Ôn Thi Đại Học 2013.

[truongduong9083]

Bài 31: Giải phương trình $3^x=x+\sqrt{1+x^2}$
Các bạn chú ý: Vì topic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn.

 

[truongduong9083]

Bài 32: Giải phương trình $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x+(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = (\sqrt{5})^x$
Các bạn chú ý: Vì topic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn.

 

[jet_nguyen]

Bài 28: Giải phương trình $(2+\sqrt{2})^{\log_2x}+x(2-\sqrt{2})^{\log_2x} = 1+x^2$
Các bạn chú ý: Vì topic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn.

Giải:
​

ĐK : x > 0
Phương trình tương đương:
$$ (2+\sqrt2)^{\log_2x} + \dfrac{x^2}{(2+\sqrt2)^{\log_2x}} = 1 - x ^2$$$$ \Longleftrightarrow \left[ (2+\sqrt2)^{\log_2x} -1 \right] .\left[\dfrac{(2+\sqrt2)^{\log_2x} - x^2}{(2+\sqrt2)^{\log_2x}} \right] = 0. $$$$\Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} (2+\sqrt2)^{\log_2x} = 1 \ ,\ (1) \\ (2+\sqrt2)^{\log_2x} = x^2 \ ,\ (2) \end{array}\right.$$
$\bullet \,\ (1) \Longleftrightarrow \log_2x = 0 \Longleftrightarrow x = 1$
$\bullet $ Đặt $\log_2x = t \Longrightarrow x = 2^t $
$$(2) \Longleftrightarrow (2+\sqrt2)^t = 2^{2t}$$$$\Longleftrightarrow (4-2\sqrt2)^t = 1$$$$\Longleftrightarrow t = 0$$$$ \Longleftrightarrow \log_2x = 0 $$$$\Longleftrightarrow x = 1$$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

 

[thanh_cong123]

Trả lời

Bài 27: Giải phương trình $3^{x^2-2x+2}+2^{2(x^2-2x+2)}+x^2-2x = 25$
Các bạn chú ý: Vì topic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn.

Đặt: $x^2-2x+2=t$ ($t>0$)
Phương trình trở thành $3^t+(2^t)^2+t=27$ (*)
$3^t+(2^t)^2=27-t$
Xét hai hàm số
$f(t)=3^t+(2^t)^2$ và $g(t)=27-t$
Ta có $f'(a)= 3^t.ln3+2.2^t.ln2>0 (\forall t)$, $f'(b)= -1<0$
vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất
dễ thấy f(2)=g(2)
$\Rightarrow t=2$
$\Rightarrow x^2-2x+2=2$
$\Leftrightarrow x(x-2)=0$
$\Leftrightarrow x=0$ và $x=2$

 

[newstarinsky]

Bài 32: Giải phương trình $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x+(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = (\sqrt{5})^x$
Các bạn chú ý: Vì topic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn.

Đặt
$$a=\sqrt{3}-\sqrt{2}\\
b=\sqrt{3}+\sqrt{2}\\
c=\sqrt{5}$$
Ta thấy $$a<c<b$$
Nếu $x=0$ thì $VT=1+1>1=VP$ (Pt không đúng)

Nếu $x>0$ thì $b^x>c^x\Rightarrow a^x+b^x>c^x$ (pt vô nghiệm)

Nếu $x<0$ thì $a^x>c^x\Rightarrow a^x+b^x>c^x$ (pt vô nghiệm)
Vậy PT đã cho vô nghiệm

 

[jet_nguyen]

Bài 30: Giải phương trình $3^{\sqrt{2x-2}+1}-3^x=x^2-4x+2$
Các bạn chú ý: Vì topic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn.

Giải:
​

Điều kiện: $x \ge 1.$
Đặt $u = \sqrt{2x - 2} + 1 \ge 1.$ Ta có $$u^2 -2u = 2x - 3.$$ Phương trình đã cho tương đương: $$3^{\sqrt{2x - 2} + 1} + 2x -3 = 3^x + x^2 -2x,$$ hay $$3^u + u^2 -2u = 3^x + x^2 -2x \quad (1).$$ Xét hàm số $$f(t) = 3^t + t^2 - 2t, \quad \text{với } t \ge 1.$$ Ta có $ f'(t) = 3^t \cdot \ln 3 + 2t -2 >0$ \forall$ t \ge 1.$ Từ phương trình $(1)$, ta có $u = x$, hay $$\sqrt{2x - 2} + 1 = x. $$ Giải phương trình này, ta được hai nghiệm $x = 1$ và $x = 3.$
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = 1$ và $x = 3.$
Bài 29: Giải phương trình $3^x+4^x+5^x+14 = 8^x$
Các bạn chú ý: Vì topic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn.
$\bullet$ Phương trình biến đổi thành
$(\dfrac{3}{8})^x+(\dfrac{4}{8})^x+(\dfrac{5}{8})^x+14.(\dfrac{1}{8})^x - 1 = 0 (1)$
Xét hàm số $f(x) = (\dfrac{3}{8})^x+(\dfrac{4}{8})^x+(\dfrac{5}{8})^x+14.(\dfrac{1}{8})^x - 1$ là hàm số nghịch biến với $\forall x \in R$. Nên phương trình (1) có không quá 1 nghiệm mà f(2) = 0. Nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
$\bullet$ Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

 

[jet_nguyen]

Bài 31: Giải phương trình $3^x=x+\sqrt{1+x^2}$
Các bạn chú ý: Vì topic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn.

Giải:
​

Cách 1:
Vì; $\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}=|x|\ge x\Longrightarrow x+\sqrt{x^2+1}>0$
Nên:
$$(1)\Longleftrightarrow \ln (x+\sqrt{x^2+1})=x\ln 3$$$$\Longleftrightarrow f(x)=\ln (x+\sqrt{x^2+1})-x\ln 3=0$$
Ta có: $f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}-\ln 3<0$ \forall $x\in \mathbb{R}$
$\Longrightarrow x=0$

Cách 2:
Vì $-x+\sqrt{x^2+1} \ne 0$
Nên: $(x+\sqrt{x^2+1})(-x+\sqrt{x^2+1})=3^x(-x+\sqrt{x^2+1}) \Longrightarrow -x+\sqrt{x^2+1}=3^{-x}$
Suy ra hệ: $$ \left\{\begin{array}{1} x+\sqrt{x^2+1}=3^x \\ -x+\sqrt{x^2+1}=3^{-x} \end{array}\right.$$$$
\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} 2\sqrt{x^2+1}=3^x+3^{-x} \\
2x=3^x-3^{-x} \end{array}\right.$$$$ \Longrightarrow 4(1+(3^x-3^{-x})^2)=(3^x+3^{-x})^2 $$$$\Longleftrightarrow 4+4(t^2+\frac{1}{t^2}-2)=(t^2+\frac{1}{t^2}+2) \,\ (t=3^x) $$$$\Longleftrightarrow (t^2-1)^2=0$$

 

[jet_nguyen]

Bài 33: Giải phương trình: $4.3^{3x}-3^{x+1}=\sqrt{1+9^x}$

 

[jet_nguyen]

Bài 34: Giải bất phương trình: $2^x+3^x+5^x \ge 38$

 

[jet_nguyen]

Bài 35: Giải bất phương trình: $1+2.2^x+3.3^x<6^x$

 

[jet_nguyen]

Bài 36: Giải bất phương trình sau: $3^x+4^x >5^x$

 

[jet_nguyen]

Bài 37: Giải bất phương trình: $3^{x^2-4}+(x^2-4)3^{x-2} \ge 1$

 

[duynhan1]

Bài 34:Giải bất phương trình: $2^x+3^x+5^x \ge 38$

Xét hàm số $f(t) = 2^t + 3^t + 5^t$, dễ thấy hàm số f(t) đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Nên ta có bất phương trình đã cho được viết lại thành: $$f(x) \ge f(2) \Leftrightarrow x \ge 2$$

 

[newstarinsky]

Bài 36: Giải bất phương trình sau: $3^x+4^x >5^x$

Chia cả 2 vế cho $5^x$ ta được
$$(\dfrac{3}{5})^x+(\dfrac{4}{5})^x>1$$
Xét hàm số
$$f(x)=(\dfrac{3}{5})^x+(\dfrac{4}{5})^x$$
Dễ thấy hàm số nghịch biến
Mà $f(2)=1$
Nên BPT đúng khi $x<2$
Vậy tập nghiệm của BPT là $s=( -\infty; 2)$

 

[newstarinsky]

Bài 35: Giải bất phương trình: $1+2.2^x+3.3^x<6^x$

Chia 2 vế cho $6^x$ ta được
$$(\dfrac{1}{6})^x+2.(\dfrac{1}{3})^x+3.(\dfrac{1}{2})^x>1$$
Xét hàm số
$$f(x)=(\dfrac{1}{6})^x+2.(\dfrac{1}{3})^x+
3.(\dfrac{1}{2})^x$$
Hàm số trên nghịc biến trên $R $
Mà $f(2)=1$
Nên BPT đúng khi $x>2$
Vậy tập nghiệm của BPT là $s=(2;+\infty)$

 

[newstarinsky]

Bài 33: Giải phương trình: $4.3^{3x}-3^{x+1}=\sqrt{1+9^x}$

Đặt $3^x=cos\alpha>0$
PT trở thành
$$4cos^3\alpha-3cos\alpha=\sqrt{1+cos^2\alpha}\\
\Leftrightarrow cos3\alpha=\sqrt{1+cos^2\alpha}\\
\Leftrightarrow \begin{cases} cos3\alpha>0 \\ cos^23\alpha=1+cos^2\alpha(1)\end{cases}$$
Ở PT(1) ta có
$$VT\leq 1\\VP\geq 1$$
Nên hệ đúng khi
$$\begin{cases} cos3\alpha>0 \\ cos^23\alpha=1\\cos^2\alpha=1 \end{cases}\\
\Leftrightarrow cos\alpha=1$$
Vậy $3^x=1\\
\Leftrightarrow x=0$

 

[newstarinsky]

Bài 37: Giải bất phương trình: $3^{x^2-4}+(x^2-4)3^{x-2} \ge 1$

+) Khi $|x|\geq 2$ thì ta có
$$x^2-4\geq 0$$
Nên
$$3^{x^2-4}\geq 3^0=1\\
(x^2-4).3^{x-2}\geq 0$$
Do đó $VT\geq 1$ (BPT đúng)
+) Khi $|x|<2$ thì ta có
$$x^2-4<0$$
Nên
$$3^{x^2-4}< 3^0=1\\
(x^2-4).3^{x-2}< 0$$
Do đó $VT<1$ (BPT vô nghiệm )
Vậy tập nghiệm của BPT là $s=R\(-2;2)$

 

[jet_nguyen]

Bài 38: Giải bất phương trình sau: $3^x.2x=3^x+2x+1$

 

[jet_nguyen]

Bài 39: Giải bất phương trình: $3^{x^2+2x+3}+4^{x^2+2x+2}+5^{x^2+2x+1}=14$

 

[jet_nguyen]

Bài 40: Giải bất phương trình sau: $2^{x+1}+2^{1-2x}=3\sqrt[3]{2}$