N
T
truongduong9083
$\bullet$ Ta có
$VT = 2^{cos^2x} \leq 2$
$VP = (2+x^2)^{1+|x|} \geq 2+x^2 \geq 2$
Dấu " = " xảy ra khi
$\left\{ \begin{array}{l} cos^2x = 1 \\ x = 0 \end{array} \right.$ $\Rightarrow x = 0$
$\bullet$ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 0$
T
truongduong9083
$\bullet$ Đk: $x > 0$
$\bullet$ Đặt $t = log_2x \Rightarrow x = 2^t$
Phương trình trở thành
$$3^t+4^t = 5^t$$
$$\Rightarrow (\dfrac{3}{5})^t+ (\dfrac{4}{5})^t = 1$$
Phương trình này có nghiệm duy nhất t = 2 $\Rightarrow x = 4$
$\bullet$ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 4$
T
truongduong9083
$\bullet$ Nhận xét:
$VT = 2^{tan^2xy+cot^2xy} \geq 2^{2tanxy.cotxy} = 4$
$VP = \dfrac{4}{log_2((2x-1)^2+2)} \leq \dfrac{4}{log_22} = 4$
Dấu " = " xảy ra khi
$$\left\{ \begin{array}{l} tanxy = cotxy \\ x = \dfrac{1}{2} \end{array} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} cos2xy = 0 \\ x = \dfrac{1}{2} \end{array} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} cosy = 0 \\ x = \dfrac{1}{2} \end{array} \right.$$
$\bullet$ Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = $(\dfrac{1}{2}; \dfrac{\pi}{2}+k\pi)$ ($k \in Z$)
T
truongduong9083
$\bullet$ Đk: $x > 0$
Phương trình biến đổi thành
$$log_3(\dfrac{x^2+x+1}{x}) = 2x - x^2$$
$$\Leftrightarrow log_3(x+\dfrac{1}{x}+1) = 1 - (x - 1)^2$$
Ta có
$VT = log_3(x+\dfrac{1}{x}+1) \geq log_33 = 1$ (Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương $x; \dfrac{1}{x}$)
$VP = 1 - (x - 1)^2 \leq 1$
Dấu "=" xảy ra khi x = 1
$\bullet$ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1$
T
truongduong9083
Bài 61: Giải phương trình $e^x=1+ln(1+x)$
Các bạn chú ý: Vì topic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn.
Các bạn chú ý: Vì topic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn.
T
truongduong9083
Bài 62: Giải phương trình $2^x = 1+log_2(x+1)$
Các bạn chú ý: Vì topic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn.
Các bạn chú ý: Vì topic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn.
T
truongduong9083
Bài 63: Giải phương trình $7^x = 2log_7(6x+1)^3+1$
Các bạn chú ý: Vì topic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn.
Các bạn chú ý: Vì topic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn.
T
truongduong9083
Bài 64: Giải phương trình $2x^2-6x+2=log_2\dfrac{2x+1}{(x-1)^2}$
Các bạn chú ý: Vì topic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn.
Các bạn chú ý: Vì topic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn.
M
miko_tinhnghich_dangyeu
Đk: $x \geq -1$
Đặt $ ln(x+1)=t$
$\Rightarrow e^t =x+1$ và $e^x=1+t $
nhận thấy hệ đối xứng
$ \Rightarrow e^x+x=e^t+t$
Xét hàm số $ f(a)=e^a+a$
có $f'(a)=e^a+1 >0$ với mọi a
$\Rightarrow$ hàm số đồng biến
nên hàm số có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất
$\Rightarrow x=t \Leftrightarrow x=0$
Last edited by a moderator:
M
miko_tinhnghich_dangyeu
Bài này cách làm tương tự bài trên
Với $t= log_2(x+1)$
Ta có $2^t =x+1$ và $ 2^x=t+1$
$\Rightarrow 2^x+x=2^t+t$
xét hàm số luôn đồng biến
$\Rightarrow$ pt có nghiệm thì có nghiệm duy nhất
$\Rightarrow x=t \Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=0$
Last edited by a moderator:
T
truongduong9083
M
miko_tinhnghich_dangyeu
ĐK: $ x \geq \frac{-1}{6}$
Đặt $log_7(6x+1)=t$
Ta có $7^t=6x+1$ và $7^x=6t+1$
$\Rightarrow 7^x+6x=7^t+6t $
Xét hàm số $f(a)=7^a+6a$
có $f'(a)=7^aln7+6>0$ với mọi a
$\Rightarrow$ hàm số đồng biến
$\Rightarrow$ pt có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất
$\Rightarrow x=t$ $\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=1$
Đặt $log_7(6x+1)=t$
Ta có $7^t=6x+1$ và $7^x=6t+1$
$\Rightarrow 7^x+6x=7^t+6t $
Xét hàm số $f(a)=7^a+6a$
có $f'(a)=7^aln7+6>0$ với mọi a
$\Rightarrow$ hàm số đồng biến
$\Rightarrow$ pt có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất
$\Rightarrow x=t$ $\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=1$
Last edited by a moderator:
M
miko_tinhnghich_dangyeu
Đk: $\begin{cases}cotx >0 \\ cosx >0 \end{cases} $
Đặt $log_3cot^2x = log_2cosx =t $
$\Rightarrow \begin{cases}
cosx=2^t \\
cotx=3^t
\end{cases} $
Mà $\dfrac{1}{cos^2x}=1+\dfrac{1}{cot^2x}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{4^t}=1+\dfrac{1}{3^t}$
$\Rightarrow 4^t+(\dfrac{4}{3})^t=1$
Ta có VT chính la hàm số luôn đồng biến còn VP là hằng số
$\Rightarrow$ phương trình có nghiệm duy nhất
$\Rightarrow t=-1 \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi}{3}+k2\pi$
Last edited by a moderator:
J
jet_nguyen
Bài 66: Giải phương trình: $\log_2(8-x^2)+\log_{\frac{1}{2}}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})-2=0$ ( ĐH-D-2011)
J
jet_nguyen
Bài 67: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{1} \log_2(3y-1)= x \\ 4^x +2^x =3y^2 \end{array}\right. (x,y \in R)$ ( ĐH-B-2010)
J
jet_nguyen
Bài 68: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{1} \log_2(x^2+y^2)= 1+\log_2(xy) \\ 3^{x^2+y^2-xy}=81 \end{array}\right. (x,y \in R)$ ( ĐH-A-2009)
Bài 69: Cho 0<a<b<1 . Chứng minh BDT: $a^2\ln b-b^2\ln a > \ln a- \ln b$ ( CĐ-2009)
Last edited by a moderator:
S
sky_fly_s2
hệ pt
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{1} \log_2(x^2+y^2)= \log_22+\log_2(xy) \\ 3^{x^2+y^2-xy}=3^4 \end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{1} \log_2(x^2+y^2)= \log_2(2xy) \\ {x^2+y^2-xy}=4 \end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{1} x^2+y^2=2xy \\ x^2+y^2-xy=4 \end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{1} x-y=0 \\ x^2+y^2-xy=4 \end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{1} x=y \\ x^2=4 \end{array}\right.$
$\Leftrightarrow x=y=2$ hoặc $x=y=-2$
Last edited by a moderator:
N
newstarinsky
Đk $y>\dfrac{1}{3}$
$$\begin{cases} 3y-1=2^x\\ 4^x+2^x=3y^2 \end{cases}\\
\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac{2^x+1}{3} \\ 4^x+2^x=\dfrac{1}{3}(2^x+1)^2\end{cases}\\
\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac{2^x+1}{3}\\ 2.2^{2x}+2^x-1=0 \end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases} 2^x=\dfrac{1}{2} \\y=\dfrac{1}{2} \end{cases}\\
\Leftrightarrow\begin{cases} x=-1\\ y=\dfrac{1}{2} \end{cases}$$
M
miko_tinhnghich_dangyeu
$\left\{\begin{array}{1} \log_2(x^2+y^2)= 1+\log_2(xy) \\ 3^{x^2+y^2-xy}=81 \end{array}\right. (x,y \in R)$
$\Leftrightarrow \begin{cases}
xy>0 \\
x^2+y^2=2xy \\
x^2+y^2-xy=4
\end{cases} $
$ \Rightarrow \begin{cases}
xy>0 \\
x=y \\
x^2+y^2-xy=4
\end{cases} $
$\Rightarrow \begin{cases}
x=2 \\
x=2
\end{cases}$ hoặc $\begin{cases}
x=-2 \\
y=-2
\end{cases}
$
p/s: có ai biết cách viết dấu hoặc ko ạ , chỉ em với
Last edited by a moderator: