Ôn Thi Đại Học 2013.

[jet_nguyen]

Bài 2: Tìm nguyên hàm: $ \displaystyle \int \dfrac{x^4+1}{x+1}dx $

Bài 3: Tìm nguyên hàm: $ \displaystyle \int \sqrt[4]{x\sqrt[3]{x}} dx $

Bài 4: Tìm nguyên hàm: $ \displaystyle \int \dfrac{x \mbox{d}x}{\sqrt[3]{x+1} - \sqrt{x+1}}$

 

[l94]

Bài 1: Tìm nguyên hàm: $ \displaystyle \int \dfrac{dx}{e^x-1}$

$$t=e^x-1 \Longrightarrow dt=e^xdx$$$$\int\frac{dt}{t(t+1)}=\int(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1})dt=ln\frac{t}{t+1}+C$$

Bài 2: Tìm nguyên hàm: $ \displaystyle \int \dfrac{x^4+1}{x+1}dx $

$$I=\int [x^3-x^2+x-1+\frac{2}{x+1}]dx=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-x+2ln(x+1)+C$$

Bài 3: Tìm nguyên hàm: $ \displaystyle \int \sqrt[4]{x\sqrt[3]{x}} dx $

$$ I=\int \sqrt[3]{x}dx=\frac{3\sqrt[3]{x^4}}{4}+C$$

 

[truongduong9083]

Bài 4: Tìm nguyên hàm: $ \displaystyle \int \dfrac{x \mbox{d}x}{\sqrt[3]{x+1} - \sqrt{x+1}}$

$\bullet$ Đặt $t = \sqrt[6]{x+1} \Rightarrow x = t^6 - 1 \Rightarrow dx = 6t^5dt$
$\bullet$ Vậy $I = 6 \displaystyle \int \dfrac{t^5(t^6-1)}{t^2-t^3}dt = -6\displaystyle \int \dfrac{t^3(t^6-1)}{t-1}dt = -6 \displaystyle \int t^3(t^5+t^4+t^3+t^2+t+1)dt$
$ = -6[\dfrac{t^9}{9}+\dfrac{t^8}{8}+\dfrac{t^7}{7}+ \dfrac{t^6}{6}+\dfrac{t^5}{5}+\dfrac{t^4}{4}]+C$

 

[truongduong9083]

Bài 5. Tìm nguyên hàm $ \displaystyle \int \sin x(\sin x+\cos^3x)dx$

Bài 6. Tìm nguyên hàm $ \displaystyle \int \dfrac{dx}{\sin2x-\cos2x+1}$

Bài 7. Tìm nguyên hàm $ \displaystyle \int \dfrac{dx}{2x+1+\sqrt{4x+1}}$

Bài 8. Tìm nguyên hàm $ \displaystyle \int \dfrac{dx}{\sin^4x.\cos x}$

 

[vivietnam]

Bài 5. Tìm nguyên hàm $ \displaystyle \int \sin x(\sin x+\cos^3x)dx$

Ta có: $I= \displaystyle \int (\sin^2x+\cos^3x\sin x)dx=\displaystyle \int (\frac{1-\cos2x}{2}+\cos^3x.\sin x)dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}-\frac{\cos^4x}{4}+C $

 

[l94]

Bài 6. Tính nguyên hàm $ \displaystyle \int \dfrac{dx}{\sin2x-\cos2x+1}$

Ta có: $I= \displaystyle \int \dfrac{dx}{2\sin x(\cos x+\sin x)}=\displaystyle \int \dfrac{dx}{2\cos^2x[\tan x(1+\tan x)]}=\displaystyle \int \dfrac{d(\tan x)}{2\tan x(1+\tan x)}=\dfrac{1}{2}ln\frac{t}{t+1}+C$

 

[sky_fly_s2]

Bài 7. Tính nguyên hàm $I= \displaystyle \int \dfrac{dx}{2x+1+\sqrt{4x+1}}$

Ta có:
$I=2\displaystyle \int \dfrac{dx}{4x+1+2\sqrt{4x+1}+1}$
Đặt $\sqrt{4x+1}=t \Longrightarrow x = \dfrac{t^2-1}{4} \Longrightarrow dx=\dfrac{tdt}{2}$
$I=\displaystyle \int \dfrac{tdt}{(t+1)^2}=\displaystyle \int \dfrac{dt}{t+1}-\displaystyle \int \dfrac{dt}{(t+1)^2}=ln|t+1|+\frac{1}{t+1}+C$

Bài 8. Tính nguyên hàm $ \displaystyle \int \dfrac{dx}{\sin^4x.\cos x}$

Ta có: $$I= \displaystyle \int \dfrac{cosxdx}{\sin^4x.\cos^2 x}= \displaystyle \int \dfrac{d\sin x}{\sin^4x.(1-\sin^2x)}=-\displaystyle \int \dfrac{(\sin^4x-1+\sin^4x)d\sin x}{\sin^4x.(1-\sin^2x)}$$$$\Longrightarrow I=-\displaystyle \int \dfrac{(\sin^2x+1)d\sin x}{\sin^4x}+\displaystyle \int \dfrac{d\sin x}{\sin^2x-1}=-\displaystyle \int \dfrac{d\sin x}{\sin^2x}-\displaystyle \int \dfrac{d\sin x}{\sin^4x}+\dfrac{1}{2}\displaystyle \int \dfrac{d\sin x}{\sin x-1}-\dfrac{1}{2}\displaystyle \int \dfrac{d\sin x}{\sin x+1}$$$$\Longrightarrow I=-\dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{1}{3\sin ^3x}+\dfrac{1}{2}\ln \bigg|\dfrac{\sin x-1}{\sin x+1} \bigg|+C$$

P/s: Dùng cỡ chữ 4, kiểu chữ Times New Roman, và không bôi đen nhé.

 

[jet_nguyen]

Để tiện cho các bạn giải bài mà vẫn không ảnh hưởng tới việc học, từ giờ mình sẽ mở Topic và post 10 bài vào thứ 7 để các bạn có thời gian giải và ôn luyện, khi các bài đã giải xong mình sẽ khóa lại vì theo yêu cầu của nhiều bạn muốn Topic chậm lại để phù hợp với lịch học trên trường.​

Bài 9: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \dfrac{e^x}{\sqrt{(e^x+1)^3}}\mbox{d}x$

Bài 10: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \dfrac{e^{2x}}{\sqrt{e^x-1}} \mbox{d}x$

Bài 11: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \dfrac{x^3}{1+\sqrt[3]{x^4+1}}\mbox{d}x$

Bài 12: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \dfrac{x^5+2x^3}{\sqrt{x^2+1}} \mbox{d}x$

Bài 13: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{(1-x^2)^3}} \mbox{d}x$

 

[jet_nguyen]

Bài 14: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \left(\dfrac{\ln x}{x} \right)^2 \mbox{d}x$

Bài 15: Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \dfrac{x^{2}dx}{(x\sin x+\cos x)^2}dx$

Bài 16: Tìm nguyên hàm $I= \displaystyle \int \sqrt{\dfrac{x}{4-x}}dx$

Bài 17: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int x^2 \ln (1+x) \mbox{d}x$

Bài 18: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \dfrac{\sin x}{\cos^2x\sqrt{1+\cos^2x}}\mbox{d}x$

 

[sky_fly_s2]

Bài 9: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \dfrac{e^x}{\sqrt{(e^x+1)^3}}\mbox{d}x$

$I=\displaystyle \int \dfrac{e^x}{\sqrt{(e^x+1)^3}}\mbox{d}x$
$\Leftrightarrow I=\displaystyle \int \dfrac{1}{(e^x+1)^\frac{3}{2}}\mbox{d}(e^x+1)=-\frac{1}{2}\sqrt[]{\frac{1}{e^x+1}}+C$

Bài 10: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \dfrac{e^{2x}}{\sqrt{e^x-1}} \mbox{d}x$

$I=\displaystyle \int \dfrac{e^{2x}}{\sqrt{e^x-1}} \mbox{d}x$
Đặt $e^x+1=t \Rightarrow e^xdx=dt$
$I=\displaystyle \int \dfrac{t+1}{\sqrt{t}} \mbox{d}t=\frac{3}{2}\sqrt[]{t^3}+\frac{1}{2}\sqrt[]{t}+C$

Bài 12: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \dfrac{x^5+2x^3}{\sqrt{x^2+1}} \mbox{d}x$

$I=\displaystyle \int \dfrac{x^5+2x^3}{\sqrt{x^2+1}} \mbox{d}x$
Đặt $\sqrt{x^2+1}=t \Rightarrow dt=\frac{x}{\sqrt[]{x^2+1}}$
$\Rightarrow I=\displaystyle \int \dfrac{(t^2-1)^2+2.(t^2-1)}{1} \mbox{d}x=\frac{t^5}{5}-t+C$

Bài 13: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{(1-x^2)^3}} \mbox{d}x$

$I=\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{(1-x^2)^3}} \mbox{d}x$
Đặt $x=sint \Rightarrow dx=costdx$
$\Rightarrow I=\displaystyle \int \dfrac{cost}{\sqrt{(1-sin^2t)^3}} \mbox{d}t=\displaystyle \int \dfrac{1}{cos^2t} \mbox{d}t=tant+C$

 

[vivietnam]

Bài 16: Tìm nguyên hàm $I= \displaystyle \int \sqrt{\dfrac{x}{4-x}}dx$

Đặt $x=4\cos^2t \Longrightarrow dx=-8\cos t\sin tdt$

$I= -\displaystyle \int \dfrac{\cos t}{\sin t}.8\sin t.\cos tdt=-\displaystyle \int 8\cos^2tdt=-4\displaystyle \int (1+\cos2t)dt=-4(t+\dfrac{\sin2t}{2})+C$

P/s: Anh dùng Longrightarrow thay cho Rightarrow thì dùng trong thẻ $ sẽ không bị lỗi và đẹp hơn anh nhé.

 

[sky_fly_s2]

Bài 14: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \left(\dfrac{\ln x}{x} \right)^2 \mbox{d}x$

Đặt $$u=lnx^2 \Longrightarrow du=\dfrac{2x}{x^2}dx$$$$dv=\dfrac{1}{x^2} \Longrightarrow v=-\frac{1}{x}$$
$\Longrightarrow I=-\dfrac{lnx^2}{x}+\displaystyle \int \left(\dfrac{2}{x^2} \right) \mbox{d}x=-\dfrac{lnx^2}{x}-\frac{2}{x}+C$

Bài 17:Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int x^2 \ln (1+x) \mbox{d}x$

Đặt $$u=ln(x+1) \Rightarrow du=\frac{1}{x+1}dx$$$$dv=x^2dx \Rightarrow v=\frac{x^3}{3}$$
$\Rightarrow I=\dfrac{x^3.ln(x+1)}{3}-\dfrac{1}{3}\displaystyle \int \dfrac{x^3}{x+1} \mbox{d}x=\dfrac{x^3.ln(x+1)}{3}-\dfrac{1}{3}\displaystyle \int \dfrac{x^3+1-1}{x+1} \mbox{d}x=\dfrac{x^3.ln(x+1)}{3}+\dfrac{1}{3}ln
|x+1|-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+x\right)+C$

 

[vivietnam]

Bài 18: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \dfrac{\sin x}{\cos^2x\sqrt{1+\cos^2x}}\mbox{d}x$

Đặt $ \cos x=\tan t \Longrightarrow -\sin xdx=\dfrac{dt}{\cos^2t} $
$ \Longrightarrow I=-\displaystyle \int \dfrac{\cos tdt}{\tan^2t.\cos^2t} =-\displaystyle \int \dfrac{\cos tdt}{\sin^2t}=\dfrac{1}{\sin t}+C $

P/s: Anh thay \longrightarrow bằng \Longrightarrow thì sẽ được dấu suy ra anh nhé.

 

[vivietnam]

Bài 19:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle\int \dfrac{dx}{\tan^6x} $

Bài 20:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \sin^5x dx $

Bài 21:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \frac{dx}{\sin^3x} $

Bài 22:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int x^2\ln^2xdx$

Bài 23:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \sqrt{1+\sin x}dx$

 

[truongduong9083]

Bài 15: Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \dfrac{x^{2}dx}{(x\sin x+\cos x)^2}dx$

$ I=\displaystyle \int \dfrac{x^{2}dx}{(x\sin x+\cos x)^2}dx = - \displaystyle \int \dfrac{-xcosx}{(x\sin x+\cos x)^2}.\dfrac{x}{cosx}dx$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = \dfrac{x}{\cos x} \\ dv = \dfrac{- x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2}dx \end{array} \right. \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \dfrac{x\sin x+\cos x}{\cos^2x}dx \\ v = \dfrac{1}{x\sin x+\cos x} \end{array} \right.$
Vậy $I = -\dfrac{x}{\cos x(x\sin x+\cos x)} + I=\displaystyle \int \dfrac{dx}{\cos^2x} = -\dfrac{x}{\cos x(x\sin x+\cos x)} + \tan x + C$

Bài 11: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \dfrac{x^3}{1+\sqrt[3]{x^4+1}}\mbox{d}x$

Đặt $t = \sqrt[3]{x^4+1}\Longrightarrow x^4 = t^3- 1 \Longrightarrow x^3dx = \dfrac{3}{4}t^2dt$
Vậy $I=\dfrac{3}{4}\displaystyle \int \dfrac{t^2}{t+1}dt = \dfrac{3}{4}\displaystyle \int (t-1 + \dfrac{1}{t+1}) = \dfrac{3}{4}[\dfrac{t^2}{2}-t - ln|t+1|]+C$

 

[jet_nguyen]

Bài 24:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sin x} $

Bài 25:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \dfrac{1}{1+\sin x+\cos x} dx $

Bài 26:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \dfrac{\cos x}{\sqrt{7+\cos 2x}}dx $

Bài 27:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \dfrac{dx}{x(x^{10}+1)^2}$

Bài 28:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int(4x^2-2x-1)e^{2x}dx$

 

[xlovemathx]

Bài 20:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \sin^5x dx $

Ta có : $\displaystyle \int \sin^5 xdx= \int \sin^4 x.\sin xdx= -\int(1-\cos^2 x)^2.\sin xdx$

Đặt $u=\cos x \Longrightarrow du=-\sin xdx$

Khi đó ta có $I=-\int (1-2u^2+u^4)du = -u+\dfrac{2}{3}u^3-\dfrac{1}{5}u^5 + C$

Bài 21:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \frac{dx}{\sin^3x} $

Ta có : $\displaystyle \int \dfrac{dx}{\sin^3 x}=\int \dfrac{\sin x}{\sin^4 x}=\int \dfrac{\sin x}{(1-\cos^2 x)^2}dx $

Đổi biến số , đặt $u=\cos x \Longrightarrow du=-\sin xdx$

Khi đó :
$\begin{aligned}
I&=\displaystyle -\int \dfrac{du}{(1-u^2)^2}=\int \dfrac{du}{(u^2-1)^2}= \int \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{u-1}-\dfrac{1}{u+1})^2du \\
& \displaystyle =-\dfrac{1}{4}\left(\int \dfrac{1}{(u-1)^2}du + \int \dfrac{du}{(u+1)^2}\right) -\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{(u-1)(u+1)}du \\
& = -\dfrac{1}{4(u-1)} -\dfrac{1}{4(u+1)} -\dfrac{1}{4}\ln \left|\dfrac{u-1}{u+1}\right| + C
\end{aligned}$

Bài 23:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \sqrt{1+\sin x}dx$

$\displaystyle I=\int \sqrt{1+\sin x}dx=\int \sqrt{\left(\sin \dfrac{x}{2} +\cos \dfrac{x}{2} \right)^2}dx = \int \left|\sin \dfrac{x}{2}+\cos \dfrac{x}{2} \right| dx =\sqrt{2}\int \left|\sin \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right) \right|dx$

Sau đó xét âm dương để tính nguyên hàm .

 

[xlovemathx]

Bài 24:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sin x} $

Ta có :
$\displaystyle I=\int \dfrac{dx}{\sin x}=\int \dfrac{\sin x}{\sin^2 x}dx=\int \dfrac{\sin x}{1-\cos^2 x}dx= \int \dfrac{-\sin x}{\cos^2 x-1}dx $

Đặt $u=\cos x \Longrightarrow du=-\sin xdx$

Khi đó :
$\displaystyle I=\int \dfrac{du}{u^2-1}=-\dfrac{1}{2}\ln \left|\dfrac{u-1}{u+1}\right| + C $

Bài 25:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \dfrac{1}{1+\sin x+\cos x} dx $

Ta có :
$\displaystyle I=\int \dfrac{dx}{1+\cos x+\sin x}=\dfrac{dx}{1+\dfrac{1-\tan^2 \dfrac{x}{2}}{1+\tan^2 \dfrac{x}{2}}+\dfrac{2\tan \dfrac{x}{2}}{1+\tan^2 \dfrac{x}{2}}} = \int \dfrac{\left(1+\tan^2 \dfrac{x}{2} \right)}{2\left(1+\tan \dfrac{x}{2}\right)}dx$

Đổi biến số $u=\tan \dfrac{x}{2} \Longrightarrow du=\dfrac{1}{2}\left(1+\tan^2 \dfrac{x}{2} \right)dx$

Khi đó : $\displaystyle I=\int \dfrac{2du}{2(1+u)}=\int \dfrac{du}{1-u}=\ln (1+u) +C$

 

[truongduong9083]

Bài 22:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int x^2\ln^2xdx$

$\bullet$ Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = ln^2x \\ dv = x^2dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \dfrac{2lnx}{x} \\ v = \dfrac{x^3}{3} \end{array} \right.$
Vậy $I = \dfrac{x^3}{3}.ln^2x - \dfrac{2}{3}I_1$ (1)
$\bullet$ Tính $I_1=\displaystyle \int x^2lnxdx$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = lnx \\ dv = x^2dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \dfrac{dx}{x} \\ v = \dfrac{x^3}{3} \end{array} \right.$
Vậy $I_1 = \dfrac{x^3}{3} .lnx- \dfrac{1}{3}\displaystyle \int x^2dx = \dfrac{x^3}{3} .lnx - \dfrac{x^3}{9}$ (2)
Thế (2) vào (1) ta được
$I = \dfrac{x^3}{3}.ln^2x - \dfrac{2x^3}{9} .lnx - \dfrac{2x^3}{27}+C$

 

[truongduong9083]

Bài 27:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \dfrac{dx}{x(x^{10}+1)^2}$

Ta có: $ I=\displaystyle \int \dfrac{dx}{x(x^{10}+1)^2} = \dfrac{1}{10}\displaystyle \int \dfrac{10x^9dx}{x^{10}(x^{10}+1)^2}$
Đặt $t = x^{10}+1\Longrightarrow dx = 10x^9dx$
Vậy $I = \dfrac{1}{10}\displaystyle \int \dfrac{dt}{t^2(t-1)}$
$= \dfrac{1}{10}\displaystyle \int \dfrac{t^2-(t^2-1)dt}{t^2(t-1)} $
$= \dfrac{1}{10}\displaystyle \int \dfrac{dt}{t-1} - \dfrac{1}{10}\displaystyle \int \dfrac{dt}{t}- \dfrac{1}{10}\displaystyle \int \dfrac{dt}{t^2}$
$= \dfrac{1}{10}ln|\dfrac{t-1}{t}|+ \dfrac{1}{10t}+C$