Ôn Thi Đại Học 2013.

[jet_nguyen]

Bài 82: Giải bất phương trình: $\log_5(4^x+144)-4\log_52<1+\log_5(2^{x-2}+1)$

Bài 83: Giải bất phương trình: $2\log_5x-\log_x125<1$

Bài 84: Giải bất phương trình: $\dfrac{6}{\log_22x}+\dfrac{4}{\log_2x^2}>3$

 

[tinhxan]

Bài 79: Giải bất phương trình: $6^x+2^{x+2} \ge 4.3^x+2^{2x}$

 

[sky_fly_s2]

Bài 82: Giải bất phương trình: $\log_5(4^x+144)-4\log_52<1+\log_5(2^{x-2}+1)$
$\bullet$ Bất phương trình biến đổi thành
$ \log_5(4^x+144)-\log_516-\log_5(2^{x-2}+1)<1$
$\Leftrightarrow \log_5\dfrac{4^x+144}{16(2^{x-2}+1)}<1$
$\Leftrightarrow \dfrac{4^x+144}{4.2^x+16}<5$
$\Leftrightarrow 2^{2x}-20.2^x+64<0$
$\Leftrightarrow 4<2^x<16$
$\Leftrightarrow 2<x<4$

$\bullet$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = (2; 4)$

 

[newstarinsky]

Bài 81: Giải bất phương trình: $\dfrac{2^{x-1}+6x-11}{x-2}>4$

ĐK $x\not=2$
BPt có dạng
$$\dfrac{2^{x-1}+2x-3}{x-2}>0$$
TH1
$$\begin{cases} x>2\\ 2^{x-1}>3-2x \end{cases}$$
Ta thấy $x>2\Rightarrow 3-2x\leq -1<0$ nên $2^{x-1}>0>3-2x$ (luôn đúng)

TH2
$$\begin{cases} x<2 \\ 2^{x-1}<3-2x \end{cases}$$
Nếu $1\leq x<2$ thì $3-2x<0$ nên bpt vô nghiệm
Nếu $x<1$ thì $VT<2^0=1\\
VP>1$
Nên VP>VT(luôn đúng)
Kết luận Tập nghiệm của BPT là $s=R\[1;2]$

 

[jet_nguyen]

Bài 77: Giải bất phương trình: $\dfrac{1}{2^x-1}>\dfrac{1}{1-2^{x-1}}$

Giải:
​

Đặt: $y=2^{x-1} \,\ (y>0)$ thì BPT trở thành:
$$\dfrac{1}{2y-1} > \dfrac{1}{1-y}>0 \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2y-1} - \dfrac{1}{1-y}>0 \Longleftrightarrow \dfrac{2-3y}{(2y-1)(1-y)}>0 \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} \dfrac{1}{2} <y< \dfrac{2}{3} \\ y>1 \end{array}\right.$$ Giải từng trường hợp ta sẽ thu được nghiệm của BPT là: $0<x< \log_2\dfrac{4}{3}$ hay $x>1$

Bài 78: Giải bất phương trình: $4^x-2^{x+1}+4^{x^2} \le 0$

Giải:

Đặt: $t=2^x$ (t>0) thì ta có :
$$t^2-2t+4^{x^2} \ge0 \,\ (2)$$ Ta có : $\Delta ‘=1-4^{x^2} \ge 0$
Vậy (2) tương đương : $$\left\{\begin{array}{1} \Delta ‘=0 \\ t=-\dfrac{b}{2a} \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} 1-4^{x^2} =0\\ t=1 \end{array}\right. \Longleftrightarrow x=0$$
​

 

[jet_nguyen]

Bài 80: Giải bất phương trình: $2^x+\sqrt{2x+1} < \sqrt{2^{2x+1}+4x+2}$

Giải:
​

ĐK: $x \ge -\dfrac{1}{2}$
Phương trình tương đương: $$2^x+\sqrt{2x+1} < \sqrt{2.2^{2x}+4x+2}$$$$\Longleftrightarrow (2^x+\sqrt{2x+1})^2 < 2.2^{2x}+4x+2 $$$$\Longleftrightarrow (2^x+\sqrt{2x+1})^2 < 2.2^{2x}+4x+2$$$$\Longleftrightarrow (2^x-\sqrt{2x+1})^2 >0$$$$\Longleftrightarrow 2^x \ne \sqrt{2x+1}$$ Ta xét trường hợp: $$2^x \ne \sqrt{2x+1}\Longleftrightarrow 2^{2x}=2x+1 \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} 2x=0 \\ 2x =1 \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} x=0 \\ x =\dfrac{1}{2} \end{array}\right. $$ Vậy BPT có tập nghiệm: $x \in [-\dfrac{1}{2};$+\infty) \ {0;$\dfrac{1}{2}$}.

 

[jet_nguyen]

Bài 85: Giải phương trình: $\log_3 \left(\dfrac{x^2+x+3}{2x^2+4x+5}\right)=7x^2+21x+14$

Bài 86: Giải phương trình: $\log_2 \left(2x^2+\dfrac{1}{2}\right)=3x^2-2x^3$

Bài 87: Giải bất phương trình: $\log_{x^2}\left(\dfrac{4x-2}{|x-2|} \right)\ge \dfrac{1}{2}$

Bài 88: Giải phương trình: $(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}-2)\log_x(x^2-x)=0$

 

[sky_fly_s2]

Bài 82: Giải bất phương trình: $\log_5(4^x+144)-4\log_52<1+\log_5(2^{x-2}+1)$

Bài 83: Giải bất phương trình: $2\log_5x-\log_x125<1$

Bài 84: Giải bất phương trình: $\dfrac{6}{\log_22x}+\dfrac{4}{\log_2x^2}>3$

$83.2\log_5x-\log_x125<1$(đkx>0)
$\Leftrightarrow 2\log_5x-3\log_x5<1$
$\Leftrightarrow 2\log_5x-\frac{3}{\log_5x}<1$
TH1.với $\log_5x<0$
$\Leftrightarrow 2(\log_5x)^2-\log_5x-3>0$
$\Leftrightarrow \log_5x<-1$ hoặc $\log_5x>\frac{3}{2}$(loại)
$\Leftrightarrow x<\frac{1}{5}$
TH2.với $\log_5x>0$
$\Leftrightarrow 2(\log_5x)^2-\log_5x-3<0$
$\Leftrightarrow -1<\log_5x<\frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 0<\log_5x<\frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 0<x<\sqrt{5^3}$

 

[newstarinsky]

Bài 85: Giải phương trình: $\log_3 \left(\dfrac{x^2+x+3}{2x^2+4x+5}\right)=7x^2+21x+14$

pt tương đương
$$log_3(x^2+x+3)-log_3(2x^2+4x+5)=7(2x^2+4x+5-x^2-x-3)\\
\Leftrightarrow log_3(x^2+x+3)+7(x^2+x+3)=log_3(2x^2+4x+5)+7(2x^2+4x+5)(1)$$
Xét hàm số $f(u)=log_3u+7u$
hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$
Nên pt (1) đúng khi
$$f(x^2+x+3)=f(2x^2+4x+5)\\
\Leftrightarrow x^2+x+3=2x^2+4x+5\\
\Leftrightarrow x^2+3x+2=0\\
\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=-1\\ x=-2\end{matrix}\right.$$
vậy pt có 2 nghiệm là x=-1, x=-2

 

[truongduong9083]

Bài 83: Giải bất phương trình: $2\log_5x-\log_x125<1$

$\bullet$ Đk: $0<x \neq 1$ (*)
Đặt $t = log_5x$
Bất phương trình trở thành
$$2t - \dfrac{3}{t} < 1$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{2t^2-t-3}{t}< 0$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t < - 1 \\ 0<t < \dfrac{3}{2} \end{array} \right.$$
$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x < \dfrac{1}{5} \\ 1< x < 5\sqrt{5} \end{array} \right.$$
$\bullet$ Kết hợp với điều kiện (*) ta có tập nghiệm của bất phương trình là: $S = (0; \dfrac{1}{5}) \bigcup (1; 5\sqrt{5})$

 

[newstarinsky]

Bài 88: Giải phương trình: $(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}-2)\log_x(x^2-x)=0$

Đk $$\begin{cases}1-x\geq 0 \\ 1+x\geq 0 \\ x^2-x>0\\x>0\end{cases}\\
\Leftrightarrow\begin{cases} 1\geq x\\ x\geq -1\\ x>0\\x<0\\x>1\end{cases}$$
(vô nghiệm )
nên pt vô nghiệm

 

[truongduong9083]

Bài 84: Giải bất phương trình: $\dfrac{6}{\log_22x}+\dfrac{4}{\log_2x^2}>3$

$\bullet$ Đk: $\left\{ \begin{array}{l} x > 0 \\ log_22x \neq 0 \\ log_2x^2 \neq 0 \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x \neq \dfrac{1}{2} \end{array} \right.$ (*)
$\bullet$ Đặt $t = log_2x$. Bất phương trình trở thành
$$\dfrac{6}{1+t}+\dfrac{2}{t}>3$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{3t^2-5t-2}{t(t+1)} < 0$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1< t < - \dfrac{1}{3} \\ 0<t< 2 \end{array} \right.$$
$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1<log_2x < - \dfrac{1}{3} \\ 0<log_2x< 2 \end{array} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2}<x <\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \\ 1<x<4 \end{array} \right.$$
$\bullet$ Kết hợp với điều kiện (*) ta có tập nghiệm của bất phương trình là: $S = (\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} ) \bigcup (1; 4)$

 

[jet_nguyen]

Bài 86: Giải phương trình: $\log_2 \left(2x^2+\dfrac{1}{2}\right)=3x^2-2x^3$

Giải:
​

$\bullet$ ĐK: x>0.
$\bullet$ Phương trình tương đương: $$\log_2\left(2x+\dfrac{1}{2x}\right)=3x^2-2x^3$$
$\bullet$ Áp dụng BDT Cauchy ta có: $$2x+\dfrac{1}{2x} \ge 2 \Longrightarrow VT \ge \log_22=1$$ Xét hàm số: $f(x)=3x^2-2x^3$ trên (0;+ \infty) thì ta sẽ có: $f(x) \le 1$
$\bullet$ Vậy $VT \ge 1 \ge VP$. Dấu "=" xảy ra khi x=1.

 

[jet_nguyen]

Bài 87: Giải bất phương trình: $\log_{x^2}\left(\dfrac{4x-2}{|x-2|} \right)\ge \dfrac{1}{2}$

Giải:

Bất phương trình tương đương:
$$ \left[\begin{array}{1} \left\{\begin{array}{1}x^2>1 \\ \dfrac{4x-2}{|x-2|} \ge (x^2)^{\frac{1}{2}} \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{1} 0<x^2<1 \\ 0< \dfrac{4x-2}{|x-2|} \le (x^2)^{\frac{1}{2}}\end{array}\right. \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} \left\{\begin{array}{1}x>1 \\ \dfrac{4x-2}{|x-2|} \ge x \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{1} 0<x<1 \\ x > \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{4x-2}{|x-2|} \le x \end{array}\right. \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} 2<x\le 3+\sqrt{7} \\ 1<x<2 \\ \dfrac{1}{2} <x \le -1+\sqrt{3}\end{array}\right.$$
​

 

[jet_nguyen]

Bài 89: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{1} (1+4^{x-y}).5^{1-x+y}=1+3^{x-y+2} \\ x^2-3y\sqrt{y-\dfrac{1}{x}}=1-2y \end{array}\right.$

Bài 90: Giải bất phương trình: $2\lg[\sqrt{5}(x-1)]> \lg(5-x)+1$

Bài 91: Tìm m để phương trình: $4(\log_2\sqrt{x})^2 -\log{\frac{1}{2}}x +m=0$ có nghiệm thuộc (0;1).

 

[truongduong9083]

Bài 92: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} x+\sqrt{x^2-2x+2} = 3^{y-1}+1 \\ y+\sqrt{y^2-2y+2} = 3^{x-1}+1 \end{array} \right.$$


Bài 93: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} 2^{\dfrac{1-x^2}{x^2}}+xy+\dfrac{3}{2}=2^y \\ (x^2y+2x)^2-2x^2y-4x+1=0 \end{array} \right.$$

Bài 94: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} 2(x^3+2x-y-1) = x^2(y+1) \\ y^3+4x+1+ln(y^2+2x) = 0 \end{array} \right.$$

 

[vivietnam]

Bài 89: Giải hệ phương trình:



Bài 91: Tìm m để phương trình: $4(\log_2\sqrt{x})^2 -\log{\frac{1}{2}}x +m=0$ có nghiệm thuộc (0;1).

Bài 91
[TEX](log_2x)^2+log_2x+m=0\Rightarrow m=-(log_2x)^2-log_2x[/TEX]
đặt log_2x=t (t<0)
bài toán thành tìm m để phương trình
[TEX]m=-t^2-t[/TEX]có nghiệm <0
nghiệm của phương trình là giao điểm của đồ thị hàm số [TEX]y=-t^2-t (t<0)[/TEX] với đường thẳng y=m
xét đồ thị [TEX]y=-t^2-t[/TEX]
[TEX]y'=-2t-1[/TEX]
[TEX]y'=0\Leftrightarrow t=-\frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]y(-\infty)=-\infty[/TEX]
[TEX]y(-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}[/TEX]
[TEX]y(0)=0[/TEX]
Vậy [TEX]m<\frac{1}{4}[/TEX] thỏa mãn yêu cầu bà toán

 

[vivietnam]

Bài 92: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} x+\sqrt{x^2-2x+2} = 3^{y-1}+1 \\ y+\sqrt{y^2-2y+2} = 3^{x-1}+1 \end{array} \right.$$

Bài 92
[tex]\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-1+\sqrt{(x-1)^2+1}=3^{y-1} \\ y-1+\sqrt{(y-1)^2+1}=3^{x-1} \end{array} \right.[/tex]
cộng chéo 2 phương trình ta được
[TEX]x-1+\sqrt{(x-1)^2+1}+3^{x-1}=y-1+\sqrt{(y-1)^2+1}+3^{y-1}[/TEX]
xét hàm số [TEX]f(t)=t+\sqrt{t^2+1}+3^t.ln3[/TEX]
có [TEX] f'(t)=1+\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}+3^t.ln3[/TEX]
vì [TEX]|\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}|\leq1 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow f'(t)>0 [/TEX]với mọi t
\Rightarrow f(t) là hàm đồng biến
[TEX]\Rightarrow f(x-1)=f(y-1) \Leftrightarrow x=y[/TEX]
khi đó hệ thành
[TEX]x-1+\sqrt{(x-1)^2+1}=3^{x-1}[/TEX]
do 2 vế không âm
lấy logarit cơ số 3 cả 2 vế ta được
[TEX]log_3(x-1+\sqrt{(x-1)^2+1})=x-1[/TEX]
đặt [TEX]x-1=t[/TEX]
[TEX]log_3(t+\sqrt{t^2+1})=t[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow log_3(t+\sqrt{t^2+1})-t=0[/TEX]
xét [TEX]g(t)=log_3(t+\sqrt{t^2+1})-t[/TEX]
[TEX]g'(t)=\frac{1+\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}}{(t+\sqrt{t^2+1}).ln3}-1=\frac{1}{\sqrt{t^2+1}.ln3}-1<0[/TEX]
\Rightarrow g(t) nghịch biến
mà g(0)=0 \Rightarrow phương trình chỉ có 1 nghiệm duy nhất t=0
hay hệ phương trình chỉ có 1 nghiệm [tex] x=y=1[/tex]
P/s:còn cách này viết công thức nhanh ko nhỉ,gõ thế này mệt và lâu

 

[jet_nguyen]

Bài 92: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} x+\sqrt{x^2-2x+2} = 3^{y-1}+1 \\ y+\sqrt{y^2-2y+2} = 3^{x-1}+1 \end{array} \right.$$

Giải:
​

Đặt: $\left\{\begin{array}{1} u=x-1 \\ v=y-1 \end{array}\right.$ thì hệ trở thành:
$$\left\{\begin{array}{1} u+\sqrt{u^2+1}=3^v \\ v+\sqrt{v^2+1}=3^u \end{array}\right.$$ Suy ra: $$u+\sqrt{u^2+1}+3^u= v+\sqrt{v^2+1}+3^v \Longleftrightarrow f(u)=f(v)$$ Xét hàm số: $f(t)=t+\sqrt{t^2+1}+3^t$, dễ dàng nhận thấy hàm số $f(t)$ đồng biến vậy: $$u=v \Longleftrightarrow u+\sqrt{u^2+1}=3^u \Longleftrightarrow u-\log_3(u+\sqrt{u^2+1})=0 \,\ ( * )$$ Mà: hàm số $g(u)=u-\log_3(u+\sqrt{u^2+1})$ là hàm đồng biến, mặt khác $g(0)=0$ nên suy ra u=0 là nghiệm duy nhất của ( * ).
Vậy: $x=y=1$ là nghiệm của hệ.

Bài 93: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} 2^{\dfrac{1-x^2}{x^2}}+xy+\dfrac{3}{2}=2^y \\ (x^2y+2x)^2-2x^2y-4x+1=0 \end{array} \right.$$

Giải:
​

$\bullet$ Phương trình (2) tương đương:

$$ \left( {x^2 y + 2x} \right)^2 - 2\left( {x^2 y + 2x} \right) + 1 = 0 $$$$\Longleftrightarrow \left( {x^2 y + 2x - 1} \right)^2 = 0$$$$ \Longleftrightarrow x^2 y + 2x - 1 = 0 \,\ ( * )$$​

$\bullet$ Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn phương trình ( * ) nên:$$( * ) \Longleftrightarrow y = \dfrac{{1 - 2x}}{{x^2 }}$$
$\bullet$ Thay vào phương trình (1), ta có: $$ 2^{\frac{{1 - x^2 }}{{x^2 }}} + \dfrac{{1 - 2x}}{x} + \dfrac{3}{2} = 2^{\frac{{1 - 2x}}{{x^2 }}}$$$$ \Longleftrightarrow 2^{\frac{1}{{x^2 }}} + \dfrac{{2 - x}}{x} = 2^{\frac{{\left( {x - 1} \right)^2 }}{{x^2 }}} $$$$ \Longleftrightarrow 2^{\frac{1}{{x^2 }}} + \dfrac{1}{{x^2 }} = 2^{\frac{{\left( {x - 1} \right)^2 }}{{x^2 }}} + \dfrac{{\left( {x - 1} \right)^2 }}{{x^2 }} \,\ ( * * )$$
$\bullet$ Xét hàm số: $f(t) = 2^t + t$, có: $ f'(t) = 2^t \ln 2 + 1 > 0$ \forall t suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R.
$\bullet$ Do đó:$$ ( ** ) \Longleftrightarrow f\left( {\dfrac{1}{{x^2 }}} \right) = f\left( {\dfrac{{\left( {x - 1} \right)^2 }}{{x^2 }}}\right) \Longleftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 1} \right)^2 }}{{x^2 }} = \dfrac{1}{{x^2 }} \Longleftrightarrow x = 2 \Longrightarrow y = - \dfrac{3}{4} $$

Bài 94: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} 2(x^3+2x-y-1) = x^2(y+1) \\ y^3+4x+1+ln(y^2+2x) = 0 \end{array} \right.$$

Giải:
​

Phương trình (1) tương đương:$$2x(x^2+2)=(y+1)(x^2+2) \Longleftrightarrow 2x=y+1$$ Thay vào phương trình thứ (2) ta thu được: $$y^3+2y+3+\ln{(y^2+y+1)}=0 \,\ ( * )$$ Biện luận:
$\bullet$ Với $y=-1$: thoả phương trình ( * ).
$\bullet$ Với $y\ge 0$ thì ve61 trái dương nên vô nghiệm.
$\bullet$ Với $-1<y<0$, khảo sát thấy vô nghiêm.
$\bullet$ Với $y<-1$,khảo sát thấy vô nghiêm.

 

[phamtanphuoc]

Bài 89: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{1} (1+4^{x-y}).5^{1-x+y}=1+3^{x-y+2} \\ x^2-3y\sqrt{y-\dfrac{1}{x}}=1-2y \end{array}\right.$

Đặt: $t=x-y$ thì phương trình (1) trở thành: $5\left[\left(\dfrac{1}{5} \right)^t+\left(\dfrac{4}{5} \right)^t \right]=1+9.3^t$
Đánh giá:
$\bullet$ Với t>0 thì VT <10; VP >10
$\bullet$ Với t<0 thì VT >10; VP <10
Suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất $t=0 \Longrightarrow x=y$
Thay vào (2) ta được: $$x^2-3x\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}=1-2x \,\ \,\ ( * )$$ Dễ thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình nên: $$( * ) \Longleftrightarrow x-\dfrac{1}{x}+3\sqrt{ x-\dfrac{1}{x}}+2=0$$ Tới đây dễ dàng tìm được: $$\left[\begin{array}{1} \sqrt{x-\dfrac{1}{x}}=1 \\ \sqrt{x-\dfrac{1}{x}} =2 \end{array}\right. \Longrightarrow \left[\begin{array}{1} x=y=\dfrac{1^+_-\sqrt{5}}{2} \\ x=y= 2^+_-\sqrt{5}\end{array}\right. $$

Bài 90: Giải bất phương trình: $2\lg[\sqrt{5}(x-1)]> \lg(5-x)+1$

Điều kiện: $1<x<5$
BPT tương đương: $$\lg[5(x-1)^2]>\lg[10(5-x)]$$$$\Longleftrightarrow 5(x-1)^2>10(5-x)$$$$\Longleftrightarrow |x|>3$$ So với điều kiện ta được: $3<x<5$