J
You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.
You should upgrade or use an alternative browser.
You should upgrade or use an alternative browser.
J
jet_nguyen
J
jet_nguyen
J
jet_nguyen
J
jet_nguyen
Bài 45: Giải bất phương trình: $\log_3(\sqrt{x^2-3x+2}+2)+ \left(\dfrac{1}{5}\right)^{3x-x^2-1}=2$
T
truongduong9083
$\bullet$ Đặt $t = x^2+2x+1$ ($t \geq 0$)Bài 39: Giải bất phương trình: $3^{x^2+2x+3}+4^{x^2+2x+2}+5^{x^2+2x+1}=14$
Phương trình viết lại thành
$$f(t) = 3^{t+2}+4^{t+1}+5^t - 14 = 0 (1)$$
Nhận xét: Hàm số $y = f(t)$ là hàm số đồng biến với $\forall t \in [0; +\infty)$. Nên phương trình (1) có nhiều nhất một nghiệm mà f(0) = 0 $\Rightarrow t = 0 \Rightarrow x = -1$
$\bullet$ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = -1$
Last edited by a moderator:
T
truongduong9083
$\bullet$ Đặt $t = 2^x$ Với ($t > 0$)Bài 40: Giải bất phương trình sau: $2^{x+1}+2^{1-2x}=3\sqrt[3]{2}$
Phương trình trở thành: $2t + \dfrac{2}{t^2} = 3\sqrt[3]{2} (1)$
Ta có $2t + \dfrac{2}{t^2} = t+t + \dfrac{2}{t^2} \geq 3\sqrt[3]{2}$ (Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương)
Như vậy trong phương trình (1): $VT \geq VP$
Dấu "=" xảy ra khi $t = \dfrac{2}{t^2} \Leftrightarrow t = \sqrt[3]{2}$
$\bullet$ Với $t = \sqrt[3]{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}$. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x= \dfrac{1}{3}$
J
jet_nguyen
Cách 1:Bài 39: Giải bất phương trình: $3^{x^2+2x+3}+4^{x^2+2x+2}+5^{x^2+2x+1}=14$
Cách 2: Sử dụng BDT.$\bullet$ Đặt $t = x^2+2x+1$ ($t \ge 0$)
Phương trình viết lại thành
$$f(t) = 3^{t+2}+4^{t+1}+5^t - 14 = 0 (1)$$
Nhận xét: Hàm số $y = f(t)$ là hàm số đồng biến với t $\in [$0; +\infty ). Nên phương trình (1) có nhiều nhất một nghiệm mà f(0) = 0 t = 0 x = -1
$\bullet$ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = -1$
Ta có:
$$\left\{\begin{array}{1} 3^{x^2+2x+3}=3^{(x+1)^2+2}\ge 3^2=9 \\ 4^{x^2+2x+2}=4^{(x+1)^2+1}\ge 4^1=4 \\ 5^{x^2+2x+1}=5^{(x+1)^2}\ge 5\end{array}\right.$$$$ \Longrightarrow 3^{x^2+2x+3}+4^{x^2+2x+2}+5^{x^2+2x+1} \ge 14$$ Dấu "=" xảy ra khi $x=-1.$
Last edited by a moderator:
M
miko_tinhnghich_dangyeu
Bài 44: Giải bất phương trình: $x+x^{\log_23}=x^{\log_27}-2$
Ta có :
$x=3^{log_3x} \Rightarrow x^{log_23}=(3^{log_3x})^{log_23}=3^{log_2x}$
$x^{log_27}=7^{log_2x}$
$x = 2^{log_2x}$
Đặt $t= log_2x$
từ đó ta có
$pt \Leftrightarrow 2^t+3^t=7^t-2$
$\Leftrightarrow t=1 $
$\Rightarrow x=2$
$x=3^{log_3x} \Rightarrow x^{log_23}=(3^{log_3x})^{log_23}=3^{log_2x}$
$x^{log_27}=7^{log_2x}$
$x = 2^{log_2x}$
Đặt $t= log_2x$
từ đó ta có
$pt \Leftrightarrow 2^t+3^t=7^t-2$
$\Leftrightarrow t=1 $
$\Rightarrow x=2$
Last edited by a moderator:
T
truongduong9083
$\bullet$ Ta cóBài 41: Giải bất phương trình: $2^{2x+1}+2^{3-2x}=\dfrac{8}{\log_3(4x^2-4x+4)}$
$VT = 2^{2x+1}+2^{3-2x} = 2(2^{2x}+\dfrac{4}{2^{2x}}) \geq 8$ (Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương)
$VP = \dfrac{8}{log_3(4x^2-4x+4)} \leq \dfrac{8}{log_33} = 8$
Như vậy: $\left\{ \begin{array}{l} VT \geq 8 \\ VP \leq 8 \end{array} \right.$.
Dấu "= " xảy ra khi:
$\left\{ \begin{array}{l} 2^{2x} = \dfrac{4}{2^{2x}} \\ 4x^2-4x+4 = 3 \end{array} \right.$ $\Rightarrow x= \dfrac{1}{2}$
$\bullet$ Phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{1}{2}$
Last edited by a moderator:
M
miko_tinhnghich_dangyeu
Bài 43: Giải bất phương trình sau : $3^x+x-4= 0 $
Xét hàm số $f(x)=3^x+x-4$
có $f'(x) = 3^xln3 +1 >0$ với mọi x
=> hàm số đồng biến
=> phương trình có nghiệm duy nhất
$=> x= 1$
có $f'(x) = 3^xln3 +1 >0$ với mọi x
=> hàm số đồng biến
=> phương trình có nghiệm duy nhất
$=> x= 1$
J
jet_nguyen
Cách 1:Bài 40: Giải phương trình: $2^{x+1}+2^{1-2x}=3\sqrt[3]{2}$.
$\bullet$ Đặt $t = 2^x$ Với ($t > 0$)
Phương trình trở thành: $2t + \dfrac{2}{t^2} = 3\sqrt[3]{2} (1)$
Ta có $2t + \dfrac{2}{t^2} = t+t + \dfrac{2}{t^2} \ge 3\sqrt[3]{2}$ (Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương)
Như vậy trong phương trình (1): $VT \ge VP$
Dấu "=" xảy ra khi $t = \dfrac{2}{t^2} \Longleftrightarrow t = \sqrt[3]{2}$
$\bullet$ Với $t = \sqrt[3]{2} \Longleftrightarrow x = \dfrac{1}{3}. $. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x= \dfrac{1}{3}$
Cách 2:
Đặt: $t=2^x \,\ t>0$ thì phương trình trở thành: $$2t+\dfrac{2}{t^2}=3\sqrt[3]{2}$$$$\Longleftrightarrow 2t^3-3\sqrt[3]{2}t+2=0$$$$\Longleftrightarrow (t-\sqrt[3]{2})(2t^2-\sqrt[3]{2}t-\sqrt[3]{4})=0$$ Tới đây các bạn tiếp tục nhé.
M
miko_tinhnghich_dangyeu
Bài 45: Giải bất phương trình: $\log_3(\sqrt{x^2-3x+2}+2)+ \left(\dfrac{1}{5}\right)^{3x-x^2-1}=2$
Đk : $x \leq1$ hoặc $x \geq 2$
Đặt $t= \sqrt{x^2-3x+2} (t \geq 0)$
$\Leftrightarrow 3x-x^2-1=1-t^2$
$pt \Leftrightarrow log_3(t+2)+ (\frac{1}{5})^{1-t^2}=2$
Xét hàm số $f(t) = log_3(t+2)+ (\frac{1}{5})^{1-t^2}$
có $f(t)'= \frac{1}{(t+2)ln3}+ \frac{1}{5}.2t.5^{t^2} >0 $ với mọi $t \geq 0$
=> hàm số đồng biến với mọi $t \geq 0$
nên phương trình trên có nghiệm duy nhất
$=> t=1 => x=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
Last edited by a moderator:
D
duynhan1
- f(x) sao ẩn là t?Xét hàm số$f(x) = log_3(t+2)+ (\frac{1}{5})^{1-t^2}$
có $f(x)'= \frac{1}{(x+2)ln3}+ \frac{1}{5}.2x.5^{x^2} >0 $ với mọi x
=> hàm số đồng biến
nên phương trình trên có nghiệm duy nhất
$=> t=1 => x=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
- Xét hàm số trên khoảng nào?
- Với mọi x? (lỗi ở đây do phía trên không nêu khoảng)
- Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
- Hàm số đồng biến $\Rightarrow$ phương trình có nghiệm duy nhất? Điều này là sai, ta chỉ suy ra được là CÓ NHIỀU NHẤT 1 nghiệm.
J
jet_nguyen
Bài 38: Giải bất phương trình sau: $3^x.2x=3^x+2x+1$
Giải:
$\bullet$ Dễ thấy: $x=\dfrac{1}{2}$ không là nghiệm của phương trình.
$\bullet$ Phương trình tương đương: $$3^x=\dfrac{2x+1}{2x-1}$$ $\bullet$ Ta có: hàm số $y=3^x$ đồng biến trên $R$, hàm số $y=\dfrac{2x+1}{2x-1}$ nghịch biến trên mỗi khoảng (- \infty; $\dfrac{1}{2})$ và $(\dfrac{1}{2}$;+ \infty).
$\bullet$ Vậy phương trình chỉ có 2 nghiệm: $x=^+_-1$.
J
jet_nguyen
Bài 42: Giải bất phương trình sau: $2^{\log_5(x+3)}=x$
Giải:
$\bullet$ ĐK: x>0.
$\bullet$ Phương trình tương đương: $$\log_5(x+3)=\log_2x ( * )$$ Đặt: $t=\log_2x \Longrightarrow x=2^t$. Vậy:
$$( * ) \Longleftrightarrow \log_5(2^t+3)=t$$$$ \Longleftrightarrow \left(\dfrac{2}{3}\right)^t+3. \left(\dfrac{1}{5}\right)^t = 1 ( * * ). $$ $\bullet$ Xét hàm số: $$y=f(t)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^t+3. \left( \dfrac{1}{5} \right)^t . $$ $\bullet$ Ta có: $f'(t)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^t.\ln 0.4+3.\left(\dfrac{1}{5}\right)^t.\ln 0.2 < 0$ \forall $t \in R$. Suy ra $f(t)$ giảm trên R.
$\bullet$ Mặt khác: $f(1)=0$ do đó ( * * ) có nghiệm duy nhất $t=1 \Longrightarrow x=2$.
T
truongduong9083
T
truongduong9083
N
newstarinsky
Bài 46: Giải phương trình $log_3(log_9x+\dfrac{1}{2}+9^x) = 2x$
ĐK $x>0$
PT tương đương
$$log_9x+\dfrac{1}{2}+9^x=9^x\\
\Leftrightarrow log_9x=-\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}$$
Last edited by a moderator:
T
truongduong9083
Bài 48: Giải phương trình $log_2(x-\sqrt{x^2+1}).log_3(x+\sqrt{x^2+1}) = log_6(x-\sqrt{x^2+1})$
Bài 49: Giải phương trình $log_{2x-1}(2x^2+x-1)+log_{x+1}(2x-1)^2$=4
Bài 50: Giải phương trình $log_2(1+\sqrt[3]{x}) = log_7x$
Bài 51: Giải phương trình $2log_6(\sqrt[4]{x}+\sqrt[8]{x}) = log_4\sqrt{x}$
Bài 49: Giải phương trình $log_{2x-1}(2x^2+x-1)+log_{x+1}(2x-1)^2$=4
Bài 50: Giải phương trình $log_2(1+\sqrt[3]{x}) = log_7x$
Bài 51: Giải phương trình $2log_6(\sqrt[4]{x}+\sqrt[8]{x}) = log_4\sqrt{x}$
Last edited by a moderator: