Ôn Thi Đại Học 2013.

[newstarinsky]

Bài 50: Giải phương trình $log_2(1+\sqrt[3]{x}) = log_7x$

ĐK $x>0$
đặt $u=log_7x\Rightarrow x=7^u$
pt có dạng
$$ log_2(1+\sqrt[3]{7^u})=u\\
\Leftrightarrow 1+\sqrt[3]{7^u}=2^u\\
\Leftrightarrow (\dfrac{1}{2})^u+(\dfrac{\sqrt[3]{7}}{2})^u=1$$
xét hàm số $f(u)=(\dfrac{1}{2})^u+(\dfrac{\sqrt[3]{7}}{2})^u$
hàm số nghịch biến trên R
Nên PT chỉ có duy nhất 1 nghiệm mà $f(3)=1$ nên u=3
vậy $x=7^3=343$

 

[jet_nguyen]

Bài 29: Giải phương trình $3^x+4^x+5^x+14 = 8^x$
Các bạn chú ý: Vì topic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn.

Giải:
​

$\bullet$ Vì $8^x>0$ nên phương trình tương đương: $$\left(\dfrac{3}{8}\right)^x+\left( \dfrac{4}{8} \right)^x+\left(\dfrac{5}{8}\right)^x+14.\left( \dfrac{1}{8} \right)^x =1$$$$\Longleftrightarrow \left(\dfrac{3}{8}\right)^x+\left( \dfrac{1}{2} \right)^x+\left(\dfrac{5}{8}\right)^x+14.\left( \dfrac{1}{8} \right)^x-1 =0$$$\bullet$ Xét hàm số: $f(x)= \left(\dfrac{3}{8}\right)^x+\left( \dfrac{1}{2} \right)^x+\left(\dfrac{5}{8}\right)^x+14.\left( \dfrac{1}{8 }\right)^x -1$ trên R.
$\bullet$ Dễ thấy $f(x)$ nghịch biến trên R.
$\bullet$ Mặt khác: $f(2)=0$. Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$.

 

[jet_nguyen]

Bài 47: Giải phương trình $log_4(x+1)^2+2=log_{\sqrt{2}}\sqrt{4-x}+log_8(4+x)^3$

Giải:
​

ĐK: $-4 < x < 4$ và $x \ne -1$
Phương trình tương đương:
$$\log_2|x+1|+\log_24=\log_2(4-x)+\log_2(4+x)$$$$\Longleftrightarrow \log_2|4(x+1)|=\log_2[(4-x)(4+x)]$$$$\Longleftrightarrow |4(x+1)|=16-x^2$$$$\Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} \left\{\begin{array}{1} x \in (-4;-1) \\ -4(x+1)=16-x^2 \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{1} x \in (-1;4) \\ 4(x+1)=16-x^2 \end{array}\right. \end{array}\right.$$$$\Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1}x=2-2\sqrt{6} \\ x=2\ \end{array}\right.$$

 

[jet_nguyen]

Bài 48: Giải phương trình $\log_2(x-\sqrt{x^2+1}).\log_3(x+\sqrt{x^2+1}) =\log_6(x-\sqrt{x^2+1})$

Giải:
​

ĐK: $$\left\{\begin{array}{1} x-\sqrt{x^2+1} >0 \\ x+\sqrt{x^2+1} >0 \\ \sqrt{x^2+1} \ge 0 \end{array}\right.$$ Nhận thấy không có x nào thỏa điều kiện bài toán, vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

P/s: Có lẽ bài này để cho ta thấy tầm quan trọng của việc tìm điều kiện trong giải phương trình logarit.

 

[newstarinsky]

Bài 49: Giải phương trình $log_{2x-1}(2x^2+x-1)+log_{x+1}(2x-1)^2$=4

Đk $x>\dfrac{1}{2}$
pt trở thành
$$log_{2x-1}(2x-1)(x+1)+2log_{x+1}(2x-1)=4\\
\Leftrightarrow 1+log_{2x-1}(x+1)+\dfrac{2}{log_{2x-1}(x+1)}=4\\
\Leftrightarrow log^2_{2x-1}(x+1)-3log_{2x-1}(x+1)+2=0\\
\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} log_{2x-1}(x+1)=1\\ log_{2x-1}(x+1)=2\end{matrix}\right.\\
\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} x=2\\ x=\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.$$

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Bài 49: Giải phương trình $log_{2x-1}(2x^2+x-1)+log_{x+1}(2x-1)^2$=4

Đk xđ:


$\left\{\begin{matrix}0<2x-1 \not=1\\ 0<x+1 \not= 1\end{matrix}\right. \Rightarrow x > \frac{1}{2}$

$ pt \Leftrightarrow 1+ log_{2x-1}(x+1)+2 log_{x+1}(2x-1)=4 $

Đặt $log_{2x-1}(x+1) =t $, pt trở thành :

$\frac{2}{t}+t-3 =0$

$\Rightarrow t^2 +3t-1=0$

$\Rightarrow (t-2)(t-1)=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=2\\ x=\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right. $

Em làm bài còn hấp tấp quá ==", cảm ơn duynhan và truongduong9083 nhé

​

 

[newstarinsky]

Bài 51: Giải phương trình $2log_6(\sqrt[4]{x}+\sqrt[8]{x}) = log_4\sqrt{x}$

ĐK $ x>0$
Pt tương đương
$$log_6(\sqrt[4]{x}+\sqrt[8]{x})=log_4\sqrt[4]{x}$$
Đặt $u=log_4\sqrt[4]{x}\Rightarrow \sqrt[4]{x}=4^u$
PT có dạng
$$log_6(4^u+\sqrt{4^u})=u\\
\Leftrightarrow 4^u+2^u=6^u\\
\Leftrightarrow (\dfrac{2}{3})^u+(\dfrac{1}{3})^u=1$$

Xét hàm số $f(u)=(\dfrac{2}{3})^u+(\dfrac{1}{3})^u$
hàm số nghịch biến trên R nên PT có nghiệm duy nhất
Mà $f(1)=1$ nên $u=1$
vậy $x=4^4=256$

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Bài 52 : Giải phương trình
$$2^{\dfrac{1-x^2}{x^2}}-2^{\dfrac{1-2x}{x^2}}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{x} $$

 

[truongduong9083]

Bài 52 : Giải phương trình
$$2^{\dfrac{1-x^2}{x^2}}-2^{\dfrac{1-2x}{x^2}}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{x} $$

$\bullet$ Đk: $x \neq 0$
$\bullet$ Phương trình viết lại thành
$$2^{\dfrac{1}{x^2}}-2^{\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{2}{x}+1}=1-\dfrac{2}{x} $$
$$\Leftrightarrow 2^{\dfrac{1}{x^2}}-2^{(\dfrac{1}{x} - 1)^2} = (\dfrac{1}{x}-1)^2 - \dfrac{1}{x^2}$$
$$\Leftrightarrow 2^{\dfrac{1}{x^2}} +\dfrac{1}{x^2} = 2^{(\dfrac{1}{x} - 1)^2} +(\dfrac{1}{x}-1)^2 (1)$$
$$\Rightarrow f(\dfrac{1}{x^2}) = f((\dfrac{1}{x}-1)^2)$$
Xét hàm số đặc trưng $f(t) = 2^t+t$ là hàm số đồng biến trên R \{$0$}
Nên phương trình (1)
$\Rightarrow \dfrac{1}{x^2} = (\dfrac{1}{x}-1)^2$
$\Leftrightarrow x = 2$
$\bullet$ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2$

 

[newstarinsky]

Bài 53: Giải phương trình
$$3^{2x+2}+\sqrt{3x^4-6x^2+7}=1+2.3^{x+1}$$

 

[newstarinsky]

Bài 54: Giải phương trình
$$4x^2+x.3^x+3^{x+1}=2x^2.3^x+2x+6$$

 

[newstarinsky]

Bài 55 Giải phương trình
$$4^{sinx}-2^{1+sinx}.cosxy+2^{|y|}=0$$

 

[truongduong9083]

Bài 53: Giải phương trình
$$3^{2x+2}+\sqrt{3x^4-6x^2+7}=1+2.3^{x+1}$$

$\bullet$ Phương trình biến đổi thành
$$\sqrt{3(x^2-1)^2+4} = 2 - (3^{x+1} - 1)^2 (1)$$
Nhận xét: $\left\{ \begin{array}{l} VT \geq 2 \\ VP \leq 2 \end{array} \right.$
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l} x^2-1 = 0 \\ 3^{x+1} - 1 \end{array} \right.$ có nghệm
$\bullet$ Hệ phương trình có nghiệm chung $x = -1$. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x = -1$

 

[newstarinsky]

Bài 56 Giải phương trình
$$2.9^{log_2\dfrac{x}{2}}=x^{log_26}-x^2$$

 

[truongduong9083]

Bài 54: Giải phương trình
$$4x^2+x.3^x+3^{x+1}=2x^2.3^x+2x+6$$

Phương trình biến đổi thành
$$2(2x^2-x-3)-3^x(2x^2-x-3) = 0$$
$$\Leftrightarrow (2x^2-x-3)(3^x-2) = 0$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = -1 \\ x = \dfrac{3}{2}\\ x = log_32 \end{array} \right.$$

 

[truongduong9083]

Bài 55 Giải phương trình
$$4^{sinx}-2^{1+sinx}.cosxy+2^{|y|}=0$$

$\bullet$Phương trình viết lại thành
$$4^{sinx}-2.2^{sinx}.cosxy +cos^2{xy}+2^{|y|} - cos^2{xy}=0$$
$$\Leftrightarrow (2^{sinx} - cosxy)^2 +2^{|y|} - cos^2{xy}=0 (1)$$
Nhận xét: $(2^{sinx} - cosxy)^2 \geq 0; 2^{|y|} - cos^2{xy} \geq 1 - cos^2{xy} \geq 0$
Vậy phương trình (1) xảy ra dấu " = " khi
$$\left\{ \begin{array}{l} 2^{sinx} - cosxy = 0 \\ y = 0 \\ cosxy = \pm 1 \end{array} \right.$$
$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2^{sinx} = 1 \\ y = 0 \end{array} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = k\pi \\ y = 0 \end{array} \right.$$
$\bullet$ Vậy nghiệm của phương trình là: $(x; y) = (k\pi; 0)$ Với $k \in Z$

 

[jet_nguyen]

Bài 56 Giải phương trình
$$2.9^{\log_2\dfrac{x}{2}}=x^{\log_26}-x^2$$

Giải:
​

ĐK: x>0.
Đặt: $t=\log_2\dfrac{x}{2} \Longrightarrow x=2.2^t$
Vậy phương trình trở thành:
$$2.9^t=(2.2^t)^{\log_2 6}-(2.2^t)^2$$$$\Longleftrightarrow 2.9^t=6.6^t-4.4^t$$$$\Longleftrightarrow \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2t}-3.\left(\dfrac{3}{2}\right)^t+2=0$$$$ \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} \left(\dfrac{3}{2}\right)^t=1 \\ \left(\dfrac{3}{2}\right)^t =2 \end{array}\right. $$$$ \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} \left(\dfrac{3}{2}\right)^t=1 \\ \left(\dfrac{3}{2}\right)^t =2 \end{array}\right.$$$$ \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} t=0 \\ t= \log_{1.5} 2\end{array}\right.$$$$ \Longrightarrow \left[\begin{array}{1} x=2 \\ x= 2.2^{\log_{1.5} 2} \end{array}\right.$$

 

[newstarinsky]

Bài 57 Giải phương trình
$$2^{cos^2x}=(2+x^2)^{1+|x|}$$

 

[newstarinsky]

Bài 58 Giải phương trình
$$x^2+3^{log_2x}=5^{log_2x}$$

 

[newstarinsky]

Bài 59 Giải phương trình
$$2^{tan^2xy+cot^2xy}=\dfrac{4}{log_2(4x^2-4x+3)}$$