x=1. y =4[/TEX]

 

[kurozakuro]

Giúp mình hệ pt 3 ẩn

Làm giúp mình hệ 3 pt này với !
[TEX]x^2 + y^2 + z = 1[/TEX]
[TEX]x^2 + y + z^2 = 1[/TEX]
[TEX]x + y^2 + z^2 = 1[/TEX]