Ôn Thi Đại Học 2013.

[truongduong9083]

Bài 69: Cho 0<a<b<1 . Chứng minh BDT: $a^2\ln b-b^2\ln a > \ln a- \ln b$ ( CĐ-2009)

Bất đẳng thức viết lại thành
$\dfrac{lnb}{b^2+1} > \dfrac{lna}{a^2+1}$ (1)
Xét hàm số đặc trưng
$f(t) = \dfrac{lnt}{t^2+1}$ Với $t \in (0; 1)$
Ta có: $f'(t) = \dfrac{t^2-2t^2lnt+ 1}{t(t^2+1)^2}> 0 $ với $t \in (0; 1)$
Vậy hàm số $y = f(t)$ là hàm số đồng biến trong khoảng $(0; 1)$
mà $0<a<b<1 \Rightarrow f(a) < f(b)$. Như vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Bài 69: Cho 0<a<b<1 . Chứng minh BDT: $a^2\ln b-b^2\ln a > \ln a- \ln b$ ( CĐ-2009)

Ta có

$pt \Leftrightarrow \frac{lna}{1+a^2} <\frac{lnb}{1+b^2}$

Xét hàm số : $f(x)= \frac{lnx}{1+x^2}$ Với $0<x<1$

có $f'(x)= \frac{1+x^2(1-2lnx)}{x(1+x^2)^2}>0 $

nên hàm số f(x) đồng biến trên (0;1)

Mà $0<a<b<1 \Rightarrow f(a)<f(b)$

$\Rightarrow dpcm$​

 

[truongduong9083]

Bài 70: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x-1}+\sqrt{2-y} =1 \\ 3log_9(9x^2)-log_3y^3=3 \end{array} \right.$$

 

[truongduong9083]

Bài 71: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} (x^4+y).3^{y-x^4} = 1 \\ 8(x^4+y)-6^{y-x^4} = 0 \end{array} \right.$$

 

[truongduong9083]

Bài 72: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l}x^2+y^2=25 \\ log_\dfrac{1}{4}(x-2)-log_4\dfrac{1}{y} = 1 \end{array} \right.$$

 

[truongduong9083]

Bài 73: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} x^3-3x^2=y^3-3y^2-2 \\ log_y(\dfrac{x-2}{y-1})- log_x(\dfrac{y-2}{x-1}) = (x-1)^3 \end{array} \right.$$

 

[truongduong9083]

Bài 74: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} 2^{x^2+1} - 4^{8y^2+\dfrac{1}{2}} = 3(2\sqrt{y}-\sqrt{x}) \\ 2^{(x+y)^2}+\dfrac{3}{2}\sqrt{x+y} = \dfrac{7}{2} \end{array} \right.$$

 

[truongduong9083]

Bài 75: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} x^2-12xy+20y^2 = 0\\ ln(1+x)-ln(1+y) = x-y \end{array} \right.$$
Bài 76: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{2y+3}-\sqrt{2x-3} = 2\\ log_{\sqrt[3]{3}}(2^{2x+y}+2^{2x-y}-2) = 4(2y+1)log_92\sqrt{2} \end{array} \right.$$

 

[jet_nguyen]

Bài 66: Giải phương trình: $\log_2(8-x^2)+\log_{\frac{1}{2}}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})-2=0$ ( ĐH-D-2011)

Giải:
​

ĐK : $-1 \le x \le 1$.
Phương trình tương đương:
$$\log_2(8-x^2)=\log_2[4(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})]$$$$\Longleftrightarrow 8-x^2=4(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})$$$$\Longleftrightarrow (8-x^2)^2=16(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^2 ( * )$$ Đặt: $t=\sqrt{1-x^2}$ thì:
$$( * )\Longleftrightarrow t^4+14t^2-32t+17=0$$$$\Longleftrightarrow (t-1)^2(t^2+2t+17)=0$$$$\Longleftrightarrow t=1$$$$ \Longrightarrow x=0 (N).$$

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Bài 75: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} x^2-12xy+20y^2 = 0\\ ln(1+x)-ln(1+y) = x-y \end{array} \right.$$

đk :$x,y >-1$

pt(1) $\Rightarrow ln(x+1)-x=ln(1+y)-y $

Xét h/s $y= ln(1+t) - t$ ( t >-1)

có $y'=\dfrac{-t}{1+t}$

Nhận thấy

Nếu $-1<t<0 $ thì y'>0

Nếu $t>0 $ thì y' <0

Từ pt(2) $\Rightarrow (x-10y)(x-2y)=0$

nhận thấy x,y luôn cùng dấu nhau và cùng tính chất trên khoảng $(-1;0)$ và $(0;+\infty)$

$\Rightarrow f(x)=f(y) \Leftrightarrow x=y $

$\Rightarrow x=y=0$

 

[jet_nguyen]

Bài 64: Giải phương trình $2x^2-6x+2=log_2\dfrac{2x+1}{(x-1)^2}$
Các bạn chú ý: Vì topic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn.

Giải:
​

ĐK: $ x > -\dfrac{1}{2}$ và $x \ne 1$
Phương trình tương đương:
$$2(x-1)^2+\log_2[2.(x-1)^2]=(2x+1)+\log_2(2x+1)$$ Xét hàm số: $f(t)=t+\log_2t \,\ \,\ (t>0)$ ta sẽ suy ra được: $x=\dfrac{3^+_-\sqrt{7}}{2}$.

 

[jet_nguyen]

Bài 71: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} (x^4+y).3^{y-x^4} = 1 \\ 8(x^4+y)-6^{y-x^4} = 0 \end{array} \right.$$

Giải:
​

Đặt: $$\left\{\begin{array}{1} u=x^4+y \\ v=x^4-y \end{array}\right.$$ Hệ phương trình trở thành:
$$\left\{\begin{array}{1} u.3^{-v}=1 \\ 8u-6^v=0 \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} \dfrac{6^v}{8}.3^{-v}=1 \\ u=\dfrac{6^v}{8} \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} 2^v.3^v.3^{-v}=8 \\ u=\dfrac{6^v}{8} \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} u= 27\\ v=3 \end{array}\right.$$ Vậy suy ra: $$\left\{\begin{array}{1} x=^+_- \sqrt[4]{15} \\ y=12 \end{array}\right.$$

 

[jet_nguyen]

Bài 73: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} x^3-3x^2=y^3-3y^2-2 \,\ (1) \\ log_y(\dfrac{x-2}{y-1})- log_x(\dfrac{y-2}{x-1}) = (x-1)^3 \,\ (2) \end{array} \right.$$

Giải:
​

ĐK: $\left[\begin{array}{1} \left\{\begin{array}{1} x>2 \\ y>1 \end{array}\right.( * )\\ \left\{\begin{array}{1} 0<x<2 ; x \ne 1 \\ 0<y<1 \end{array}\right.( * * )\end{array}\right.$
Phương trình (1) tương đương: $$x^3-3x^2=(y+1)^3-3(x+1)^2$$ Xét hàm số: $f(t)=t^3-3t$ trong cả 2 trường hợp ( * ) và ( * * ) thì ta đều chứng minh được: $x=y+1$
Tiếp tục thế vào phương trình (2) ta sẽ thu được: $\left\{\begin{array}{1} x=3 \\ y=2 \end{array}\right.$

 

[vodichhocmai]

Bài 76: Giải phương trình trên tập số thực .

[TEX]\blue \huge \left[ 257^{|sinx|}+4^{|cosx|}\right]^{3+4log_52}=2000[/TEX]​

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Bài 74: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} 2^{x^2+1} - 4^{8y^2+\dfrac{1}{2}} = 3(2\sqrt{y}-\sqrt{x}) \\ 2^{(x+y)^2}+\dfrac{3}{2}\sqrt{x+y} = \dfrac{7}{2} \end{array} \right.$$

Đặt$ x+y=t $

$pt(2) \Leftrightarrow 2^{t^2}+\frac{3}{2} \sqrt{t}=\frac{7}{2}$

Ta có $f(t) = 2^{t^2}+\frac{3}{2} \sqrt{t}$là một hàm số đồng biến

$\Rightarrow$pt có nghiệm duy nhất $t=1$

$\Rightarrow x+y=1$

Xét pt (2) ta có :

$2^{x^2+1}+3 \sqrt{x}= 2^{16y^2+1}+ 3.2\sqrt{y}$

Đặt $\sqrt{x}=a$ và $2\sqrt{y}=b,(a,b \geq 0)$

$pt(2) \Leftrightarrow 2^{a^4+1}+3a= 2^{b^4+1}+3b$

Xét pt$ f(x)= 2^{x^4+1}+3x$ với $x \geq 0$

có$ f'(x)>0$ nên phương trình đồng biến

$\Rightarrow f(a)=f(b) \Leftrightarrow a=b$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x}=2\sqrt{y} \\ x+y=1 \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x= \frac{4}{5} \\ y=\frac{1}{5} \end{array} \right.$​

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Bài 72: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l}x^2+y^2=25 \\ log_\dfrac{1}{4}(y-x)-log_4\dfrac{1}{y} = 1 \end{array} \right.$$

$hpt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x^2+y^2=25 \\ -log_4(y-x)+log_4y=1 \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y>0,y>x \\ x^2+y^2=25 \\ log_4 \frac{y}{y-x}=1 \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y>0,y>x \\ x^2+y^2=25 \\ \frac{y}{y-x}=4 \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y>0,y>x \\ x^2 =9 \\ y= \frac{4x}{3} \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=3 \\ y=4 \end{array} \right.$​

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Bài 70: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x-1}+\sqrt{2-y} =1 \\ 3log_9(9x^2)-log_3y^3=3 \end{array} \right.$$

Giải :

ĐKXĐ : $ x \geq 1, 0 \leq y \leq2$

$hpt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x-1}+\sqrt{2-y} =1 \\ log_3(3x)-log_3y=1 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x-1}+\sqrt{2-y} =1 \\ log_3(\frac{3x}{y})=1 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x-1}+\sqrt{2-y} =1 \\ x=y \end{array} \right.$

$\Rightarrow \sqrt{x-1}+\sqrt{2-x} =1$ với $1\leq x\leq2$

$\Rightarrow (x-1)(x-2)=0$

Nghiệm của hpt là

$(x;y)=(1;1)(2;2)$​

 

[jet_nguyen]

Bài 77: Giải bất phương trình: $\dfrac{1}{2^x-1}>\dfrac{1}{1-2^{x-1}}$

 

[jet_nguyen]

Bài 78: Giải bất phương trình: $4^x-2^{x+1}+4^{x^2} \le 0$

 

[jet_nguyen]

Bài 79: Giải bất phương trình: $6^x+2^{x+2} \ge 4.3^x+2^{2x}$

Bài 80: Giải bất phương trình: $2^x+\sqrt{2x+1} < \sqrt{2^{2x+1}+4x+2}$

Bài 81: Giải bất phương trình: $\dfrac{2^{x-1}+6x-11}{x-2}>4$