Ôn Thi Đại Học 2013.

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi jet_nguyen, 17 Tháng tám 2012.

Lượt xem: 224,003

  1. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Bài 2: Tìm nguyên hàm: $ \displaystyle \int \dfrac{x^4+1}{x+1}dx $

    Bài 3: Tìm nguyên hàm: $ \displaystyle \int \sqrt[4]{x\sqrt[3]{x}} dx $

    Bài 4:
    Tìm nguyên hàm: $ \displaystyle \int \dfrac{x \mbox{d}x}{\sqrt[3]{x+1} - \sqrt{x+1}}$
     
  2. l94

    l94 Guest



    $$t=e^x-1 \Longrightarrow dt=e^xdx$$$$\int\frac{dt}{t(t+1)}=\int(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1})dt=ln\frac{t}{t+1}+C$$

    $$I=\int [x^3-x^2+x-1+\frac{2}{x+1}]dx=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-x+2ln(x+1)+C$$

    $$ I=\int \sqrt[3]{x}dx=\frac{3\sqrt[3]{x^4}}{4}+C$$
     
    Last edited by a moderator: 12 Tháng chín 2012
  3. $\bullet$ Đặt $t = \sqrt[6]{x+1} \Rightarrow x = t^6 - 1 \Rightarrow dx = 6t^5dt$
    $\bullet$ Vậy $I = 6 \displaystyle \int \dfrac{t^5(t^6-1)}{t^2-t^3}dt = -6\displaystyle \int \dfrac{t^3(t^6-1)}{t-1}dt = -6 \displaystyle \int t^3(t^5+t^4+t^3+t^2+t+1)dt$
    $ = -6[\dfrac{t^9}{9}+\dfrac{t^8}{8}+\dfrac{t^7}{7}+ \dfrac{t^6}{6}+\dfrac{t^5}{5}+\dfrac{t^4}{4}]+C$
     
  4. Bài 5. Tìm nguyên hàm $ \displaystyle \int \sin x(\sin x+\cos^3x)dx$

    Bài 6. Tìm nguyên hàm $ \displaystyle \int \dfrac{dx}{\sin2x-\cos2x+1}$

    Bài 7. Tìm nguyên hàm $ \displaystyle \int \dfrac{dx}{2x+1+\sqrt{4x+1}}$

    Bài 8. Tìm nguyên hàm $ \displaystyle \int \dfrac{dx}{\sin^4x.\cos x}$
     
    Last edited by a moderator: 14 Tháng chín 2012
  5. vivietnam

    vivietnam Guest

    Ta có: $I= \displaystyle \int (\sin^2x+\cos^3x\sin x)dx=\displaystyle \int (\frac{1-\cos2x}{2}+\cos^3x.\sin x)dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}-\frac{\cos^4x}{4}+C $
     
    Last edited by a moderator: 17 Tháng chín 2012
  6. l94

    l94 Guest

    Ta có: $I= \displaystyle \int \dfrac{dx}{2\sin x(\cos x+\sin x)}=\displaystyle \int \dfrac{dx}{2\cos^2x[\tan x(1+\tan x)]}=\displaystyle \int \dfrac{d(\tan x)}{2\tan x(1+\tan x)}=\dfrac{1}{2}ln\frac{t}{t+1}+C$
     
    Last edited by a moderator: 13 Tháng chín 2012
  7. sky_fly_s2

    sky_fly_s2 Guest


    Ta có:
    $I=2\displaystyle \int \dfrac{dx}{4x+1+2\sqrt{4x+1}+1}$
    Đặt $\sqrt{4x+1}=t \Longrightarrow x = \dfrac{t^2-1}{4} \Longrightarrow dx=\dfrac{tdt}{2}$
    $I=\displaystyle \int \dfrac{tdt}{(t+1)^2}=\displaystyle \int \dfrac{dt}{t+1}-\displaystyle \int \dfrac{dt}{(t+1)^2}=ln|t+1|+\frac{1}{t+1}+C$


    Ta có: $$I= \displaystyle \int \dfrac{cosxdx}{\sin^4x.\cos^2 x}= \displaystyle \int \dfrac{d\sin x}{\sin^4x.(1-\sin^2x)}=-\displaystyle \int \dfrac{(\sin^4x-1+\sin^4x)d\sin x}{\sin^4x.(1-\sin^2x)}$$$$\Longrightarrow I=-\displaystyle \int \dfrac{(\sin^2x+1)d\sin x}{\sin^4x}+\displaystyle \int \dfrac{d\sin x}{\sin^2x-1}=-\displaystyle \int \dfrac{d\sin x}{\sin^2x}-\displaystyle \int \dfrac{d\sin x}{\sin^4x}+\dfrac{1}{2}\displaystyle \int \dfrac{d\sin x}{\sin x-1}-\dfrac{1}{2}\displaystyle \int \dfrac{d\sin x}{\sin x+1}$$$$\Longrightarrow I=-\dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{1}{3\sin ^3x}+\dfrac{1}{2}\ln \bigg|\dfrac{\sin x-1}{\sin x+1} \bigg|+C$$

    P/s: Dùng cỡ chữ 4, kiểu chữ Times New Roman, và không bôi đen nhé.
     
    Last edited by a moderator: 13 Tháng chín 2012
  8. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest


    Để tiện cho các bạn giải bài mà vẫn không ảnh hưởng tới việc học, từ giờ mình sẽ mở Topic và post 10 bài vào thứ 7 để các bạn có thời gian giải và ôn luyện, khi các bài đã giải xong mình sẽ khóa lại vì theo yêu cầu của nhiều bạn muốn Topic chậm lại để phù hợp với lịch học trên trường.


    Bài 9: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \dfrac{e^x}{\sqrt{(e^x+1)^3}}\mbox{d}x$


    Bài 10: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \dfrac{e^{2x}}{\sqrt{e^x-1}} \mbox{d}x$

    Bài 11: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \dfrac{x^3}{1+\sqrt[3]{x^4+1}}\mbox{d}x$

    Bài 12: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \dfrac{x^5+2x^3}{\sqrt{x^2+1}} \mbox{d}x$

    Bài 13: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{(1-x^2)^3}} \mbox{d}x$
     
    Last edited by a moderator: 14 Tháng chín 2012
  9. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Bài 14: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \left(\dfrac{\ln x}{x} \right)^2 \mbox{d}x$

    Bài 15: Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \dfrac{x^{2}dx}{(x\sin x+\cos x)^2}dx$

    Bài 16: Tìm nguyên hàm $I= \displaystyle \int \sqrt{\dfrac{x}{4-x}}dx$

    Bài 17: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int x^2 \ln (1+x) \mbox{d}x$

    Bài 18: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle \int \dfrac{\sin x}{\cos^2x\sqrt{1+\cos^2x}}\mbox{d}x$
     
    Last edited by a moderator: 22 Tháng chín 2012
  10. sky_fly_s2

    sky_fly_s2 Guest

    $I=\displaystyle \int \dfrac{e^x}{\sqrt{(e^x+1)^3}}\mbox{d}x$
    $\Leftrightarrow I=\displaystyle \int \dfrac{1}{(e^x+1)^\frac{3}{2}}\mbox{d}(e^x+1)=-\frac{1}{2}\sqrt[]{\frac{1}{e^x+1}}+C$

    $I=\displaystyle \int \dfrac{e^{2x}}{\sqrt{e^x-1}} \mbox{d}x$
    Đặt $e^x+1=t \Rightarrow e^xdx=dt$
    $I=\displaystyle \int \dfrac{t+1}{\sqrt{t}} \mbox{d}t=\frac{3}{2}\sqrt[]{t^3}+\frac{1}{2}\sqrt[]{t}+C$


    $I=\displaystyle \int \dfrac{x^5+2x^3}{\sqrt{x^2+1}} \mbox{d}x$
    Đặt $\sqrt{x^2+1}=t \Rightarrow dt=\frac{x}{\sqrt[]{x^2+1}}$
    $\Rightarrow I=\displaystyle \int \dfrac{(t^2-1)^2+2.(t^2-1)}{1} \mbox{d}x=\frac{t^5}{5}-t+C$

    $I=\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{(1-x^2)^3}} \mbox{d}x$
    Đặt $x=sint \Rightarrow dx=costdx$
    $\Rightarrow I=\displaystyle \int \dfrac{cost}{\sqrt{(1-sin^2t)^3}} \mbox{d}t=\displaystyle \int \dfrac{1}{cos^2t} \mbox{d}t=tant+C$
     
    Last edited by a moderator: 15 Tháng chín 2012
  11. vivietnam

    vivietnam Guest

    Đặt $x=4\cos^2t \Longrightarrow dx=-8\cos t\sin tdt$

    $I= -\displaystyle \int \dfrac{\cos t}{\sin t}.8\sin t.\cos tdt=-\displaystyle \int 8\cos^2tdt=-4\displaystyle \int (1+\cos2t)dt=-4(t+\dfrac{\sin2t}{2})+C$

    P/s: Anh dùng Longrightarrow thay cho Rightarrow thì dùng trong thẻ $ sẽ không bị lỗi và đẹp hơn anh nhé. ;)
     
    Last edited by a moderator: 15 Tháng chín 2012
  12. sky_fly_s2

    sky_fly_s2 Guest


    Đặt $$u=lnx^2 \Longrightarrow du=\dfrac{2x}{x^2}dx$$$$dv=\dfrac{1}{x^2} \Longrightarrow v=-\frac{1}{x}$$
    $\Longrightarrow I=-\dfrac{lnx^2}{x}+\displaystyle \int \left(\dfrac{2}{x^2} \right) \mbox{d}x=-\dfrac{lnx^2}{x}-\frac{2}{x}+C$
    Đặt $$u=ln(x+1) \Rightarrow du=\frac{1}{x+1}dx$$$$dv=x^2dx \Rightarrow v=\frac{x^3}{3}$$
    $\Rightarrow I=\dfrac{x^3.ln(x+1)}{3}-\dfrac{1}{3}\displaystyle \int \dfrac{x^3}{x+1} \mbox{d}x=\dfrac{x^3.ln(x+1)}{3}-\dfrac{1}{3}\displaystyle \int \dfrac{x^3+1-1}{x+1} \mbox{d}x=\dfrac{x^3.ln(x+1)}{3}+\dfrac{1}{3}ln
    |x+1|-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+x\right)+C$
     
    Last edited by a moderator: 16 Tháng chín 2012
  13. vivietnam

    vivietnam Guest

    Đặt $ \cos x=\tan t \Longrightarrow -\sin xdx=\dfrac{dt}{\cos^2t} $
    $ \Longrightarrow I=-\displaystyle \int \dfrac{\cos tdt}{\tan^2t.\cos^2t} =-\displaystyle \int \dfrac{\cos tdt}{\sin^2t}=\dfrac{1}{\sin t}+C $

    P/s: Anh thay \longrightarrow bằng \Longrightarrow thì sẽ được dấu suy ra anh nhé.
     
    Last edited by a moderator: 22 Tháng chín 2012
  14. vivietnam

    vivietnam Guest

    Bài 19:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle\int \dfrac{dx}{\tan^6x} $

    Bài 20:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \sin^5x dx $

    Bài 21:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \frac{dx}{\sin^3x} $

    Bài 22:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int x^2\ln^2xdx$

    Bài 23:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \sqrt{1+\sin x}dx$
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng chín 2012
  15. $ I=\displaystyle \int \dfrac{x^{2}dx}{(x\sin x+\cos x)^2}dx = - \displaystyle \int \dfrac{-xcosx}{(x\sin x+\cos x)^2}.\dfrac{x}{cosx}dx$
    Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = \dfrac{x}{\cos x} \\ dv = \dfrac{- x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2}dx \end{array} \right. \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \dfrac{x\sin x+\cos x}{\cos^2x}dx \\ v = \dfrac{1}{x\sin x+\cos x} \end{array} \right.$
    Vậy $I = -\dfrac{x}{\cos x(x\sin x+\cos x)} + I=\displaystyle \int \dfrac{dx}{\cos^2x} = -\dfrac{x}{\cos x(x\sin x+\cos x)} + \tan x + C$


    Đặt $t = \sqrt[3]{x^4+1}\Longrightarrow x^4 = t^3- 1 \Longrightarrow x^3dx = \dfrac{3}{4}t^2dt$
    Vậy $I=\dfrac{3}{4}\displaystyle \int \dfrac{t^2}{t+1}dt = \dfrac{3}{4}\displaystyle \int (t-1 + \dfrac{1}{t+1}) = \dfrac{3}{4}[\dfrac{t^2}{2}-t - ln|t+1|]+C$
     
    Last edited by a moderator: 22 Tháng chín 2012
  16. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Bài 24:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sin x} $

    Bài 25:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \dfrac{1}{1+\sin x+\cos x} dx $

    Bài 26:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \dfrac{\cos x}{\sqrt{7+\cos 2x}}dx $

    Bài 27:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \dfrac{dx}{x(x^{10}+1)^2}$

    Bài 28:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int(4x^2-2x-1)e^{2x}dx$
     
  17. xlovemathx

    xlovemathx Guest

    Ta có : $\displaystyle \int \sin^5 xdx= \int \sin^4 x.\sin xdx= -\int(1-\cos^2 x)^2.\sin xdx$

    Đặt $u=\cos x \Longrightarrow du=-\sin xdx$

    Khi đó ta có $I=-\int (1-2u^2+u^4)du = -u+\dfrac{2}{3}u^3-\dfrac{1}{5}u^5 + C$

    Ta có : $\displaystyle \int \dfrac{dx}{\sin^3 x}=\int \dfrac{\sin x}{\sin^4 x}=\int \dfrac{\sin x}{(1-\cos^2 x)^2}dx $

    Đổi biến số , đặt $u=\cos x \Longrightarrow du=-\sin xdx$

    Khi đó :
    $\begin{aligned}
    I&=\displaystyle -\int \dfrac{du}{(1-u^2)^2}=\int \dfrac{du}{(u^2-1)^2}= \int \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{u-1}-\dfrac{1}{u+1})^2du \\
    & \displaystyle =-\dfrac{1}{4}\left(\int \dfrac{1}{(u-1)^2}du + \int \dfrac{du}{(u+1)^2}\right) -\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{(u-1)(u+1)}du \\
    & = -\dfrac{1}{4(u-1)} -\dfrac{1}{4(u+1)} -\dfrac{1}{4}\ln \left|\dfrac{u-1}{u+1}\right| + C
    \end{aligned}$

    $\displaystyle I=\int \sqrt{1+\sin x}dx=\int \sqrt{\left(\sin \dfrac{x}{2} +\cos \dfrac{x}{2} \right)^2}dx = \int \left|\sin \dfrac{x}{2}+\cos \dfrac{x}{2} \right| dx =\sqrt{2}\int \left|\sin \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right) \right|dx$

    Sau đó xét âm dương để tính nguyên hàm .



     
    Last edited by a moderator: 23 Tháng chín 2012
  18. xlovemathx

    xlovemathx Guest

    Ta có :
    $\displaystyle I=\int \dfrac{dx}{\sin x}=\int \dfrac{\sin x}{\sin^2 x}dx=\int \dfrac{\sin x}{1-\cos^2 x}dx= \int \dfrac{-\sin x}{\cos^2 x-1}dx $

    Đặt $u=\cos x \Longrightarrow du=-\sin xdx$

    Khi đó :
    $\displaystyle I=\int \dfrac{du}{u^2-1}=-\dfrac{1}{2}\ln \left|\dfrac{u-1}{u+1}\right| + C $

    Ta có :
    $\displaystyle I=\int \dfrac{dx}{1+\cos x+\sin x}=\dfrac{dx}{1+\dfrac{1-\tan^2 \dfrac{x}{2}}{1+\tan^2 \dfrac{x}{2}}+\dfrac{2\tan \dfrac{x}{2}}{1+\tan^2 \dfrac{x}{2}}} = \int \dfrac{\left(1+\tan^2 \dfrac{x}{2} \right)}{2\left(1+\tan \dfrac{x}{2}\right)}dx$

    Đổi biến số $u=\tan \dfrac{x}{2} \Longrightarrow du=\dfrac{1}{2}\left(1+\tan^2 \dfrac{x}{2} \right)dx$

    Khi đó : $\displaystyle I=\int \dfrac{2du}{2(1+u)}=\int \dfrac{du}{1-u}=\ln (1+u) +C$
     
    Last edited by a moderator: 23 Tháng chín 2012
  19. $\bullet$ Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = ln^2x \\ dv = x^2dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \dfrac{2lnx}{x} \\ v = \dfrac{x^3}{3} \end{array} \right.$
    Vậy $I = \dfrac{x^3}{3}.ln^2x - \dfrac{2}{3}I_1$ (1)
    $\bullet$ Tính $I_1=\displaystyle \int x^2lnxdx$
    Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = lnx \\ dv = x^2dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \dfrac{dx}{x} \\ v = \dfrac{x^3}{3} \end{array} \right.$
    Vậy $I_1 = \dfrac{x^3}{3} .lnx- \dfrac{1}{3}\displaystyle \int x^2dx = \dfrac{x^3}{3} .lnx - \dfrac{x^3}{9}$ (2)
    Thế (2) vào (1) ta được
    $I = \dfrac{x^3}{3}.ln^2x - \dfrac{2x^3}{9} .lnx - \dfrac{2x^3}{27}+C$
     
    Last edited by a moderator: 23 Tháng chín 2012
  20. Ta có: $ I=\displaystyle \int \dfrac{dx}{x(x^{10}+1)^2} = \dfrac{1}{10}\displaystyle \int \dfrac{10x^9dx}{x^{10}(x^{10}+1)^2}$
    Đặt $t = x^{10}+1\Longrightarrow dx = 10x^9dx$
    Vậy $I = \dfrac{1}{10}\displaystyle \int \dfrac{dt}{t^2(t-1)}$
    $= \dfrac{1}{10}\displaystyle \int \dfrac{t^2-(t^2-1)dt}{t^2(t-1)} $
    $= \dfrac{1}{10}\displaystyle \int \dfrac{dt}{t-1} - \dfrac{1}{10}\displaystyle \int \dfrac{dt}{t}- \dfrac{1}{10}\displaystyle \int \dfrac{dt}{t^2}$
    $= \dfrac{1}{10}ln|\dfrac{t-1}{t}|+ \dfrac{1}{10t}+C$
     
    Last edited by a moderator: 23 Tháng chín 2012
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->